“中档题·活页小卷” 15 圆的综合问题-【精彩三年】2024年中考数学精品课堂教师用书配套Word

“中档题·活页小卷” 15 　圆的综合问题 [建议时间：40分钟] 命题角度一　圆的基本性质的相关计算 1．2023·北京如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4.以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是(　C　) A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．5 第1题图 　　　　第2题图 2．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点．若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为(　A　) A．25° B．35° C．45° D．65° 3．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E.若AB＝26，CD＝24，则∠OCE的余弦值为(　B　) A． B． C． D． 第3题图 　第4题图 　　第5题图 4．如图，AB为⊙O的一条弦，且点C在AB上．若AC＝6，BC＝2，AB的弦心距为3，则OC的长度等于(　D　) A．3 B．4 C． D． 5．如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D.若∠APD是 所对的圆周角，则∠APD的度数是__30°__． 6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连结AC，BD，延长CD至点E. (1)若AB＝AC，求证：∠ADB＝∠ADE. (2)若BC＝3，⊙O的半径为2，求sin ∠BAC. 解：(1)证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠ADE＝∠ABC. ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB. ∵∠ACB＝∠ADB，∴∠ADB＝∠ADE. (2)如图，连结CO并延长交⊙O于点F，连结BF， 则∠FBC＝90°，在Rt△BCF中，CF＝4，BC＝3， ∴sin F＝＝. ∵∠F＝∠BAC，∴sin ∠BAC＝. 命题角度二　圆的切线的性质和判定 7．如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连结OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D，连结CD.若∠B＝50°，则∠OCD为(　B　) A．15°　　 　B．20°　　　C．25°　　　D．30° 第7题图 第8题图 第9题图 8．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A＝30°，给出下面3个结论：①AD＝CD；②BD＝BC；③AB＝2BC.其中正确结论的个数是(　A　) A．3 B．2 C．1 D．0 9．如图，PA，PB为⊙O的切线，切点分别为A，B，PO交AB于点C，PO的延长线交⊙O于点D.下列结论中不一定成立的是(　B　) A．△BPA为等腰三角形 B．AB与PD相互垂直平分 C．点A，B都在以PO为直径的圆上 D．PC为△BPA的边AB上的中线 10．如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画圆，交AC于点D，DF⊥AB于点F，连结OF，且AF＝1. (1)求证：DF是⊙O的切线． (2)求线段OF的长度． 解：(1)证明：连结OD，如图． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠C＝∠A＝60°. ∵OC＝OD，∴△OCD是等边三角形， ∴∠CDO＝∠A＝60°，∴OD∥AB. ∵DF⊥AB，∴∠FDO＝∠AFD＝90°， ∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线． (2)∵OD∥AB，OC＝OB，∴OD是△ABC的中位线． ∵∠AFD＝90°，∠A＝60°，∴∠ADF＝30°. ∵AF＝1，∴CD＝OD＝AD＝2AF＝2，DF＝. 在Rt△ODF中，OF＝＝＝. 11．如图，点A，B，C，D在⊙O上，AC⊥BC，AC＝4，∠ADC＝30°，则BC的长为(　A　) A．4 B．8 C．4 D．4 第11题图 　　　　第12题图 12．2023·武汉如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则cos ∠ADC的值为(　B　) A． B． C． D． 13．如图，已知⊙O为△ABC的外接圆，BC为直径，点E在AB上，过点E作EF⊥BC，点G在FE的延长线上，且GA＝GE. (1)求证：AG与⊙O相切． (2)若AC＝6，AB＝8，BE＝3，求线段OE的长． 解：(1)证明：如图，连结OA， ∵OA＝OB，GA＝GE， ∴∠ABO＝∠BAO，∠GEA＝∠GAE. ∵EF⊥BC，∴∠BFE＝90°， ∴∠ABO＋∠BEF＝90°. 又∵∠BEF＝∠GEA， ∴∠GAE＝∠BEF， ∴∠BAO＋∠GAE＝90°，∴AG与⊙O相切． (2)∵BC为直径，∴∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8， ∴BC＝10. ∵∠EBF＝∠CBA，∠BFE＝∠BAC， ∴△BEF∽△BCA，∴ ＝＝， ∴EF＝1.8，BF＝2.4， ∴OF＝OB－BF＝5－2.4＝2.6， ∴OE＝＝. 14．(1)请在图1中作出△ABC的外接圆⊙O(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法). (2)如图2，⊙O是△ABC的外接圆，AE是⊙O的直径，B是 的中点，过点B的切线与AC的延长线交于点D. ①求证：BD⊥AD. ②若AC＝6，tan ∠ABC＝，求⊙O的半径． 解：(1)如图1，⊙O即为△ABC的外接圆． (2)①证明：如图2，连结OB. ∵BD是⊙O的切线，∴OB⊥BD. ∵B是 的中点，∴ ＝，∴∠CAB＝∠EAB. ∵OA＝OB， ∴∠OBA＝∠EAB，∴∠CAB＝∠OBA， ∴OB∥AD，∴BD⊥AD. ②如图2，连结EC.由圆周角定理得，∠AEC＝∠ABC. ∵tan ∠ABC＝，∴tan ∠AEC＝. ∵AE是⊙O的直径，∴∠ACE＝90°，∴ ＝. ∵AC＝6，∴EC＝8，∴AE＝＝10， ∴⊙O的半径为5. 学科网（北京）股份有限公司 $$