第13讲 二次函数的图象与性质(二)-【精彩三年】2024年中考数学精品课堂教师用书配套Word

第13讲　二次函数的图象与性质(二) (见学生用书P61) 新课程目标： 1．深化二次函数、方程、不等式的联系． 2．会用函数图象来解决相关的问题． 热门基础题 　　　　　　　　　　　 1．教材改编二次函数y＝2x2－3x－c(c＞0)的图象与x轴的交点情况是(　B　) A．有1个交点 B．有2个交点 C．无交点 D．无法确定 2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分y与x的值如表： x … －2 －1 1 2 4 … y … 0 n －3 m －3 … 根据表格可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解是(　D　) A．x1＝－2，x2＝5 B．x1＝－2，x2＝5.5 C．x1＝－2，x2＝6 D．x1＝－2，x2＝7 3．如图，这是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，有如下结论：①abc＞0；②a＋b＋c＜0；③4a＋b＜0；④4a＞c. 其中正确的结论有(　B　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第3题图 　　　第4题图 4．如图，直线y＝mx＋n与抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)交于A(－1，p)，B(4，q)两点，则关于x的不等式mx＋n＞ax2＋bx＋c的解集为__x<－1或x＞4__． 5．已知二次函数y＝x2－6x＋8. (1)将y＝x2－6x＋8化成y＝a(x－h)2＋k的形式． (2)当0≤x≤4时，y的最小值是__－1__，最大值是__8__． (3)当y＜0时，写出x的取值范围． 解：(1)y＝(x－3)2－1　(3)2<x<4 6．根据下列条件，分别求二次函数的表达式． (1)抛物线的顶点坐标为(－1，9)，并且与y轴交于点(0，－8). (2)图象与x轴的交点坐标是(－1，0)，(－3，0)，且函数有最小值－5. 解：(1)y＝－17(x＋1)2＋9　(2)y＝5(x＋1)(x＋3) 教考衔接图 　　　　　　　　　　 　　　 　　　 课标要点一　 二次函数与一元二次方程结合 例1 已知二次函数y＝x2＋mx＋m2－3(m为常数，m＞0)的图象经过点P(2，4). (1)求m的值． (2)判断二次函数y＝x2＋mx＋m2－3的图象与x轴交点的个数，并说明理由． 解：(1)将(2，4)代入y＝x2＋mx＋m2－3， 得4＝4＋2m＋m2－3， 解得m1＝1，m2＝－3. 又∵m＞0，∴m＝1. (2)∵m＝1，∴y＝x2＋x－2. ∵Δ＝b2－4ac＝12＋8＝9＞0， ∴二次函数的图象与x轴有2个交点． 变式1 在平面直角坐标系中，已知函数y1＝x2＋3x＋3，y2＝x2＋4x＋4，y3＝x2＋5x＋5.设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，则(　C　) A．M1＝0，M2＝0，M3＝0 B．M1＝2，M2＝2，M3＝2 C．M1＝0，M2＝1，M3＝2 D．M1＝0，M2＝2，M3＝1 变式2 已知抛物线y＝x2＋mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2＋mx＝5的根是(　D　) A．0，4 B．1，5 C．1，－5 D．－1，5 课标要点二　 二次函数与不等式结合 例2 如图，这是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是__x＜－1或x＞5__． 变式3 如图，直线y＝kx＋b与抛物线y＝－x2＋2x＋3交于点A，B，且点A在y轴上，点B在x轴上，则不等式－x2＋2x＋3＞kx＋b的解集为__0＜x＜3__． 课标要点三　 二次函数的图象与系数的关系 例3 2023营口如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A(－3，0)和点B(1，0)，与y轴交于点C.下列说法： ①abc＜0. ②抛物线的对称轴为直线x＝－1. ③当－3＜x＜0时，ax2＋bx＋c＞0. ④当x＞1时，y随x的增大而增大． ⑤am2＋bm≤a－b(m为任意实数). 其中正确的个数是(　C　) A.1 B．2 C．3 D．4 【解析】 ∵抛物线开口向下，∴a＜0. ∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A(－3，0)和点B(1，0)， ∴对称轴为直线x＝＝－1，故②正确； ∴－＝－1，∴b＝2a＜0. ∵抛物线与y轴的交点在正半轴上，∴c＞0，∴abc＞0，故①错误； 由图象可知，当－3＜x＜0时，y＞0， ∴当－3＜x＜0时，ax2＋bx＋c＞0，故③正确； 由图象可知，当x＞1时，y随x的增大而减小，故④错误； ∵抛物线的对称轴为直线x＝－1， ∴当x＝－1时，函数有最大值， ∴当m为任意实数时，am2＋bm＋c≤a－b＋c， ∴am2＋bm≤a－b，故⑤正确． 综上所述，结论正确的是②③⑤，共3个． 举一反三 1．二次函数的图象与系数的关系 (1)二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下． (2)一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左侧；当a与b异号时，对称轴在y轴右侧． (3)常数项c决定抛物线与y轴的交点：抛物线与y轴交于点(0，c). 2．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：当Δ＝b2－4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；当Δ＝b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；当Δ＝b2－4ac<0时，抛物线与x轴没有交点． 变式4 2023聊城已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如下，图象经过点(0，2)，其对称轴为直线x＝－1.下列结论： ①3a＋c＞0. ②若点(－4，y1)，(3，y2)均在二次函数图象上，则y1＞y2. ③关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1有两个相等的实数根． ④满足ax2＋bx＋c＞2的x的取值范围为－2＜x＜0. 其中正确结论的个数为(　B　) A.1 B．2 C．3 D．4 课标要点四　 二次函数的图象与性质综合 例4 2023·杭州设二次函数y＝ax2＋bx＋1(a≠0，b是实数).已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示： x … －1 0 1 2 3 … y … m 1 n 1 p … (1)若m＝4， ①求二次函数的表达式． ②写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小． (2)若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围． 解：(1)①由题意得解得 ∴二次函数的表达式是y＝x2－2x＋1. ②∵y＝x2－2x＋1＝(x－1)2， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1， ∴当x＜1时，y随x的增大而减小． (2)∵x＝0和x＝2时的函数值都是1， ∴抛物线的对称轴为直线x＝－＝1， ∴(1，n)是顶点，(－1，m)和(3，p)关于对称轴对称． 若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，则抛物线必须开口向下，且m≤0， ∵－＝1，∴b＝－2a，∴二次函数为y＝ax2－2ax＋1， ∴m＝a＋2a＋1≤0，∴a≤－. 变式5 2023·丽水已知点(－m，0)和(3m，0)在二次函数y＝ax2＋bx＋3(a，b是常数，a≠0)的图象上． (1)当m＝－1时，求a和b的值． (2)若二次函数的图象经过点A(n，3)且点A不在坐标轴上，当－2＜m＜－1时，求n的取值范围． (3)求证：b2＋4a＝0. 解：(1)当m＝－1时，二次函数y＝ax2＋bx＋3的图象过点(1，0)和(－3，0)， ∴∴解得 ∴a的值是－1，b的值是－2. (2)∵y＝ax2＋bx＋3的图象过点(－m，0)和(3m，0)， ∴抛物线的对称轴为直线x＝m. ∵y＝ax2＋bx＋3的图象过点A(n，3)，(0，3)，且点A不在坐标轴上， ∴由图象的对称性得n＝2m，∴m＝. ∵－2＜m＜－1，∴－2＜＜－1，∴－4＜n＜－2. (3)证明：∵抛物线过(－m，0)，(3m，0)， ∴抛物线的对称轴为直线x＝＝m，∴－＝m， ∴b＝－2am. 把(－m，0)，(3m，0)代入y＝ax2＋bx＋3得 ①×3＋②得12am2＋12＝0，∴am2＋1＝0， ∴b2＋4a＝(－2am)2＋4a＝4a(am2＋1)＝4a×0＝0. 变式6 设二次函数y1＝2x2＋bx＋c(b，c是常数)的图象与x轴交于A，B两点． (1)若A，B两点的坐标分别为(1，0)，(2，0)，求函数y1 的表达式及其图象的对称轴． (2)若函数y1 的表达式可以写成y1＝2(x－h)2－2(h是常数)的形式，求b＋c的最小值． (3)设一次函数y2＝x－m(m是常数)，若函数y1 的表达式还可以写成y1＝2(x－m)(x－m－2)的形式，当函数y＝y1－y2 的图象经过点(x0，0)时，求x0－m的值． 解：(1)∵二次函数y1＝2x2＋bx＋c过点A(1，0)，B(2，0)， ∴y1＝2(x－1)(x－2)，即y1＝2x2－6x＋4. ∴抛物线的对称轴为直线x＝－ ＝ . (2)把y1＝2(x－h)2－2化成一般式得， y1＝2x2－4hx＋2h2－2. ∴b＝－4h，c＝2h2－2. ∴b＋c＝2h2－4h－2＝2(h－1)2－4. 把b＋c的值看作是h的二次函数，则该二次函数的图象开口向上，有最小值， ∴当h＝1时，b＋c的最小值是－4. (3)由题意得，y＝y1－y2 ＝2(x－m)(x－m－2)－(x－m) ＝(x－m)[2(x－m)－5]. ∵函数y的图象经过点 (x0，0)， ∴(x0－m)[2(x0－m)－5]＝0. ∴x0－m＝0，或2(x0－m)－5＝0. 即x0－m＝0或x0－m＝ . 温馨提示请完成高效作业13 学科网（北京）股份有限公司 $$