新中考热点问题29 动点轨迹为圆弧型-【精彩三年】2024年中考数学精品课堂教师用书配套课件PPT

新中考热点问题29　　动点轨迹为圆弧型 二、图形与几何领域 10.动点问题探究 (1)定点定长类 典例感悟 例 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一个动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连结A′C，则A′C长度的最小值是(　　) D 【解析】 如图，连结CM，过点M作MF⊥CD，交CD的延长线于点F. 触类旁通 1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是(　　) A．1.5 B．1.2 C．2.4 D．以上都不对 【解析】 以F为圆心，CF为半径作⊙F，过点F作FH⊥AB于点H，交⊙F于点G，则点P到AB的距离的最小值＝FH－FP＝FH－FG. B 2. 如图，在矩形ABCD中，已知AB＝2 cm，BC＝4 cm，现有一根长为2 cm的木棒EF紧贴着矩形的边(即两个端点始终落在矩形的边上)，按逆时针方向滑动一周，则木棒EF的中点P在运动过程中所围成的图形的面积为(　　) A．(8－π)cm2 B．4 cm2 C．(3＋π)cm2 D．8 cm2 A ∴点P在运动过程中所围成的图形的面积为长方形的面积减去四个扇形的面积． 又∵四个扇形的面积正好等于一个相同半径的圆的面积，∴4×2－π·12＝(8－π)(cm2). 3. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，P是AB边上的动点(不与点B重合)，将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连结B′A，则下列结论： ①当AP＝BP时，AB′∥CP； ②当AP＝BP时，∠B′PC＝2∠B′AC； ③当CP⊥AB时，AP＝ ； ④B′A长度的最小值是1. 其中正确的结论是___________(填序号). ①②④ (2)定弦定角类 典例感悟 例 如图，在等边三角形ABC中，AB＝2 ，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠APB＝90°，则线段CP长的最小值为(　　) A．2 B．3 C．4－ D．3－ D 触类旁通 1. 如图，⊙O的半径为6，弦AB＝6，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是(　　) 【解析】 连结OA，OB，如图1， ∵OA＝OB＝6，AB＝6， ∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°， B 2. 如图，E，F分别是正方形ABCD的边AB，BC上的动点，满足AE＝BF，连结CE，DF，相交于点G，连结AG，若正方形的边长为2，则线段AG的最小值为________． 【解析】 如图1，在正方形ABCD中，AB＝BC＝2， ∠B＝∠DCF＝90°， 3. 如图，在边长为6的等边三角形ABC中，E，F分别是边AC，BC上的动点，且AE＝CF，连结BE，AF交于点P，连结CP，则CP的最小值为_________． ∴∠BPF＝∠PAB＋∠ABP＝∠CAP＋∠BAP＝60°， ∴∠APB＝120°. 如图，过点A，P，B作⊙O，连结CO，PO， 感谢聆听，再见！ A. 3－1 B．2－1 C．－1 D．－1 在△A′CM中，A′C≥CM－A′M， ∴A′C长度的最小值为CM－A′M. ∵点M为AD的中点，∴AM＝DM＝AD＝1. 由折叠性质可得，A′M＝AM＝1. ∵四边形ABCD为菱形，∠A＝60°， ∴∠FDM＝60°.∵∠DFM＝90°， ∴∠DMF＝30°， ∴DF＝DM＝，FM＝DM＝， ∴CF＝CD＋DF＝. 在Rt△CFM中，由勾股定理可得， CM＝＝＝， ∴A′C＝CM－A′M＝－1. 由翻折的性质可知，PF＝CF＝2， ∴点P在⊙F上， ∵AC＝6，BC＝8， ∴AB＝＝10， 由△AHF∽△ACB， 得＝，∴＝， ∴FH＝3.2， ∴点P到AB的距离的最小值＝FH－FG＝3.2－2＝1.2. 【解析】 如图，∵P是EF的中点， ∴BP＝EF＝×2＝1(cm). ∵AB＝2， 【解析】 ①∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AP＝BP， ∴AP＝BP＝CP. 由折叠的性质可得，BP＝B′P，∠CPB′＝∠BPC＝(180°－∠APB′)， ∴AP＝B′P， ∴∠AB′P＝∠B′AP＝(180°－∠APB′)， ∴∠AB′P＝∠CPB′，∴AB′∥CP，故①正确． ②∵AP＝BP，∴PA＝PB′＝PC＝PB， ∴点A，B′，C，B在以P为圆心，PA长为半径的圆上， ∴∠B′PC＝2∠B′AC，故②正确． ③当CP⊥AB时，∠APC＝∠ACB， ∵∠PAC＝∠CAB，∴△ACP∽△ABC， ∴＝. ∵在Rt△ABC中，由勾股定理可知，AC＝＝＝4， ∴AP＝＝，故③错误． ④由轴对称的性质，可知BC＝CB′＝3， ∵CB′的长度固定不变． AB′≥AC－CB′，∴AB′的长度有最小值． AB′最小值＝AC－B′C＝4－3＝1，故④正确． 【解析】 ∵∠APB＝90°， ∴点P在以AB为直径的圆上． 如图，圆心为点O，连结CO交⊙O于P′. ∴点P运动到点P′时，线段CP的长最小． ∵△ABC为等边三角形， ∴CO⊥AB，∠OBC＝60°， ∴OC＝OB＝××2＝3， ∴CP′＝OC－OP′＝3－， ∴线段CP长的最小值为3－. A. 6 B．9 C．6 D．9 ∴∠APB＝∠AOB＝30°. ∵AC⊥AP，∴∠C＝60°. ∵AB＝6，要使△ABC的面积最大，则点C到AB的距离最大．作△ABC的外接圆⊙D，如图2， ∵∠ACB＝60°，点C在⊙D上，∴∠ADB＝120°， 当点C为优弧AB的中点时，点C到AB的距离 最大，此时△ABC为等边三角形，且面积为AB2＝9， ∴△ABC的最大面积为9. ∵AE＝BF，∴BE＝CF. 在△DCF和△CBE中， ∴△DCF≌△CBE(SAS)，∴∠CDF＝∠BCE. ∵∠DCE＋∠BCE＝90°， ∴∠CDF＋∠DCE＝90°，∴∠CGD＝90°， ∴点G在以DC为直径的圆上， 如图2，取CD的中点H，点G的运动路径是以H为圆心，以DC为直径的圆， 当点E与点A重合，点F与点B重合时，点G与AC与BD的交点O重合， ∴AG的最小值＝AC＝. 2 【解析】 ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠CAB＝∠ACB＝60°. 在△ABE和△CAF中， ∴△ABE≌△CAF(SAS)，∴∠ABE＝∠CAF， ∴点P在上运动． ∵AO＝OP＝OB， ∴∠OAP＝∠OPA，∠OPB＝∠OBP，∠OAB＝∠OBA， ∴∠AOB＝360°－∠OAP－∠OPA－∠OPB－∠OBP＝120°， ∴∠OAB＝30°，∴∠CAO＝90°. ∵AC＝BC，OA＝OB， ∴CO垂直平分AB，∴∠ACO＝30°， ∴cos ∠ACO＝＝，CO＝2AO， ∴CO＝4，∴AO＝2. 在△CPO中，CP≥CO－OP， ∴当点P在CO上时，CP有最小值， ∴CP的最小值＝4－2＝2. $$