新中考热点问题23 图形的旋转-【精彩三年】2024年中考数学精品课堂教师用书配套课件PPT

新中考热点问题23　　　图形的旋转 二、图形与几何领域 8．图形变换(平移、轴对称和旋转)的应用 (1)四边形背景下的旋转对称性 典例感悟 例 第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形(△DAE，△ABF，△BCG，△CDH)和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，连结BE.设∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1∶n， tan α＝tan 2β，则n＝(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 C 触类旁通 1. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是(　　) A．4 B．8 C．12 D．16 【解析】 由题意可得，小正方形的边长为3－1＝2， 所以小正方形的周长为2×4＝8. B 2. 将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形ABCD内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出(　　) A．正方形纸片的面积 B．四边形EFGH的面积 C．△BEF的面积 D．△AEH的面积 【解析】 设PD＝x，GH＝y，则PH＝x－y. ∵矩形纸片和正方形纸片的周长相等， ∴2AP＋2(x－y)＝4x，∴AP＝x＋y. C 3. 如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连结BE，BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O，点F在DC上，且MF∥AD. (1)求证：△ABE≌△FMN. (2)若AB＝8，AE＝6，求ON的长． 解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，AB∥CD，∠A＝∠D＝90°. 又∵MF∥AD，∴四边形AMFD为矩形，∴∠D＝∠MFN＝90°，AD＝MF， ∴∠A＝∠MFN，AB＝MF. (2)圆背景下的旋转对称性 典例感悟 例 如图， AB是⊙O的直径，点C为 的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连结BD交CF于点G，连结CD，AD，BF. (1)求证：△BFG≌△CDG. (2)若AD＝BE＝2，求BF的长． 触类旁通 1. 如图，在⊙O中， ，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是(　　) A．40° B．30° C．20° D．15° C 2. 如图，圆中扇子对应的圆心角α(α＜180°)与剩余圆心角β的比值为黄金比时，扇子会显得更加美观，若黄金比取0.6，则β－α的度数是_______． 90° 3. 如图，AB为⊙O的弦，P为⊙O上一点，OP∥AB，∠PBA＝20°. (1)求∠POB的度数． (2)若E为⊙O上一点，AE＝PB，直接写出∠EPB的度数． 解：(1)∵OP∥AB， ∴∠OPB＝∠PBA＝20°，∠POB＋∠ABO＝180°. ∵OP＝OB， ∴∠OBP＝∠OPB＝20°， ∴∠ABO＝20°＋20°＝40°， ∴∠POB＝180°－40°＝140°. (2)分两种情况： ①延长PO交⊙O于E，如图． ∵OP∥AB，∴PE∥AB. 由圆的对称性得，AE＝PB， 则∠EPB＝∠PBA＝20°； ②连结OA，在⊙O上作出AE的对称线段AE′，如图， 则AE′＝AE＝PB，∠E′AO＝∠EAO， ∵OA＝OE， ∴∠E′AO＝∠EAO＝∠OEA＝20°， ∴∠E′AE＝40°， ∴∠E′PE＝∠E′AE＝40°， ∴∠E′PB＝40°＋20°＝60°. 综上所述，∠EPB的度数为20°或60°. 感谢聆听，再见！ 【解析】 设AE＝a，DE＝b，则BF＝a，AF＝b. ∵tan α＝，tan β＝，tan α＝tan 2β，∴＝，∴(b－a)2＝ab，∴a2＋b2＝3ab. ∵a2＋b2＝AD2＝S正方形ABCD，(b－a)2＝S正方形EFGH，∴S正方形EFGH∶S正方形ABCD＝ab∶3ab＝1∶3， ∵S正方形EFGH∶S正方形ABCD＝1∶n，∴n＝3. ∵图中阴影部分的面积＝S矩形ABCD－2S△ADH－2S△AEB ＝(2x＋y)(2x－y)－2×·(x－y)(2x＋y)－2×·(2x－y)·x＝4x2－y2－(2x2＋xy－2xy－y2)－(2x2－xy) ＝4x2－y2－2x2＋xy＋y2－2x2＋xy＝2xy. 正方形纸片的面积＝x2，故A不符合题意； 四边形EFGH的面积＝y2，故B不符合题意； △BEF的面积＝·EF·BQ＝xy，故C符合题意； △AEH的面积＝·EH·AM＝y(x－y)＝xy－y2，故D不符合题意． ∵BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O， ∴∠FMN＋∠BMO＝∠BMO＋∠MBO＝90°，∴∠FMN＝∠MBO. 在△ABE和△FMN中，∴△ABE≌△FMN(ASA). (2)∵∠MOB＝∠A＝90°，∠ABE是公共角，∴△BOM∽△BAE，∴OM∶AE＝BO∶BA. ∵AB＝8，AE＝6，∴BE＝＝10，∴OM∶6＝5∶8，∴OM＝. 证明：(1)∵C是的中点，∴. ∵AB是⊙O的直径，且CF⊥AB，∴，∴，∴CD＝BF. 在△BFG和△CDG中，∵∴△BFG≌△CDG(AAS). (2)如图，连结OF，设⊙O的半径为r， 在Rt△ADB中，BD2＝AB2－AD2，即BD2＝(2r)2－22， 在Rt△OEF中，OF2＝OE2＋EF2，即EF2＝r2－(r－2)2， ∴BD＝CF，∴BD2＝CF2＝(2EF)2＝4EF2， 即(2r)2－22＝4[r2－(r－2)2]，解得r＝1(舍去)或3， ∴BF2＝EF2＋BE2＝32－(3－2)2＋22＝12，∴BF＝2. 【解析】 连结CO，如图， ∵在⊙O中， ， ∴∠AOC＝∠AOB. ∵∠AOB＝40°， ∴∠AOC＝40°， ∴∠ADC＝∠AOC＝20°. 【解析】 根据题意得 解得 ∴β－α＝225°－135°＝90°. $$