新中考热点问题13 直角三角形存在性问题-【精彩三年】2024年中考数学精品课堂教师用书配套课件PPT

新中考热点问题13　直角三角形存在性问题 二、图形与几何领域 5．特殊图形或图形关系存在性问题 典例感悟 例 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D为BC边上的任意一点，将∠C沿过点D的直线折叠，使点C落在边AB上的点E处，探究：是否存在点D，使得△BDE为直角三角形？ (1)请仅用无刻度的直尺和圆规作出所有可能的点D，不同的折叠方式确定的点D请在不同的图中作出来(不写作法，保留作图痕迹). (2)直接写出对应的线段CD的长． 解：(1)存在点D，使得△BDE为直角三角形． ∵△BDE为直角三角形， ∴有以下两种情况： ①当∠DEB＝90°时，折叠方法如下： 作∠CAB的平分线交BC于点D，如图1， 沿AD折叠，则△BDE为直角三角形； ②当∠EDB＝90°时，折叠方法如下： 作∠ACB的平分线交AB于点E，作CE的垂直平分线交AC于点F，如图2， 沿DF折叠，则△BDE为直角三角形． 触类旁通 1. 如图，直线y＝2x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是OB的中点．在x轴上是否存在一点P，使得△ABP是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解：设x轴上存在一点P(m，0)， 使得△ABP是直角三角形， ∵A(－2，0)，B(0，4)，∠AOB＝90°， ∴根据勾股定理可得AB2＝OB2＋OA2， ∴AB2＝20. ∵AP2＝(m＋2)2，BP2＝m2＋16， △ABP是直角三角形，分两种情况： ①当∠APB＝90°时，P与原点重合，此时P(0，0)； ②当∠ABP＝90°时，则AB2＋BP2＝AP2， ∴20＋m2＋16＝(m＋2)2， 解得m＝8，此时P(8，0)， 综上所述，P(0，0)或(8，0). 2. 如图1，等边三角形ABC的边长为4，点D是直线AB上异于A，B的一动点，连结CD，以CD为边长，在CD右侧作等边三角形CDE，连结BE，且BE∥AC.当点D在直线AB上运动时，△BDE能否形成直角三角形？若能，求此时AD的长；若不能，请说明理由． 解：当点D在直线AB上运动时，△BDE能形成直角三角形，分两种情况： 当∠BDE＝90°时，作CH⊥AB于点H，如图1， ∴AD＝4. 综上AD＝8或4.   感谢聆听，再见！ (2)CD＝或CD＝. 理由如下：设CD＝x，则DB＝BC－CD＝4－x， ①在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4， 由勾股定理得AB＝＝5， 由折叠的性质得AE＝AC＝3，CD＝DE＝x，∴BE＝AB－AE＝2. 在Rt△BDE中，由勾股定理得DE2＋BE2＝DB2，即x2＋22＝(4－x)2，解得x＝，∴CD＝. ②由作图可知∠ECD＝45°， 由折叠的性质可知CD＝DE＝x，∠ECD＝∠CED＝45°，∴∠CDE＝90°. ∴DE∥AC，∴△BDE∽△BCA，∴＝， 即＝，解得x＝，即CD＝. 综上所述，CD的长为或. ∵AB＝AC＝BC＝4， ∴AH＝AB＝2， ∴CH＝＝＝2. ∵∠BDE＝90°，∠CDE＝60°， ∴∠ADC＝30°， ∴CD＝2CH＝4， ∴HD＝＝＝6， ∴AD＝AH＋HD＝8； 当∠BED＝90°时，作CH⊥AB于点H，如图2， 同理得AH＝2，CH＝2， 设AD＝x，由(1)得△ACD≌△BCE(SAS)， ∴BE＝AD＝x. ∵CD＝DE， ∴由勾股定理得，DH2＋CH2＝DB2－BE2， 即(x＋2)2＋(2)2＝(x＋4)2－x2， 解得x＝4， $$