新中考热点问题10 中点的联想-【精彩三年】2024年中考数学精品课堂教师用书配套课件PPT

新中考热点问题10　　　中点的联想 二、图形与几何领域 4.常见特殊点、线的关联方向 (1)多个中点关联中位线 典例感悟 例 如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，点D在AC边上，AD＝BC，点E是CD的中点，点F是AB的中点，若AD＝2，则EF的长为(　　) B 【解析】 ∵AD＝BC，AD＝2，∴BC＝2，过点E作EG∥BC交BD于G，连结FG. 触类旁通 1. 如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF＝2BF.连结EF并延长，与CB的延长线相交于点M.若BC＝6，则线段CM的长为(　　) C 2. 如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AD⊥BC于点D，BD＝ .若E，F分别为AB，BC的中点，则EF的长为(　　) C 3. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，点D在AC上，且AD＝2，E是AB上的动点，连结DE，F，G分别是BC和DE的中点，连结AG，FG，当AG＝FG时，线段DE的长为(　　) 【解析】 如图，分别过点G，F作AB的垂线， 垂足为M，N，过点G作GP⊥FN于点P. A (2)“中点＋直角”关联斜中线 典例感悟 例 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6.F是AB的中点，连结CF，把线段CF沿射线BC方向平移到DE，点D在AC上，则线段CF在平移过程中扫过区域形成的四边形CFDE的周长和面积分别是(　　) A. 16，6 B．18，18 C．16，12 D．12，16 C 触类旁通 1. 如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为 AC的中点．若AC＝8，CD＝5，则DE＝_____． 3 2. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°， E为对角线AC的中点，连结BE，ED，BD.若∠BAD ＝58°，则∠EBD的度数为_______度． 32 3. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E，F分别是AC，AB的中点，O是DF的中点，EO的延长线交线段BD于点G，连结DE，EF，FG. (1)求证：四边形DEFG是平行四边形． (2)当AD＝5，tan ∠EDC＝ 时，求FG的长． 解：(1)证明：∵E，F分别是AC，AB的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF∥BC，∴∠EFO＝∠GDO. ∵O是DF的中点，∴OF＝OD. (3)“中点＋垂足”关联垂直平分线 典例感悟 例 如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB.若AB＝4，则DC的长是_____． 【解析】 ∵∠B＝∠ADB，AB＝4，∴AD＝AB＝4. ∵DE是AC的垂直平分线，∴DC＝AD＝4. 4 触类旁通 1. 如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B＝70°，∠FAE＝19°，则∠C＝______度． 【解析】 ∵DE是AC的垂直平分线，∴EA＝EC， ∴∠EAC＝∠C，∴∠FAC＝∠EAC＋19°. ∵AF平分∠BAC，∴∠FAB＝∠EAC＋19°. ∵∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，∴70°＋2(∠C＋19°)＋∠C＝180°，解得∠C＝24°. 24 2. 如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连结BE. 若BE＝9，BC＝12，则cos C＝_______． 3. 如图，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，连结CE，则△CDE的周长为______． 【解析】 根据平行四边形的性质，得AO＝OC. ∵OE⊥AC，∴OE为AC的垂直平分线， ∴AE＝EC， ∴△CDE的周长为CD＋AD＝5＋3＝8. 8 (4)“中点＋平行”关联 “8字”全等 典例感悟 例 如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2，AB＝ ，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，F是AB的中点，连结DF，EF.若∠EFD＝90°，则AE的长为(　　) B 【解析】 如图，延长EF交DA的延长线于Q，连结DE，设BE＝x. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DQ∥BC，∴∠Q＝∠BEF. ∵AF＝FB，∠AFQ＝∠BFE， ∴△QFA≌△EFB(AAS)， ∴AQ＝BE＝x，QF＝EF. ∵∠EFD＝90°，∴DF⊥QE， ∴DQ＝DE＝x＋2. 触类旁通 1. 如图，在▱ABCD中，延长CD至点E，使DE＝DC，连结BE交AD于点F，交AC于点G，则 的值是(　　) 【解析】 ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD. D 2. 矩形ABCD与矩形CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连结AF，取AF的中点H，连结GH.若BC＝EF＝3，CD＝CE＝1，则GH＝(　　) 【解析】 延长GH交AD于点M，如图． ∵四边形ABCD与四边形CEFG都是矩形， ∴CD＝CE＝FG＝1，BC＝EF＝CG＝3，BE∥AD∥FG， A 3. 如图，边长为a的等边三角形ABC中，BF是AC上的中线，D是线段BF上的动点，连结AD，在AD的右侧作等边三角形ADE，连结BE，则AE＋BE的最小值是(　　) 【解析】 如图，连结CE， ∵△ABC，△ADE都是等边三角形， ∴AB＝AC＝a，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝60°， D (5)多条中线关联重心 典例感悟 例 如图，点P是△ABC的重心，D是边AC的中点，PE∥AC交BC于点E，DF∥BC交EP于点F.若四边形CDFE的面积为6，则△ABC的面积为(　　) A．12 B．14 C．18 D．24 C 【解析】 如图，连结BD. 触类旁通 1. 如图，在Rt△ABC中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，D，E分别为AC，BC的中点，连结AE，BD相交于点F，点G在CD上，且DG∶GC＝1∶2，则四边形DFEG的面积为(　　) A．2 cm2 B．4 cm2 C．6 cm2 D．8 cm2 【解析】 连结DE，如图． ∵D，E分别为AC，BC的中点， B 2. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，AC＝x，∠BAC＝α，O为AB的中点，若点D为直线BC下方一点，且△BCD 与△ABC相似，则下列结论： ①若α＝45°，BC与OD相交于点E， 则点E不一定是△ABD的重心； ②若α＝60°，则AD的最大值为2 ； ③若α＝60°，△ABC∽△CBD，则OD的长为2 ； ④若△ABC∽△BCD，则当x＝2时，AC＋CD取得最大值． 其中正确的为(　　) A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④ A 【解析】 ①有3种情况，如图1，BC和OD都是中线，点E是重心； 如图2，四边形ABDC是平行四边形，F是AD的中点，点E是重心； 如图3，点F不是AD的中点，所以点E不是重心，故①正确． ②若α＝60°，如图4，AD取得最大值，AB＝4， ③如图5，若α＝60°，△ABC∽△CBD， ④如图6，△ABC∽△BCD， 3. 如图，点G为△ABC的重心，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，具有性质：AG∶GD＝BG∶GE＝CG∶GF＝2∶1.已知△AFG的面积为3，则△ABC的面积为______． 【解析】 ∵CG∶GF＝2∶1，△AFG的面积为3， ∴△ACG的面积为6，∴△ACF的面积为3＋6＝9. ∵F为AB的中点， ∴△ACF的面积＝△BCF的面积， ∴△ABC的面积为9＋9＝18.   18 感谢聆听，再见！ A．1 B． C． D． ∵E是CD的中点，∴DE＝CE，∴BG＝DG， ∴EG是△BCD的中位线， ∴EG＝BC＝1.∵EG∥BC，∴∠EGD＝∠CBD. ∵F是AB的中点，∴FG∥AD，FG＝AD＝1，∴∠FGD＝∠BDC. ∵∠C＝90°，∴∠BDC＋∠DBC＝90°，∴∠FGD＋∠DGE＝90°，∴∠FGE＝90°， ∴EF＝＝. A． B．7 C． D．8 【解析】 ∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC＝×6＝3， ∴△DEF∽△BMF，∴＝＝＝2，∴BM＝，CM＝BC＋BM＝. A． B． C．1 D． 【解析】 ∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°. ∵∠B＝45°，BD＝，∴AD＝BD＝. ∵∠C＝60°，∴DC＝＝＝1， ∴AC＝2DC＝2. ∵E，F分别为AB，BC的中点， ∴EF＝AC＝1. A． B． C． D．4 ∴四边形GMNP是矩形， ∴GM＝PN，GP＝MN. ∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝5， ∴CA⊥AB. 又∵G，F分别是线段DE，BC的中点， ∴GM，FN分别是△ADE，△ABC的中位线， ∴GM＝AD＝1，AM＝AE， FN＝AC＝，AN＝AB＝， ∴MN＝AN－AM＝－AE， ∴PN＝1，FP＝. 设AE＝m， ∴AM＝m，GP＝MN＝－m， 在Rt△AGM中，AG2＝＋12， 在Rt△GPF中，GF2＝＋. ∵AG＝GF， ∴＋12＝＋， 解得m＝3，即AE＝3. 在Rt△ADE中，DE＝＝. 【解析】 由平移的性质可知DF∥CE，DF＝CE， ∴四边形CFDE是平行四边形． 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6， ∴AC＝＝＝8. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，F是AB的中点， ∴CF＝AB＝5. ∵DF∥CE，F是AB的中点， ∴＝＝，∠CDF＝180°－∠ACB＝90°， ∴D是AC的中点，∴CD＝AC＝4. ∵点F是AB的中点，点D是AC的中点， ∴DF是Rt△ABC的中位线，∴DF＝BC＝3， ∴四边形CFDE的周长为2(DF＋CF)＝2×(3＋5)＝16， 四边形CFDE的面积为DF·CD＝3×4＝12. 【解析】 ∵CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，CD＝5， ∴AB＝2CD＝10. ∵∠ACB＝90°，AC＝8，∴BC＝＝6. ∵E为AC的中点，∴AE＝CE， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE＝BC＝3. 【解析】 ∵∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴点A，B，C，D在以E为圆心，AC为直径的同一个圆上． ∵∠BAD＝58°，∴∠DEB＝116°. ∵DE＝BE＝AC，∴∠EBD＝∠EDB＝32°. 在△OEF和△OGD中， ∴△OEF≌△OGD(ASA)，∴EF＝GD，∴四边形DEFG是平行四边形． (2)∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°. ∵E是AC的中点，∴DE＝AC＝CE，∴∠C＝∠EDC，∴tan C＝＝tan ∠EDC＝，即＝，∴CD＝2，∴AC＝＝＝，∴DE＝AC＝. 【解析】 ∵DE是BC的垂直平分线， ∴CE＝BE，∴CD＝BD. ∵BE＝9，BC＝12，∴CD＝6，CE＝9， ∴cos C＝＝＝. A. 2 B． C． D． ∵AE⊥BC，BC∥AD， ∴AE⊥AD，∴∠AEB＝∠EAD＝90°. ∵AE2＝DE2－AD2＝AB2－BE2， ∴(x＋2)2－4＝6－x2，整理得2x2＋4x－6＝0， 解得x＝1或－3(舍去)， ∴BE＝1，∴AE＝＝＝. A． B． C． D． ∵DE＝CD，∴AB＝DE. ∵AB∥CD，∴∠EDF＝∠BAF，∠DEF＝∠ABF. 在△DEF和△ABF中， ∴△DEF≌△ABF(ASA)，∴S△ABF＝S△DEF. ∵CD＝DE，∴S△CEF＝2S△DEF＝2S△ABF， ∴＝. A． B． C．2 D． ∴DG＝CG－CD＝3－1＝2，∠HAM＝∠HFG. ∵AF的中点为H，∴AH＝FH. 在△AMH和△FGH中， ∴△AMH≌△FGH(ASA)， ∴AM＝FG＝1，MH＝GH， ∴MD＝AD－AM＝3－1＝2. 在Rt△MDG中，GM＝＝＝2， ∴GH＝GM＝. A．(＋1)a B．3a－1 C．a D．a ∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE(SAS)， ∴∠ABD＝∠ACE. ∵BF是△ABC的中线，∴AF＝CF＝a， ∴BF＝a， ∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝30°，BF⊥AC， ∴点E在射线CE上运动，作点A关于直线CE的对称点M，连结FM，EM，CM，则AE＝ME， ∵由对称可得CA＝CM，∠ACM＝2∠ACE＝60°， ∴△ACM是等边三角形，∴∠AFM＝90°，AM＝AC＝a， ∵P是△ABC的重心，D是边AC的中点， ∴P在BD上，S△ABC＝2S△BDC， ∴BP∶PD＝2∶1. ∵DF∥BC，∴△DFP∽△BEP， ∴＝. ∵EF∥AC，∴△BEP∽△BCD， ∴＝＝＝. 设△DFP的面积为m，则△BEP的面积为4m，△BCD的面积为9m， ∵四边形CDFE的面积为6， ∴m＋9m－4m＝6，∴m＝1， ∴△BCD的面积为9，∴△ABC的面积是18. ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE＝AB＝3(cm)，DE∥AB， ∴△DEF∽△BAF， ∴＝＝，＝＝， ∴＝＝， ∴S△ABF＝S△ABE＝×AB·BE＝××6××8＝8(cm2)， ∴S△DEF＝S△ABF＝2(cm2). ∵S△DEC＝DE·CE＝×3×4＝6(cm2)，DG∶GC＝1∶2， ∴S△DEG＝S△DEC＝2(cm2)， ∴S四边形DFEG＝S△DEF＋S△DEG＝4(cm2)， ∴四边形DFEG的面积为4 cm2. ∴AC＝BE＝2，BC＝AE＝2，BD＝BC＝6， ∴DE＝8，∴AD＝2≠2，故②错误． ∴∠BCD＝60°，∠CDB＝90°，AB＝4，AC＝2，BC＝2，OE＝，CE＝1， ∴CD＝，GE＝DF＝，CF＝， ∴EF＝DG＝，OG＝，∴OD＝≠2， 故③错误． ∴＝，即CD＝BC2， 在Rt△ABC中，BC2＝16－x2， ∴CD＝(16－x2)＝－x2＋4， ∴AC＋CD＝x－x2＋4＝－(x－2)2＋5. 当x＝2时，AC＋CD取最大值，值为5，故④正确． $$