新中考热点问题4 函数性质中的不等关系-【精彩三年】2024年中考数学精品课堂教师用书配套课件PPT

新中考热点问题4　　函数性质中的不等关系 一、数与代数领域 2.函数图象和性质 (1)函数值大小比较 典例感悟 例 已知点A(a，2)，B(b，2)，C(c，7)都在抛物线y＝(x－1)2－2上，点A在点B左侧，下列选项正确的是(　　) A．若c＜0，则a＜c＜b B．若c＜0，则a＜b＜c C．若c＞0，则a＜c＜b D．若c＞0，则a＜b＜c D 【解析】 ∵抛物线y＝(x－1)2－2， ∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线开口向上，当x＞1时，y随x的增大而增大．当x＜1时，y随x的增大而减小． ∵点A(a，2)，B(b，2)，C(c，7)都在抛物线y＝(x－1)2－2上，点A在点B左侧， ∴若c＜0，则c＜a＜b，故选项A，B均不符合题意； 若c＞0，则a＜b＜c，故选项C不符合题意，选项D符合题意． 触类旁通 1. 已知三个点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)在反比例函数y＝ 的图象上，其中x1＜x2＜0＜x3，下列结论中正确的是(　　) A．y2＜y1＜0＜y3 B．y1＜y2＜0＜y3 C．y3＜0＜y2＜y1 D．y3＜0＜y1＜y2 A 2. 抛物线y＝x2＋3上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若y1＜y2，则下列结论正确的是(　　) A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0 C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不对 【解析】 抛物线y＝x2＋3开口向上，对称轴为y轴， ∵抛物线y＝x2＋3上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且y1＜y2，∴|x1|＜|x2|， ∴0≤x1＜x2或x2＜x1≤0或0＜－x1＜x2或0＜x1＜－x2. D 3. 二次函数y＝mx2－2m2x＋n的图象经过点A(－3，y1)，B(7，y2)，且y1＞y2，则m的取值范围是(　　) A．0＜m＜2 B．m＜0或m＞2 C．－3＜m＜0 D．m＜－3或m＞7 【解析】 ∵二次函数y＝mx2－2m2x＋n的图象经过点A(－3，y1)，B(7，y2)， ∴y1＝9m＋6m2＋n，y2＝49m－14m2＋n. ∵y1＞y2，即y1－y2＞0， B (2)不等条件下字母系数范围的确定 典例感悟 例 已知二次函数y＝mx2－4m2x－3(m为常数，m≠0)，点P(xP，yP)是该函数图象上一点，当0≤xP≤4时，yP≤－3，则m的取值范围是(　 　) A．m≥1或m＜0 B．m≥1 C．m≤－1或m＞0 D．m≤－1 A 【解析】 ∵二次函数y＝mx2－4m2x－3，∴对称轴为直线x＝2m，抛物线与y轴的交点为(0，－3). ∵点P(xP，yP)是该函数图象上一点，当0≤xP≤4时，yP≤－3，∴①当m＞0时，对称轴x＝2m＞0， 此时，当x＝4时，y≤－3，即m·42－4m2·4－3≤－3，解得m≥1. ②当m＜0时，对称轴x＝2m＜0，当0≤x≤4时，y随x的增大而减小，则当0≤xP≤4时，yP≤－3恒成立． 综上，m的取值范围是m≥1或m＜0. 触类旁通 1. 已知抛物线y＝ax2－2ax＋b(a＞0)经过A(2n＋3，y1)，B(n－1，y2)两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1＜y2，则n的取值范围是 _____________________． －1＜n＜0 2. 在平面直角坐标系xOy中，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)上任意两点，设抛物线的对称轴为直线x＝t.若对于0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有y1＜y2，求t的取值范围． 3. 在平面直角坐标系xOy中，点(1，m)，(3，n)在抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)上，设抛物线的对称轴为直线x＝t.点(x0，m)(x0≠1)在抛物线上．若m＜n＜c，求t的取值范围及x0的取值范围． (3)函数最值问题 典例感悟 例 已知二次函数y＝－x2－2x＋3，当a≤x≤ 时，函数值y的最小值为1，则a的值为 _______________． 触类旁通 1. 已知二次函数y＝ax2－2ax＋a＋2(a≠0)，若－1≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为4，则a的值为(　　) A．1 B．－1 C．±1 D．无法确定 C 2. 已知抛物线y＝ax2－2ax＋a2＋1(a≠0).当x≥3时，y随x的增大而增大；当－2≤x≤0时，y的最大值为10.那么与抛物线y＝ax2－2ax＋a2＋1关于y轴对称的抛物线在－2≤x≤3内的函数最大值为(　　) A．10 B．17 C．5 D．2 B ∵当－2≤x≤0时，y的最大值为10， ∴当x＝－2时，y＝a2＋8a＋1＝10， ∴a＝1或a＝－9(舍去)， ∴抛物线为y＝x2－2x＋2. ∵y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1， ∴此抛物线关于y轴对称的抛物线为y＝(x＋1)2＋1， ∴函数y＝(x＋1)2＋1， ∴抛物线y＝(x＋1)2＋1在－2≤x≤3内，当x＝3时取最大值，即y＝17. 3. 定义：min{a，b}＝ 若函数y＝min{x＋1，－x2＋2x＋3}， 则该函数的最大值为(　　) A．0 B．2 C．3 D．4 【解析】 由x＋1＝－x2＋2x＋3，解得x＝－1或x＝2. C 感谢聆听，再见！ 【解析】 ∵反比例函数y＝中，k＝2＞0， ∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小． ∵x1＜x2＜0＜x3，∴(x1，y1)，(x2，y2)两点在第三象限，点(x3，y3)在第一象限， ∴y2＜y1＜0＜y3. ∴9m＋6m2＋n－(49m－14m2＋n)＞0，即m(m－2)＞0， ∴或 解得m＞2；解得m＜0， ∴m＜0或m＞2. 【解析】 抛物线的对称轴为直线x＝1，∵a＞0，∴抛物线开口向上． ∵y1＜y2，∴若点A在对称轴x＝1的左侧，点B在对称轴x＝1的右侧， 由题意可得不等式组无解； 若点B在对称轴x＝1的左侧，点A在对称轴x＝1的右侧， 由题意可得 解得－1＜n＜0，∴n的取值范围为－1＜n＜0. 解：∵0＜x1＜1，1＜x2＜2，∴<<，x1＜x2. ∵y1＜y2，a＞0，∴(x1，y1)离对称轴更近，x1＜x2，则(x1，y1)与(x2，y2)的中点在对称轴的右侧， ∴＞t，即t≤. 解：∵m＜n＜c，∴a＋b＋c＜9a＋3b＋c＜c，解得－4a＜b＜－3a，∴3a＜－b＜4a，∴＜－＜，即＜t＜2. 由题意可知，点(x0，m)与点(1，m)关于直线x＝t对称，∴t＝. 当t＝时，x0＝2；当t＝2时，x0＝3，∴x0的取值范围为2＜x0＜3. 综上，t的取值范围为＜t＜2，x0的取值范围为2＜x0＜3. －1－ 【解析】 ∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4， ∴图象开口向下，顶点坐标为(－1，4). 根据题意，当a≤x≤时，函数值y的最小值为1， 当y＝1时，－(x＋1)2＋4＝1， ∴x＝－1±， ∵－1＋＞， ∴－1－≤x≤时，函数值y的最小值为1， ∴a＝－1－. 【解析】 当a＞0时， ∵该二次函数图象的对称轴为x＝－＝1， 当x＝1时，y有最小值为2，当x＝－1时，y有最大值为4a＋2， ∴4a＋2－2＝4，∴a＝1. 当a＜0时，同理可得y有最大值为2，y有最小值为4a＋2， ∴2－(4a＋2)＝4，∴a＝－1. 综上所述，a的值为±1. 【解析】 ∵抛物线y＝ax2－2ax＋a2＋1(a≠0)， ∴对称轴为直线x＝－＝1. ∵当x≥3时，y随x的增大而增大， ∴a＞0，且x≤1时，y随x的增大而减小． ∴y＝ 由图可知，当x＝2时，y有最大值， 把x＝2代入y＝x＋1得y＝3， ∴函数的最大值为3. $$