中考核心微专题16 几何图形中方程思想的运用-【精彩三年】2024年中考数学精品课堂教师用书配套课件PPT

中考核心微专题十六 几何图形中方程思想的运用 第六单元　圆 [方程思想] 方程是贯穿初中代数的一条知识主线，方程型综合题一直是中考命题的热点，也是中考试题中常见的中档题．这类试题主要是结合代数式的恒等变形，求代数式的值，或通过解方程(组)、解不等式(组)、利用函数知识求参数的值或取值范围、证明与方程有关的代数解等形式进行命题考查． 运用方程思想解题的一般步骤： (1)把问题归结为确定一个或几个未知数． (2)挖掘问题中已知与未知数量之间的等量关系，建立方程或方程组． (3)求解或讨论所得方程或方程组． (4)检验并作出符合实际问题的回答． 类型一　三角形、四边形与方程　　　 1．七巧板是大家熟悉的一种益智玩具．用七巧板能拼出许多有趣的图案．小李将一块等腰直角三角形硬纸板(如图1)切割成七块，正好制成一副七巧板(如图2).已知AB＝40 cm，则图中阴影部分的面积为(　　) C 类型一　三角形、四边形与方程　　　 A 类型一　三角形、四边形与方程　　　 3. 如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝45°，DE⊥BC于点E，交对角线AC于点P，过点P作PF⊥CD于点F.若△PDF的周长为8.则菱形ABCD的面积为(　　) D 类型一　三角形、四边形与方程　　　 类型一　三角形、四边形与方程　　　 类型一　三角形、四边形与方程　　　 4．如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°， AE交BC于点E，AF交CD于点F，连结EF，将△ADF绕 点A顺时针旋转90°得到△ABG，若DF＝3，则BE的长 为_________． 2 类型一　三角形、四边形与方程　　　 5．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，点E为边AB上的一个动点，延长BA到点F，使AF＝AE，且CF，DE相交于点G，则BC的长 等于______．当CG＝2时，AE的长等于____． 【解析】 过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，如图所示． 设AE＝m，则AF＝AE＝m，EF＝AE＋AF＝2m， ∵四边形ABCD为菱形， 2 类型一　三角形、四边形与方程　　　 类型一　三角形、四边形与方程　　　 类型一　三角形、四边形与方程　　　 6．如图，在△ABC中，BC＝2AB，D，E分别是边BC，AC的中点．将△CDE绕点E旋转180°，得△AFE. (1)判断四边形ABDF的形状，并证明． (2)已知AB＝3，AD＋BF＝8，求四边形ABDF的面积． 解：(1)结论：四边形ABDF是菱形． ∵CD＝DB，CE＝EA，∴DE∥AB，AB＝2DE， 由旋转的性质可知，DE＝EF，∴AB＝DF，AB∥DF， ∴四边形ABDF是平行四边形． 类型一　三角形、四边形与方程　　　 类型二　相似三角形与方程 1．如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点E在边AD上，EF⊥BD于点F.若EF＝1，则DE的长为(　　) B 类型二　相似三角形与方程 A 类型二　相似三角形与方程 类型二　相似三角形与方程 3．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E是AD上一点，DE＝1，连结BE，过点E作EF⊥BE，交BC的延长线于点F，则CF的长为(　　) D 类型二　相似三角形与方程 类型二　相似三角形与方程 5．如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120 mm，高AD＝80 mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，求这个正方形零件的边长． 类型二　相似三角形与方程 6．如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点(点E在点F左侧)，且∠AEB＝∠CFD＝90°. (1)求证：四边形AECF是平行四边形． (2)当AB＝5，tan ∠ABE＝ ，∠CBE＝∠EAF时，求BD的长． 解：(1)证明：∵∠AEB＝∠CFD＝90°，∴AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF. 类型二　相似三角形与方程 类型二　相似三角形与方程 类型二　相似三角形与方程 类型三　圆与方程 1．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如下．⊙O与矩形ABCD的边BC，AD分别相切和相交(E，F是交点)，已知EF＝CD＝8，则⊙O的半径为(　　) A．4 B．5 C．6 D．8 B 类型三　圆与方程 类型三　圆与方程 2．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点O在AC上，⊙O与AB，BC相切，与AD相交于点E，F，则EF的长为(　　) D 类型三　圆与方程 【解析】 如图，过点O作OK⊥AD，垂足为K，设⊙O与AB相切于点G，连结OG，则OG⊥AB，延长KO交BC于点H，连结OF.∴OH⊥BC.又∵∠B＝90°， ∴四边形OGBH为矩形． ∵AB，BC与⊙O相切，OG＝OH， ∴四边形OGBH是正方形， ∴OG∥BC，∴△ABC∽△AGO， 类型三　圆与方程 类型三　圆与方程 A 类型三　圆与方程 类型三　圆与方程 类型三　圆与方程 4．[2023·东营]“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就是： 如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E， CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度为_______寸． 26 类型三　圆与方程 感谢聆听，再见！ A. 25 cm2 B．cm2 C．50 cm2 D．75 cm2 2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，BE⊥CD，交CD的延长线于点E.若AC＝2，BC＝2，则BE的长为(　　) A． B． C． D． A．16 B．16 C．32 D．32 【解析】 ∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝CD，∠BCD＝∠BAD， ∠ACB＝∠ACD，AD∥BC， ∴∠BAD＋∠B＝180°， ∵∠DAB＝45°，∴∠BCD＝∠BAD＝45°. ∵DE⊥BC，∴△CDE是等腰直角三角形， ∴∠CDE＝45°，CD＝DE. ∵PF⊥CD，∴△DPF是等腰直角三角形， ∴PF＝DF，PD＝PF. 设PF＝DF＝x，则PD＝x， ∵△PDF的周长为8， ∴x＋x＋x＝8， 解得x＝8－4， ∵∠ACB＝∠ACD，DE⊥BC，PF⊥CD， ∴PE＝PF＝x， ∴DE＝x＋x＝(1＋)×(8－4)＝4， ∴BC＝CD＝DE＝8， ∴菱形ABCD的面积＝BC×DE＝8×4＝32. ∴CD∥EF，AD∥BC，BC＝AD＝CD＝AB＝2. ∵AD∥BC，∠DAB＝60°，∴∠CBH＝∠DAB＝60°， 在Rt△BCH中，∠CBH＝60°， BC＝2，sin ∠CBH＝，cos ∠CBH＝， ∴CH＝BC·sin ∠CBH＝2·sin 60°＝， BH＝BC·cos ∠CBH＝2·cos 60°＝1. ∵CD∥EF，△DCG∽△EFG，∴CD∶EF＝CG∶FG， ∵CD＝2，CG＝2，EF＝2m，∴2∶2m＝2∶FG， ∴FG＝2m， ∴FC＝FG＋CG＝2m＋2， FH＝AF＋AB＋BH＝m＋2＋1＝m＋3. 在Rt△FCH中，由勾股定理得FC2＝FH2＋CH2， 即(2m＋2)2＝(m＋3)2＋()2，整理得3m2＋2m－8＝0， 解得m1＝，m2＝－2(不合题意，舍去)，∴AE＝m＝. (2)如图，连结BF，AD交于点O.∵四边形ABDF是菱形， ∴AD⊥BF，OB＝OF，AO＝OD， 设OA＝x，OB＝y，则有 ∴x＋y＝4，∴x2＋2xy＋y2＝16，∴2xy＝7， ∴S菱形ABDF＝BF·AD＝2xy＝7. A． B． C．2 D．3 2．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，点D在AB的延长线上，∠A＝∠BCD＝45°，则△BCD的面积为(　　) A．7.5 B．4 C．7 D．8.5 【解析】 如图，过点C作CH⊥AB于H， ∵∠A＝45°，CH⊥AB， ∴△ACH是等腰直角三角形， ∴AH＝CH，AC＝CH＝3， ∴AH＝CH＝3， ∴BH＝1，∴CB＝＝＝. ∵∠A＝∠BCD＝45°，∠D＝∠D，∴△BCD∽△CAD， ∴＝，∴＝＝，∴设BD＝x，CD＝3x， ∵CD2＝CH2＋DH2，∴9x2＝9＋(x＋1)2， ∴x1＝，x2＝－，∴BD＝5， ∴△BCD的面积＝×BD×CH＝， A．1 B．1.5 C． D．2 4．如图，在等边三角形ABC中，D为BC边上一点， E为AC边上一点，且∠ADE＝60°，BD＝4，CE＝， 则△ABC的面积为________． 9 解：∵四边形EGHF为正方形，∴BC∥EF. 设正方形零件的边长为x mm，则KD＝EF＝x mm， AK＝(80－x) mm. ∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC.∵AD⊥BC，∴＝， ∴＝，解得x＝48，故正方形零件的边长为48 mm. 在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF(AAS)， ∴AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形． (2)在Rt△ABE中，tan ∠ABE＝＝，设AE＝3a，则BE＝4a， 由勾股定理得(3a)2＋(4a)2＝52，解得a＝1或a＝－1(舍去)， ∴AE＝3，BE＝4，由(1)得，四边形AECF是平行四边形， ∴∠EAF＝∠ECF，CF＝AE＝3.∵∠CBE＝∠EAF， ∴∠ECF＝∠CBE，∴△CFE∽△BFC，∴＝， ∴CF2＝EF·BF， 设EF＝x，则BF＝x＋4，∴32＝x(x＋4)， 解得x＝－2或x＝－－2(舍去)，即EF＝－2， 由(1)得△ABE≌△CDF，∴BE＝DF＝4， ∴BD＝BE＋EF＋DF＝4＋－2＋4＝6＋. 【解析】 如图，由题意，⊙O与BC相切，记切点为M，作 直线OM，分别交AD、劣弧于点H，N，连结OF， 在矩形ABCD中，AD∥BC，而MN⊥BC， ∴MN⊥AD. ∴在⊙O中，FH＝EF＝4. 设球的半径为r，则OH＝8－r， 在Rt△OFH中，由勾股定理得，r2－(8－r)2＝42， 解得r＝5. A. 3 B． C． D． ∴＝. 设正方形OGBH的边长为x，则＝，解得x＝， ∴OK＝AG＝3－＝. 在Rt△OKF中，由勾股定理得KF＝＝. 又∵OK⊥EF，∴EF＝2KF＝. 3．如图，AB为⊙O的直径，点C为半圆上一点且sin ∠CAB＝，E，F分别为的中点，弦EF分别交AC，CB于点M，N.若MN＝2，则AB＝(　　) A．10 B．10 C．18 D．6 【解析】 如图，连结OE，OF分别交AC，BC于点P，Q， ∵E，F分别为的中点， ∴OP垂直平分AC，OQ垂直平分BC. 又∵AB为⊙O的直径，OE＝OF， ∴∠EOF＝∠AOB＝×180°＝90°，∴∠E＝∠F＝45°， ∴∠EMP＝∠CMN＝∠CNM＝∠FNQ＝45°， ∴△PEM，△QFN，△OEF，△CMN都是等腰直角三角形． 在Rt△ABC中，sin ∠BAC＝＝， 在Rt△CMN中，MN＝2，∴CM＝CN＝MN＝×2＝2. 设BC＝3x，则AB＝5x，由勾股定理可得AC＝＝4x. 又∵OE⊥AC，OF⊥BC，OA＝OB， ∴AP＝PC＝OQ＝AC＝2x，OP＝QC＝QB＝BC＝x， ∴PE＝PM＝PC－CM＝2x－2，OP＝OE－PE＝x－2x＋2. 又∵OP＝CQ，∴x－2x＋2＝x，解得x＝2， ∴AB＝5x＝10，故选A. 【解析】 连结OA，设⊙O的半径是r寸， ∵直径CD⊥AB， ∴AE＝AB＝×10＝5(寸)， ∵CE＝1寸，∴OE＝(r－1)寸． ∵OA2＝OE2＋AE2，∴r2＝(r－1)2＋52，∴r＝13， ∴直径CD的长度为2r＝26寸． $$