中考核心微专题15 圆中的最值问题-【精彩三年】2024年中考数学精品课堂教师用书配套课件PPT

中考核心微专题十五 圆中的最值问题 第六单元　圆 类型一　直径是圆中最长的弦　 1．如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A，B两点，M，N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB＝45°，则四边形MANB面积的最大值是(　　) C 类型一　直径是圆中最长的弦　 2．如图，在⊙O中，P为优弧 上的一个动点(不与A，B两点重合)，PQ⊥AB，垂足为Q，D是BP的中点，连结DQ.若⊙O的半径为4，则线段DQ的最大值是(　　) A 类型一　直径是圆中最长的弦　 3．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝θ，点E，F分别是AC，BC的中点，直线EF与⊙O交于G，H两点，若⊙O的半径是r，则GE＋FH的最大值是(　　) A．r(2－sin θ) B．r(2＋sin θ) C．r(2－cos θ) D．r(2＋cos θ) A 类型一　直径是圆中最长的弦　 类型一　直径是圆中最长的弦　 类型一　直径是圆中最长的弦　 类型一　直径是圆中最长的弦　 类型二　垂线段最短 1．如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝8，∠CBA＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D并交EC的延长线于点F.则线段EF的最小值为(　　) 2．已知P为⊙O内一点，OP＝3 cm，⊙O的半径为5 cm，则经过P点的最短弦长为______ cm，最长弦长为______ cm. A 8 10 类型二　垂线段最短 3．如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连 结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大 值为________．   4．如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半径为 ，P为AB边上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为______．   3 类型二　垂线段最短 类型三　三角形两边之和大于第三边 1．如图，已知点A是以MN为直径的半圆上一个三等分点，点B是弧AN的中点，点P是半径ON上的点．若⊙O的半径为1，则AP＋BP的最小值为(　　) C 类型三　三角形两边之和大于第三边 类型三　三角形两边之和大于第三边 2．如图，A，B是半圆O上的两点，MN是直径，OB⊥MN.若AB＝4，OB＝5，P是MN上的一个动点，则PA＋PB的最小值为(　　) C 类型三　三角形两边之和大于第三边 类型三　三角形两边之和大于第三边 3．如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则△AMN周长的最小值是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 B 类型三　三角形两边之和大于第三边 类型三　三角形两边之和大于第三边 4. 如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交BC于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为(　　) C 类型三　三角形两边之和大于第三边 类型三　三角形两边之和大于第三边 5．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，OB＝6，以点O为圆心、3为半径的⊙O与OB交于点C，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点P是边OA上的点，则PC＋PD的最小值为__________． 类型四　定弦对顶角呈现隐圆 1．如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝4，BC＝3，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为(　　) 【解析】 ∵∠ABC＝90°，∴∠ABP＋∠PBC＝90°， ∵∠PAB＝∠PBC， ∴∠PAB＋∠ABP＝90°， C 类型四　定弦对顶角呈现隐圆 类型四　定弦对顶角呈现隐圆 2．2022·泰安如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4，点P是线段BC上一动点，点M为线段AP上一点，∠ADM＝∠BAP，则BM的最小值为(　　) D 类型四　定弦对顶角呈现隐圆 【解析】 如图，取AD的中点O，连结OB，OM. ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝4， ∴∠BAP＋∠DAM＝90°. ∵∠ADM＝∠BAP， ∴∠ADM＋∠DAM＝90°， ∴∠AMD＝90°.∵AO＝OD＝2， 类型四　定弦对顶角呈现隐圆 类型四　定弦对顶角呈现隐圆 3．2023·随州如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，M是边AB上一动点(不含端点)，将△ADM沿直线DM对折，得到△NDM.当射线CN交线段AB于点P时，连结DP，则△CDP的面积为_______；DP的最大值为__________． 10 类型四　定弦对顶角呈现隐圆 类型四　定弦对顶角呈现隐圆 4．如图，在正方形ABCD中，BC＝2，E，F分别为射 线BC，CD上的动点，且满足BE＝CF，设AE，BF交 于点G，连结DG，则DG的最小值为_____________． 类型四　定弦对顶角呈现隐圆 类型四　定弦对顶角呈现隐圆 5．在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3.点D为平面上一个动点，∠ADB＝45°，则线段CD长度的最小值为_____________． 类型四　定弦对顶角呈现隐圆 类型四　定弦对顶角呈现隐圆 6．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边 的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在的 直线折叠得到△EB′F，连结B′D，求B′D的最小值． 解：根据折叠的性质可知△EBF≌△EB′F， ∴EB′＝EB. 又∵E是AB边的中点，AB＝4， ∴AE＝BE＝EB′＝2， 类型四　定弦对顶角呈现隐圆 感谢聆听，再见！ A．2 B．4 C．4 D．8 A．4 B．4 C．6 D．8 4．如图，AC是⊙O的弦，AC＝5，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC ＝45°，若点M，N分别是AC，BC的中点，则MN的最大值是_______． 【解析】 ∵点M，N分别是AC，BC的中点， ∴MN＝AB， ∴当AB取得最大值时，MN就取得最大值， 当AB是直径时，AB的值最大， 连结AO并延长交⊙O于点B′，连结CB′，如图． ∵AB′是⊙O的直径，∴∠ACB′＝90°. ∵∠ABC＝45°，AC＝5，∴∠AB′C＝45°， ∴AB′＝＝＝5， ∴MN的最大值为. 5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝2，半径为1的⊙O在Rt△ABC内平移(⊙O可以与该三角形的边相切)，则点A到⊙O上的点的距离的最大值为____________． 2＋1 【解析】 当⊙O与BC，BA都相切时，连结AO并延 长交⊙O于点D，则AD的长为点A到⊙O上的点的距离的最大值， 设⊙O与BC，BA的切点分别为E，F，连结OE，OF， 则OE⊥BC，OF⊥AB， ∵AC＝6，BC＝2，∴tan ∠ABC＝＝， AB＝＝4， ∴∠ABC＝60°，∴∠OBF＝30°， ∴BF＝＝， ∴AF＝AB－BF＝3， ∴OA＝＝2，∴AD＝2＋1. A．4 B．2 C．12 D．2 【解析】 连结CP，CQ，作CH⊥AB于H，如图． ∵等边三角形ABC的边长为4， ∴AB＝CB＝4，∠BCH＝∠ACB＝×60°＝30°， ∴BH＝2，CH＝2. ∵PQ为⊙C的切线，∴CQ⊥PQ. 在Rt△CPQ中，PQ＝＝. ∵点P是AB边上一动点，∴当点P运动到H点时，CP最小， 即CP的最小值为2，∴PQ的最小值为＝3. A．2 B． C． D．1 【解析】 如图，作点A关于MN的对称点A′， 连结A′B，交MN于点P，则PA＋PB最小，连结OA′，AA′，OB. ∵点A与A′关于MN对称， 点A是半圆上的一个三等分点， ∴∠A′ON＝∠AON＝60°，PA＝PA′. ∵点B是弧AN的中点，∴∠BON＝30°， ∴∠A′OB＝∠A′ON＋∠BON＝90°. 又∵OB＝OA′＝1，∴A′B＝， ∴PA＋PB的最小值＝PA′＋PB＝A′B＝. A． B．10 C．2 D．无法确定 【解析】 如图，将⊙O补全，延长BO交⊙O于点C， 连结AC交MO于点P，连结BP. ∵BC⊥MN，∴BP＝CP，∴BP＋AP＝AC， 根据两点之间线段最短可知所作点P即为所求． ∵BC为⊙O的直径， ∴∠BAC＝90°.在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝10， ∴AC＝＝＝＝2. 【解析】 ⊙O的面积为2π，则圆的半径为，则 BD＝2＝AC， 由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点， 如图，过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1， 连结AA′交BD于点N，取NM＝1，连结AM，CM， 则点M，N为所求点，∵A′C∥MN，且A′C＝MN， 则四边形MCA′N为平行四边形，则A′N＝CM＝AM， 故△AMN的周长＝AM＋AN＋MN＝AA′＋1为最小， 则A′A＝＝3，则△AMN的周长的最小值为3＋1＝4. A． B． C． D． 【解析】 如图，作点D关于OB的对称点D′，连结D′C交OB于 点E′，连结E′D，OD′，当点E在E′处时， EC＋ED取值最小，此时E′C＋E′D＝CD′， 由题意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°， ∴∠COD′＝90°， ∴CD′＝＝＝2， 的长＝＝， ∴阴影部分周长的最小值为2＋＝. 故选C. 2 A．1 B．1.6 C．－2 D．2 ∴∠APB＝90°， ∴点P在以AB为直径的圆O上，连结OC交圆O于点P， 此时CP最小，如图． 在Rt△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝3，OB＝ AB＝×4＝2， ∴OC＝＝＝.而OP＝OB＝2， ∴CP＝－2，∴线段CP的最小值为－2. A． B． C．－ D．－2 ∵AO＝OD＝2， ∴OM＝AD＝2， ∴点M的运动轨迹是以O为圆心，2为半径的⊙O. ∵OB＝＝＝， ∴BM≥OB－OM＝－2， ∴BM的最小值为－2. 2 【解析】 由题意可得△CDP的面积等于矩形ABCD面积的一半， ∴△CDP的面积为×5×4＝10； 在Rt△APD中，PD＝，当AP最大时，DP最大， 由题意可得点N是在以D为圆心、4为半径的圆上运动，当射线CN与圆相切时，AP最大，此时C，N，M三点共线，点P和M重合，DP的值最大，如图： 设AP＝PN＝x，则PB＝5－x，DN＝4，∴CN＝3， 在Rt△PBC中，根据勾股定理有(5－x)2＋42＝(x＋3)2， 解得x＝2，∴DP＝2. －1 【解析】 在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠BCD， 在△ABE和△BCF中， ∴△ABE≌△BCF(SAS)， ∴∠BAE＝∠CBF.∵∠CBF＋∠ABF＝90°， ∴∠BAE＋∠ABF＝90°， ∴∠AGB＝90°， ∴点G在以AB为直径的圆上． 由图形可知，当O，G，D在同一直线上时，DG有最 小值，如图． ∵BC＝2，∴AO＝1＝OG，∴OD＝， ∴DG＝－1. － 【解析】 如图所示．∵∠ADB＝45°，AB＝2，作△ABD的外接圆O(因为求CD的最小值，故圆心O在AB的右侧)，连结OC，当O，D，C三点共线时，CD的值最小． ∵∠ADB＝45°，∴∠AOB＝90°， ∴△AOB为等腰直角三角形，∴AO＝BO＝sin 45°×AB＝. ∵∠OBA＝45°，∠ABC＝90°， ∴∠OBC＝45°，作OE⊥BC于点E， ∴△OBE为等腰直角三角形． ∴OE＝BE＝sin 45°·OB＝1，∴CE＝BC－BE＝3－1＝2， 在Rt△OEC中，OC＝＝＝. 当O，D，C三点共线时，CD最小为CD＝OC－OD＝－. ∴点B′在以 E为圆心，EA为半径的圆上运动， ∴当D，B′，E三点共线时，B′D的值最小，如图． ∵AD＝6，AE＝2， ∴DE＝＝＝2， ∴B′D＝DE－B′E＝2－2. $$