中考核心微专题13 圆的切线有关的问题-【精彩三年】2024年中考数学精品课堂教师用书配套课件PPT

中考核心微专题十三 圆的切线有关的问题 第六单元　圆 类型一　切线的性质与判定——求线段的长 (一)含有特殊角 若题干中含30°，45°，60°角或“等腰直角三角形”“等边三角形”等字眼，则利用特殊三角形边的关系或者勾股定理求值，需要时连结圆心、切点和构造直径所对的圆周角，然后利用垂直构造直角三角形解决问题． 类型一　切线的性质与判定——求线段的长 1．2023·东营如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E. (1)求证：DE是⊙O的切线． (2)若∠C＝30°，CD＝2 ，求BD的长． 解：(1)证明：连结OD，则OD＝OB， ∴∠ODB＝∠B. ∵AB＝AC，∴∠C＝∠B， 类型一　切线的性质与判定——求线段的长 ∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC. ∵DE⊥AC于点E， ∴∠ODE＝∠CED＝90°. ∵OD是⊙O的半径，DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线． 类型一　切线的性质与判定——求线段的长 类型一　切线的性质与判定——求线段的长 2．2023·恩施州如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点O为AB的中点，连结CO交⊙O于点E，⊙O与AC相切于点D. (1)求证：BC是⊙O的切线． (2)延长CO交⊙O于点G，连结AG交⊙O于点F， 若AC＝4 ，求FG的长． 解：(1)证明：连结OD，作OM⊥BC于M， ∵AC＝BC，O是AB的中点， 类型一　切线的性质与判定——求线段的长 ∴CO平分∠ACB，CO⊥AB. ∵AC切圆于D，∴OD⊥AC，∴OD＝OM， ∴BC是⊙O的切线． 类型一　切线的性质与判定——求线段的长 类型一　切线的性质与判定——求线段的长 (二)不含有特殊角 若题干中不含30°，45°，60°角或“等腰直角三角形”“等边三角形”等字眼，可利用三角函数或者勾股定理求值，需要时连结圆心、切点和构造直径所对的圆周角，然后利用垂直构造直角三角形解决问题． 类型一　切线的性质与判定——求线段的长 1．[2023·鄂州]如图，AB为⊙O的直径，E为⊙O上一点，点C为 的中点，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D，延长DC交AB的延长线于点F. (1)求证：CD是⊙O的切线． (2)若DE＝1，DC＝2，求⊙O的半径长． 类型一　切线的性质与判定——求线段的长 ∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA， ∴∠EAC＝∠OCA. ∴AE∥OC，∴∠ADC＝∠OCF. ∵CD⊥AE，∴∠ADC＝90°，∴∠OCF＝90°，即OC⊥DF， 又OC为⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线． 类型一　切线的性质与判定——求线段的长 类型一　切线的性质与判定——求线段的长 2．2023·宁夏如图，已知AB是⊙O的直径，直线DC是⊙O的切线，切点为C，AE⊥DC，垂足为E.连结AC. (1)求证：AC平分∠BAE. 解：(1)证明：连结OC，如图1. ∵直线DC是⊙O的切线，切点为C， ∴OC⊥DC.又∵AE⊥DC，垂足为E，∴OC∥AE， 类型一　切线的性质与判定——求线段的长 ∴∠EAC＝∠ACO. ∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠OAC， ∴∠EAC＝∠OAC，∴AC平分∠BAE. 类型一　切线的性质与判定——求线段的长 类型一　切线的性质与判定——求线段的长 (三)结合三角形相似 若题干中不含特殊角，通过勾股定理又无法直接求值，可考虑用三角形相似，找到线段间的关系． 类型一　切线的性质与判定——求线段的长 1．2023·泸州如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在斜边AB上，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，与AC相交于点F，连结DE.若AC＝8，BC＝6，则DE的长是(　　) B 类型一　切线的性质与判定——求线段的长 类型一　切线的性质与判定——求线段的长 类型一　切线的性质与判定——求线段的长 类型一　切线的性质与判定——求线段的长 2．2023•营口如图，在△ABC中，AB＝BC，以BC为直径作⊙O与AC交于点D，过点D作DE⊥AB，交CB的延长线于点F，垂足为点E. (1)求证：DF为⊙O的切线． 解：(1)证明：如图，连结BD，OD， ∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，即BD⊥CD. ∵AB＝BC，∴AD＝CD. 类型一　切线的性质与判定——求线段的长 又∵OB＝OC，∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AB. ∵FD⊥AB，∴FD⊥OD. ∵OD是半径，∴DF是⊙O的切线． 类型一　切线的性质与判定——求线段的长 类型一　切线的性质与判定——求线段的长 类型二　切线的性质与判定——求线段的比值 1．如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点D恰好为BC的中点，DE⊥AC. (1)求证：DE为圆O的切线． 解：(1)证明：连结AD，OD，则OD＝OB，∴∠B＝∠ODB， ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°. ∵D是BC的中点，∴AD垂直平分BC，∴AC＝AB， 类型二　切线的性质与判定——求线段的比值 解：(1)证明：连结AD，OD，则OD＝OB， ∴∠B＝∠ODB， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°. ∵D是BC的中点，∴AD垂直平分BC，∴AC＝AB， 类型二　切线的性质与判定——求线段的比值 类型二　切线的性质与判定——求线段的比值 类型二　切线的性质与判定——求线段的比值 2．2023·广安如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，E是BC的中点，连结OE，DE. (1)求证：DE是⊙O的切线． (3)求证：2DE2＝CD·OE. 解：(1)证明：连结OD，BD，如图1. 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°， 类型二　切线的性质与判定——求线段的比值 ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°， ∴∠BDC＝180°－∠ADB＝90°. ∵E是BC的中点，∴DE＝BE＝EC. ∵OB，OD是⊙O的半径，∴OB＝OD， 又∵OE＝OE，∴△ODE≌△OBE(SSS)， ∴∠ODE＝∠OBE＝90°， ∴半径OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线． 类型二　切线的性质与判定——求线段的比值 类型二　切线的性质与判定——求线段的比值 类型二　切线的性质与判定——求线段的比值 3. 如图，AB是⊙O的直径，C，D都是⊙O上的点，AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F. (1)求证：EF是⊙O的切线． (2)若AB＝10，AC＝6，求tan ∠DAB的值． 解：(1)证明：如图1，连结OD， ∵AD平分∠CAB， ∴∠OAD＝∠EAD.∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD. 类型二　切线的性质与判定——求线段的比值 ∴∠ODA＝∠EAD.∴OD∥AE. ∴∠ODF＝∠AEF＝90°且D在⊙O上，∴EF是⊙O的切线．   类型二　切线的性质与判定——求线段的比值 感谢聆听，再见！ (2)连结AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC. ∵AB＝AC，CD＝2， ∴BD＝CD＝2，∴BD的长是2. (2)作OH⊥AG 于H，如图，∴FG＝2GH. ∵△OAC是等腰直角三角形，∴OA＝AC＝×4＝4. ∵△AOD是等腰直角三角形， ∴OD＝AO＝2，∴OG＝2， ∴AG＝＝2. ∵cos G＝＝，∴＝， ∴GH＝，∴FG＝. 解：(1)证明：连结OC，如图1. ∵点C为的中点，∴， ∴∠EAC＝∠BAC. (2)连结CE，BC，如图2.由(1)知CD是⊙O的切线， ∴CD2＝DE·AD.∵DE＝1，DC＝2，∴AD＝4. 在Rt△ADC中，由勾股定理得 AC＝＝＝2. 在Rt△DCE中，由勾股定理得CE＝＝＝. ∵点C是的中点，∴，∴EC＝BC＝. ∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°， 由勾股定理得AB＝＝＝5， ∴⊙O的半径长是2.5. (2)若AC＝5，tan ∠ACE＝，求⊙O的半径． (2)连结BC，如图2. ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°. 又∵AE⊥DC，由(1)得∠EAC＝∠OAC，∴∠ABC＝∠ACE. 在Rt△ABC中，tan ∠ABC＝tan ∠ACE＝， ∴＝＝，∴BC＝， 在Rt△ABC中，AB＝＝， ∴⊙O的半径为. A． B． C． D． 【解析】 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6， 由勾股定理得AB＝＝10， 连结AE，OE， 设⊙O的半径为r，则OA＝OE＝r， ∴OB＝AB－OA＝10－r. ∵BC与半圆相切，∴OE⊥BC， ∵∠C＝90°，即AC⊥BC，∴OE∥AC，∴△BOE∽△BAC， ∴＝＝，即＝＝， 由＝得r＝，由＝得BE＝， ∴CE＝BC－BE＝6－＝. 在Rt△ACE中，AC＝8，CE＝， 由勾股定理得AE＝＝， ∵BE为半圆的切线，∴∠BED＝∠BAE， 又∠DBE＝∠EBA，∴△BDE∽△BEA，∴＝， ∴DE·AB＝BE·AE， 即DE×10＝×，∴DE＝. (2)若BE＝3，cos C＝，求BF的长． (2)由于cos C＝＝，可设CD＝4x，则BC＝5x， ∴BD＝＝3x. ∵AB＝BC，BD⊥AC，∴∠DBE＝∠CBD. ∵∠BED＝∠BDC＝90°，∴△BED∽△BDC， ∴＝，即＝，解得x＝， 经检验，x＝是原方程的解，∴BC＝5x＝， ∴OD＝BC＝. ∵OD∥BE，∴△FEB∽△FDO， ∴＝，即＝，解得FB＝. (2)连结OC交DE于点F，若cos ∠ABC＝，求的值． (2)∵∠ADC＝∠ADB＝90°， ∠ACB＝∠B， ∴＝＝cos ∠ACB＝cos ∠ABC＝， 设CE＝3m，则DC＝8m， ∴AC＝DC＝×8m＝m. ∵点O，D分别是BA，BC的中点， ∴OD＝AC＝×m＝m. ∵∠ODF＝∠FEC＝90°，∠OFD＝∠CFE， ∴＝sin ∠OFD＝sin ∠CFE＝， ∴＝＝＝，∴的值为. (2)若sin C＝，DE＝5，求AD的长． (2)连结BD，如图2， 由(1)知DE＝BE＝EC，∠ADB＝∠BDC＝∠ABC＝90°， ∵DE＝5，∴BC＝10. ∵sin C＝，∴＝，∴BD＝8. ∵∠C＋∠CBD＝∠ABD＋∠CBD＝90°，∴∠ABD＝∠C， ∴sin ∠ABD＝sin C＝，∴＝. 设AD＝4x，则AB＝5x，∵AD2＋BD2＝AB2，∴(4x)2＋82＝(5x)2， 解得x＝(负值舍去)，∴AD＝4x＝4×＝. (3)证明：连结BD，如图3. 由(1)(2)得∠BDC＝∠OBE＝90°， BE＝DE， ∵O是AB的中点，E是BC的中点， ∴OE∥AC，BC＝2BE，∴∠C＝∠OEB， ∴△BCD∽△OEB， ∴＝，即＝，∴2DE2＝CD·OE. (2)连结BC，交OD于点H，如图2. ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°. ∵AB＝10，AC＝6， ∴BC＝＝＝8. ∵∠E＝∠ACB＝90°，∴BC∥EF， ∴∠OHB＝∠ODF＝90°， ∴OD⊥BC，∴CH＝BC＝4. ∵CH＝BH，OA＝OB，∴OH＝AC＝3，∴DH＝5－3＝2. ∵∠E＝∠HCE＝∠EDH＝90°，∴四边形ECHD是矩形， ∴ED＝CH＝4，CE＝DH＝2，∴AE＝6＋2＝8， ∵∠DAB＝∠DAE， ∴tan ∠DAB＝tan ∠DAE＝＝＝. $$