中考核心微专题12 正方形中的构图-【精彩三年】2024年中考数学精品课堂教师用书配套课件PPT

中考核心微专题十二　正方形中的构图 第五单元　多边形和四边形 类型一　与正方形有关的垂线 1．如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF＝1，AF与BE相交于点G.则AG的长为(　　) A．1.4 B．2.4 C．2.5 D．3 B 类型一　与正方形有关的垂线 2．如图，已知点E是正方形ABCD的边AD的延长线上一点，连结CE，过点A作AH⊥CE，交CD边于点F，垂足为点H.若DF＝1，FC＝2，则CE的长为(　　) B 类型一　与正方形有关的垂线 3．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE⊥BF，交点为G，CH⊥BF，交BF于点H.若CH＝HG，S△CFH＝1，那么正方形ABCD的面积为(　　) A．15 B．20 C．22 D．24 B 类型一　与正方形有关的垂线 类型一　与正方形有关的垂线 类型一　与正方形有关的垂线 4．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点H.若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为3∶4，则△BCH的周长为(　　) D 类型一　与正方形有关的垂线 类型一　与正方形有关的垂线 类型一　与正方形有关的垂线 5．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠CAD＝∠DBC. (1)求证：四边形ABCD是正方形． (2)若E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相 交于点F，求证：OE＝OF. 证明：(1)∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，∠BAD＝2∠DAC，∠ABC＝2∠DBC， ∠BAD＋∠ABC＝180°.∵∠CAD＝∠DBC， 类型一　与正方形有关的垂线 ∴∠BAD＝∠ABC， ∴2∠BAD＝180°，∴∠BAD＝90°， ∴四边形ABCD是正方形． 类型一　与正方形有关的垂线 类型二　正方形中“一线三直角”的运用 A 类型二　正方形中“一线三直角”的运用 类型二　正方形中“一线三直角”的运用 又∵∠DMA＝∠ANB＝90°，∴∠MDA＋∠DAM＝90°，∠DAM＋∠BAN＝90°，∴∠ADM＝∠BAN. 在△ADM和△BAN中， ∵∠ADM＝∠BAN，∠DMA＝∠ANB＝90°，AD＝AB， ∴△ADM≌△BAN(AAS)，∴BN＝AM＝3，MD＝AN＝a， ∴OA＝3－a，即AM＝b＋3－a＝3，a＝b. ∵ab＝4，∴a＝b＝2，∴OA＝3－2＝1，即点A的坐标是(1，0). 类型二　正方形中“一线三直角”的运用 2．[2022·黔东南州]如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED，过点D作DF⊥BC，垂足为F，则DF的长为(　　) D 类型二　正方形中“一线三直角”的运用 【解析】 如图，过点E作EG⊥DF于点G，作EH⊥BC交CB的延长线于点H，则∠BHE＝∠DGE＝90°. ∵△ABC是边长为2的等边三角形， ∴AB＝2，∠ABC＝60°. ∵四边形ABED是正方形， ∴BE＝DE＝2，∠ABE＝∠BED＝90°， ∴∠EBH＝180°－∠ABC－∠ABE＝180°－60°－90°＝30°， 类型二　正方形中“一线三直角”的运用 类型二　正方形中“一线三直角”的运用 类型二　正方形中“一线三直角”的运用 C 类型二　正方形中“一线三直角”的运用 【解析】 过点P作PE⊥AB于点E，交CD于点F，如图． ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠PAE＝∠PCF＝45°，AB∥CF， ∴PF⊥CF，∴△PCF为等腰直角三角形， ∴PF＝CF.而CF＝BE，∴PF＝BE. ∵PB⊥PQ，∴∠1＋∠BPE＝90°， 而∠2＋∠BPE＝90°，∴∠1＝∠2. 类型二　正方形中“一线三直角”的运用 类型二　正方形中“一线三直角”的运用 4．如图，E是正方形ABCD的边BC上的动点，∠AEF＝90°，且EF＝AE，FH⊥BH. (1)求证：CH＝BE. (2)若AB＝3，BE＝x，用x表示DF的长． 解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝90°，AB＝BC. ∵FH⊥BH，∴∠H＝90°＝∠B，∠F＝90°－∠FEH. 类型二　正方形中“一线三直角”的运用 类型二　正方形中“一线三直角”的运用 类型三　正方形中“半角模型”的运用 1．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，F在BC边上，且∠EAF＝45°，连结EF，则BF的长为(　　) 2．如图，在正方形ABCD中，M，N分别为边BC和CD上的点，∠MAN＝45°，MN＝2MC，则∠NAD＝_______． A 15° 类型三　正方形中“半角模型”的运用 类型三　正方形中“半角模型”的运用 3．如图，在正方形ABCD中，点M，N分别在边BC，CD上，∠MAN＝45° (1)求证：MN＝BM＋DN. (2)当AB＝6，MN＝5时，求△CMN的面积． 类型三　正方形中“半角模型”的运用 类型三　正方形中“半角模型”的运用 ∵S△AMN＝S△ABM＋S△ABG， ∴S△AMN＝S△ABM＋S△ADN＝15， ∴S△CMN＝S正方形ABCD－2S△AMN＝36－30＝6. 类型三　正方形中“半角模型”的运用 4．如图，在Rt△CEF中，∠C＝90°，∠BEF，∠DFE的平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足． (1)求证：四边形ABCD是正方形． (2)已知AB的长为6，求(BE＋6)(DF＋6)的值． (3)借助于上面问题的解题思路，解决下列问题：若在△PQR中，∠QPR＝45°，一条高线是PH，长度为6，QH＝2，求HR的长度． 解：(1)证明：作AG⊥EF于点G，如图1， 则∠AGE＝∠AGF＝90°. 类型三　正方形中“半角模型”的运用 ∵AB⊥CE，AD⊥CF，∴∠B＝∠D＝90°＝∠C， ∴四边形ABCD是矩形． ∵∠BEF，∠DFE的平分线交于点A， ∴AB＝AG，AD＝AG，∴AB＝AD， ∴四边形ABCD是正方形． 类型三　正方形中“半角模型”的运用 类型三　正方形中“半角模型”的运用 整理得xy＋6(x＋y)＝36， ∴(BE＋6)(DF＋6)＝(x＋6)(y＋6)＝xy＋6(x＋y)＋36＝36＋36＝72. 类型三　正方形中“半角模型”的运用 (3)如图2，把△PQH沿PQ翻折得△PQD，把△PRH沿PR翻折得△PRM，延长DQ，MR交于点G. 由(1)(2)得，四边形PMGD是正方形， MR＋DQ＝QR，MR＝HR，DQ＝HQ＝2， ∴MG＝DG＝MP＝PH＝6，∴GQ＝4. 设MR＝HR＝a，则GR＝6－a，QR＝a＋2. 在Rt△GQR中，由勾股定理得(6－a)2＋42＝(2＋a)2，解得a＝3，即HR＝3. 类型四　正方形中对角互补模型 1．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC＝AE，Rt△FEG的两直角边EF，EG分别交BC，DC于点M，N.若正方形ABCD的边长为2，则重叠部分四边形EMCN的面积为(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 D 类型四　正方形中对角互补模型 【解析】 如图，过点E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°. ∵∠EPM＝∠EQC＝90°， ∴∠PEQ＝90°，∴∠PEM＋∠MEQ＝90°. ∵△FEG是直角三角形，∴∠NEF＝∠NEQ＋∠MEQ＝90°，∴∠PEM＝∠NEQ. 类型四　正方形中对角互补模型 类型四　正方形中对角互补模型 2．如图，已知四边形ABCD是正方形，E为对角线AC上一点，连结DE，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连结CG.若AB＝2 ，则CE＋CG的值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 C 类型四　正方形中对角互补模型 类型四　正方形中对角互补模型 类型四　正方形中对角互补模型 类型四　正方形中对角互补模型 3．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，以AD为边 向外作Rt△ADE，∠AED＝90°，连结OE，DE＝6， OE＝8 ，则另一直角边AE的长为______． 【解析】 如图，过点O作OM⊥AE于点M，作ON⊥DE，交ED的延长线于点N. ∵∠AED＝90°，∴四边形EMON是矩形， ∴∠MON＝90°，即∠MOD＋∠DON＝90°. 10 类型四　正方形中对角互补模型 类型四　正方形中对角互补模型 ∴AM＝DN＝EN－ED＝8－6＝2， ∴AE＝AM＋EM＝2＋8＝10. 类型五　双正方形 1．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，M为AD的中点，延长MD至E，使ME＝MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为(　　) D 类型五　双正方形 2．2022·安徽如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以点E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G.连结DF，请解答下列问题： (1)∠FDG＝______°. (2)若DE＝1，DF＝2 ，则MN＝_______． 45 类型五　双正方形 类型五　双正方形 类型五　双正方形 3. 如图，在正方形ABCD中，G是CD边上的一点(点G不与点C，D重合)，以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连结DE交BG的延长线于点H. (1)求证：BH⊥DE. (2)若正方形ABCD的边长为2，当H为DE的中点时，求CG的长． 解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°，BC＝CD， 同理CG＝CE，∠GCE＝90°，∴∠BCD＝∠GCE＝90°. 类型五　双正方形 类型五　双正方形 感谢聆听，再见！ A． B． C． D．4 【解析】 ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°. ∵AE⊥BF，∠ABC＝90°， ∴∠BAE＋∠GBA＝90°，∠FBC＋∠GBA＝90°， ∴∠BAE＝∠CBF.∵CH⊥BF，∴∠BHC＝90°＝∠AGB. 在△ABG与△BCH中， ∴△ABG≌△BCH(AAS)，∴BG＝CH. 设CH＝x，则HG＝BG＝x， ∴BH＝2x，∴BC＝＝x， 设FH＝y. ∵CH⊥BF，在△CFH中，CF2＝CH2＋FH2＝x2＋y2. 在△CFB中，CF2＝BF2－BC2＝(2x＋y)2－5x2， ∴x2＋y2＝(2x＋y)2－5x2，解得y＝x， ∴S△CFH＝FH·CH＝x2＝1，∴x＝2， ∴正方形的面积为BC2＝(2)2＝20. A．2－4 B．2 C．2＋4 D．2＋4 【解析】 ∵四边形ABCD为正方形，BC＝CD＝AB＝4，∠BCE＝ ∠CDF＝90°，∴S正方形ABCD＝16. ∵S阴影∶S正方形ABCD＝3∶4，∴S阴影＝×16＝12， ∴S空白＝16－12＝4. 在△BCE和△CDF中， ∴△BCE≌△CDF(SAS)， ∴S△BCH＝S四边形EDFH＝2，∠HBC＝∠DCF. ∵∠DCF＋∠HCB＝90°，∴∠HBC＋∠HCB＝90°， ∴∠BHC＝90°， ∴BH2＋CH2＝BC2＝16，BH·CH＝4， ∴(BH＋CH)2＝BH2＋CH2＋2BH·CH＝16＋2×4＝24， ∴BH＋CH＝2， ∴△BCH的周长为BH＋CH＋BC＝2＋4. (2)∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，AC＝BD，CO＝AC，DO＝BD， ∴∠COB＝∠DOC＝90°，CO＝DO. ∵DH⊥CE，垂足为H，∴∠DHE＝90°， ∠EDH＋∠DEH＝90°.∵∠ECO＋∠DEH＝90°，∴∠ECO＝∠EDH. 在△ECO和△FDO中， ∴△ECO≌△FDO(ASA)，∴OE＝OF. 1．如图，点B(3，3)在双曲线y＝(x＞0)上，点D在双曲线y＝－(x＜0)上，点A和点C分别在x轴、y轴的正半轴上，且点A，B，C，D构成的四边形为正方形．则点A的坐标为(　　) A．(1，0) B．(1.5，0) C．(2，0) D．(2.5，0) 【解析】 ∵点B(3，3)在双曲线y＝(x>0)上， ∴k＝3×3＝9. 如图，过点D作DM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N. ∵B(3，3)，∴BN＝ON＝3. 设MD＝a，OM＝b， ∵点D在双曲线y＝－(x＜0)上， ∴－ab＝－4，即ab＝4. ∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°，AD＝AB. A．2＋2 B．5－ C．3－ D．＋1 ∴EH＝BE·sin ∠EBH＝2×sin 30°＝2×＝1，BH＝BE·cos ∠EBH＝2cos 30°＝. ∵EG⊥DF，EH⊥BC，DF⊥BC，∴∠EGF＝∠EHB＝∠DFH＝90°， ∴四边形EGFH是矩形，∴FG＝EH＝1，∠BEH＋∠BEG＝∠GEH＝90°. ∵∠DEG＋∠BEG＝90°，∴∠BEH＝∠DEG. 在△BEH和△DEG中， ∴△BEH≌△DEG(AAS)，∴DG＝BH＝， ∴DF＝DG＋FG＝＋1. 3．如图，正方形ABCD的边长为a，P是对角线AC上的点，连结PB，过点P作PQ⊥BP交线段CD于点Q.当DQ＝2CQ时，BP的长为(　　) A．a B．a C．a D．a 在△BEP和△PFQ中， ∴△BEP≌△PFQ(ASA)，∴EP＝FQ. ∵正方形ABCD的边长为a，DQ＝2CQ，∴CQ＝a. 设EP＝FQ＝x，则AE＝x，CF＝x＋a， ∴AB＝x＋a＋x＝a，∴x＝a，∴BP＝＝a. ∵∠AEF＝90°，∴∠AEB＝90°－∠FEH，∴∠AEB＝∠F. 在△ABE和△EHF中， ∴△ABE≌△EHF(AAS)，∴EH＝AB＝BC，BE＝FH， ∴EH－EC＝BC－EC，即CH＝BE. (2)连结DF，过F作FP⊥CD于点P，如图． ∵∠H＝∠DCH＝∠FPC＝90°， ∴四边形PCHF是矩形． 由(1)知BE＝FH＝CH， ∴四边形PCHF是正方形，∴PF＝CP＝CH＝BE＝x. ∵DC＝AB＝3，∴DP＝DC－CP＝3－x. 在Rt△DPF中，DF＝， ∴DF＝＝. A.2 B． C．3 D．2 【解析】 如图，将△ABM绕点A顺时针旋转90°得△ADE， 则∠EAN＝∠EAM－∠MAN＝90°－45°＝45°. 在△EAN和△MAN中， ∴△EAN≌△MAN(SAS)，∴∠ANM＝∠ANE. ∵MN＝2MC，∴在Rt△MNC中，∠MNC＝30°. ∵∠ANE＋∠ANM＋∠MNC＝180°， ∴∠ANE＝75°，∴∠NAD＝15°. 解：(1)证明：如图，延长CB到G，使BG＝DN. 在△ADN和△ABG中， ∴△ADN≌△ABG(SAS)， ∴AN＝AG. ∵∠MAN＝45°， ∴∠MAB＋∠NAD＝∠MAB＋∠BAG＝45°. 在△MAN和△MAG中， ∴△MAN≌△MAG(SAS)， ∴MN＝MG＝MB＋BG＝MB＋DN. (2)由(1)得，S△AMN＝S△AMG＝×6×5＝15. (2)∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝6. 在Rt△ABE和Rt△AGE中， ∴Rt△ABE≌Rt△AGE(HL)，∴BE＝EG. 同理Rt△ADF≌Rt△AGF(HL)，∴DF＝GF， ∴BE＋DF＝GE＋GF＝EF. 设BE＝x，DF＝y，则CE＝BC－BE＝6－x， CF＝CD－DF＝6－y，EF＝x＋y. 在Rt△CEF中，由勾股定理得(6－x)2＋(6－y)2＝(x＋y)2， ∵CA是∠BCD的平分线，∠EPC＝∠EQC＝90°， ∴EP＝EQ，四边形PCQE是正方形． 在△EPM和△EQN中， ∴△EPM≌△EQN(ASA)，∴S△EQN＝S△EPM， ∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积． ∵正方形ABCD的边长为2，∴AC＝2. ∵EC＝AE，∴EC＝，∴EP＝PC＝1， ∴正方形PCQE的面积＝EP2＝1，即四边形EMCN的面积为1. 【解析】 如图，作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N， ∴∠MEN＝90°. ∵E是正方形ABCD对角线AC上的点， ∴EM＝EN. ∵∠DEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF. ∵∠DNE＝∠FME＝90°， 在△DEN和△FEM中， ∴△DEN≌△FEM(ASA)，∴EF＝DE. ∵四边形DEFG是矩形，∴矩形DEFG是正方形． ∵四边形DEFG和四边形ABCD均为正方形， ∴DE＝DG，AD＝DC，∠ADC＝∠EDG＝90°. ∵∠CDG＋∠CDE＝∠ADE＋∠CDE＝90°， ∴∠CDG＝∠ADE. 在△ADE和△CDG中， ∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴AE＝CG， ∴CE＋CG＝CE＋AE＝AC＝AB＝×2＝4，故选C. ∵正方形ABCD的对角线交于点O， ∴∠AOD＝90°，即∠AOM＋∠MOD＝90°，OA＝OD， ∴∠AOM＝∠DON. 在△AOM和△DON中， ∴△AOM≌△DON(AAS)， ∴OM＝ON，则四边形MONE是正方形． ∵OE＝8，∴EN＝8，∴EM＝EN＝8， A.2－1 B．2－2 C.2＋2 D．2－2 【解析】 (1)由题知，△BEF是以点E为直角顶点的等腰直角三 角形，∴∠AEB＋∠GEF＝90°. ∵∠AEB＋∠ABE＝90°，∴∠GEF＝∠ABE. 在△ABE和△GEF中，∴△ABE≌△GEF(AAS)， ∴EG＝AB＝AD，GF＝AE，即DG＋DE＝AE＋DE， ∴DG＝AE，∴DG＝GF，即△DGF是等腰直角三角形， ∴∠FDG＝45°. (2)∵DE＝1，DF＝2.由(1)知，△DGF是等腰直角三角形， ∴DG＝GF＝2，AB＝AD＝CD＝ED＋DG＝2＋1＝3. 延长GF交BC的延长线于点H，∴CD∥GH，∴△EDM∽△EGF， ∴＝，即＝，∴MD＝. 同理△BNC∽△BFH，∴＝， 即＝，∴＝，∴NC＝， ∴MN＝CD－MD－NC＝3－－＝. ∵ ∴△BCG≌△DCE(SAS)，∴∠GBC＝∠CDE. 在Rt△DCE中，∠CDE＋∠CED＝90°， ∴∠GBC＋∠BEH＝90°， ∴∠BHE＝180°－(∠GBC＋∠BEH)＝90°， ∴BH⊥DE. (2)如图，连结BD， ∵H为DE的中点，BH⊥DE， ∴BH为DE的垂直平分线， ∴BE＝BD. ∵BC＝CD＝2，∴BD＝＝2 ， ∴BE＝BD＝2 . ∵CE＝BE－BC＝2 －2，∴CG＝CE＝2 －2. $$