第25讲 菱形-【精彩三年】2024年中考数学精品课堂教师用书配套课件PPT

第25讲　菱形 第五单元　多边形和四边形 新课程目标： 1．理解菱形的概念，掌握菱形的性质，理解菱形的边、角、对角线的特征． 2．掌握菱形的判定方法． 3．会根据菱形的性质将特殊四边形的问题转化为特殊三角形的问题解决． 目录 CONTENTS 教材要点梳理 01 02 _________________________________ —— 理主干 知区别 夯实知识层面的概念本质—— ______________________________ —明要点 知通法 具备数学思维优秀能力— 课标要点探究 01 _____________________________ —理主干 知区别 夯实知识层面的概念本质— 教材要点梳理 教材要点梳理 热门基础题 1．教材改编菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是(　　) A．对边平行 B．对边相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 D 教材要点梳理 2．教材改编若菱形的周长为20，它的一条对角线长6，则菱形的另一条对角线长为(　　) A．2　　　　B．4　　　　C．6　　　　D．8 3．教材改编如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥DC交BC于点E，AD＝6 cm，则OE的长为(　　) A．6 cm B．4 cm C．3 cm D．2 cm D C 教材要点梳理 4．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OC，OB＝OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添 加的条件可以是_____________________(写出一个即可). 5．小贤家有一个中国结挂饰，他想求两对边间的距离，利用所学知识抽象出菱形ABCD(如图所示)，测得BD＝24 cm，AC＝32 cm，直线EF⊥ AB交两对边于点E，F，则EF 的长为________cm. AB＝AD(答案不唯一) 教材要点梳理 6. 如图，在菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于E， 连结OE.若∠ABC＝140°，则∠OED＝_________． 7．在菱形ABCD中，AB＝6，∠BCD＝60°，对角线AC，BD相交于点O，E是线段OC上的一点，连结ED.若AE＝4 ，则DE的长为_______． 20° 教材要点梳理 教考衔接图 相等 垂直平分 每条对角线平分一组对角 两条对角线的交点 两 两条对角线所在的直线 教材要点梳理 都相等 互相垂直 mn ab 02 —明要点 知通法 具备数学思维优秀能力— 课标要点探究 ____________________________ 课标要点一　 菱形的性质 角度1　菱形中与线段有关的证明或计算 例1 2023·嘉兴、舟山如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连结EF. (1)求证：AE＝AF. (2)若∠B＝60°，求∠AEF的度数． 解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D. 又∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F， 课标要点一　 菱形的性质 课标要点一　 菱形的性质 (2)∵四边形ABCD是菱形， ∴∠B＋∠BAD＝180°.而∠B＝60°，∴∠BAD＝120°. 又∵∠AEB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAE＝30°. 由(1)知△ABE≌△ADF， ∴∠BAE＝∠DAF＝30°. ∴∠EAF＝120°－30°－30°＝60°. ∴△AEF是等边三角形．∴∠AEF＝60°. 课标要点一　 菱形的性质 变式1 [2023·乐山]如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连结OE.若AC＝6，BD＝8，则OE＝(　　) B 课标要点一　 菱形的性质 角度2　菱形中求角度 例2 2023·绍兴如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝40°，连结AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AD于点E，连结CE， 则∠AEC的度数是_____________． 【解析】 以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AD于点E和E′，如图所示， 在菱形ABCD中，∠DAC＝∠BAC. ∵∠DAB＝40°，∴∠DAC＝20°. 10°或80° 课标要点一　 菱形的性质 ∵AC＝AE，∴∠AEC＝(180°－20°)÷2＝80°. ∵AE′＝AC，∴∠AE′C＝∠ACE′＝10°， 综上所述，∠AEC的度数是10°或80°. 课标要点一　 菱形的性质 变式2 2023·大庆将两个完全相同的菱形按下图方式放 置．若∠BAD＝α，∠CBE＝β，则β＝(　　) D 课标要点一　 菱形的性质 角度3　菱形中求面积和周长 例3 如图，在边长为4的菱形ABCD中，E为AD边的中点，连结CE交对角线BD于点F.若∠DEF＝∠DFE，则这个菱形的面积为(　　) B 课标要点一　 菱形的性质 【解析】 连结AC交BD于点O，如图． ∵四边形ABCD为菱形， ∴AD∥BC，CB＝CD＝AD＝4，AC⊥BD，BO＝OD，OC＝AO. ∵E为AD边的中点，∴DE＝2. ∵∠DEF＝∠DFE，∴DF＝DE＝2. ∵DE∥BC，∴∠DEF＝∠BCF. ∵∠DFE＝∠BFC，∴∠BCF＝∠BFC，∴BF＝BC＝4， 课标要点一　 菱形的性质 课标要点一　 菱形的性质 变式3 如图，AC是菱形ABCD的对角线，P是AC上的一个动点，过点P分别作AB，BC的垂线，垂足分别是F和E.若菱形ABCD的周长是12 cm，面积是6 cm2，则PE＋PF的值是(　　) A. 1.5 cm B．1 cm C．2 cm D．4 cm C 课标要点二　 菱形的判定 例4 小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，OB＝OD.求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流． 若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明． 小惠： 证明：∵AC⊥BD，OB＝OD， ∴AC垂直平分BD. ∴AB＝AD，CB＝CD， ∴四边形ABCD是菱形． 小洁： 这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明． 课标要点二　 菱形的判定 解：赞成小洁的说法，补充条件：OA＝OC，证明如下： ∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 又∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形． 课标要点二　 菱形的判定 举一反三 判定四边形是菱形的方法有：①先证出该四边形是平行四边形，再证出有一组邻边相等．②只需证出四条边都相等．③先证出该四边形是平行四边形，再证出对角线互相垂直．在解题时，必须转化出满足上述三种方法之一所需的条件． 课标要点二　 菱形的判定 变式4 如图，点E，F分别在▱ABCD的边AB，BC上，AE＝CF，连结DE，DF.请从以下三个条件：①∠1＝∠2；②DE＝DF；③∠3＝∠4中，选择一个合适的作为已知条件，使▱ABCD为菱形． (1)你添加的条件是_____________(填序号). (2)添加了条件后，请证明▱ABCD为菱形． 解：(1)①(或③) ①(或③) 课标要点二　 菱形的判定 课标要点二　 菱形的判定 课标要点三　 菱形综合 例5 2023·日照如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，连结BE，DE，且BE＝DE. (1)求证：四边形ABCD是菱形． (2)若AB＝10，tan ∠BAC＝2，求四边形ABCD的面积． 解：(1)证明：连结BD交AC于点O，如图． ∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝OD， ∵BE＝DE，∴BD⊥AC. ∴四边形ABCD是菱形． 课标要点三　 菱形综合 课标要点三　 菱形综合 变式5 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠DAB＝90°，AC平分∠DAB，作DE∥BC交AC于点E，连结BE. (1)求证：四边形DEBC是菱形． (2)若∠CDE＝2∠EDA，CE＝2，求AD的长． 解：(1)证明：连结BD交AC于点F，如图1. ∵AB＝AD，∠DAB＝90°，∴△ABD是等腰直角三角形． ∵AC平分∠DAB，∴∠BAC＝∠DAC＝45°. 课标要点三　 菱形综合 课标要点三　 菱形综合 ∴△BCF≌△DEF(ASA)，∴BC＝DE. ∵BC∥DE，∴四边形DEBC是平行四边形． ∵BE＝DE，∴平行四边形DEBC是菱形． 课标要点三　 菱形综合 感谢聆听，再见！ 2 一、菱形的性质 ∴∠AEB＝∠AFD＝90°. 在△ABE与△ADF中，∵ ∴△ABE≌△ADF(AAS)，∴AE＝AF. A．2 B． C．3 D．4 A. 45°＋α B．45°＋α C．90°－α D．90°－α A．16 B．6 C．12 D．30 ∴BD＝BF＋DF＝4＋2＝6，∴OB＝OD＝3. 在Rt△BOC中，OC＝＝， ∴AC＝2OC＝2， ∴菱形ABCD的面积＝AC·BD＝×2×6＝6. (2)证明：添加①. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C. 在△ADE和△CDF中， ∴△ADE≌△CDF(AAS)， ∴AD＝CD，∴▱ABCD为菱形． 添加③. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C. 在△ADE和△CDF中， ∴△ADE≌△CDF(ASA)，∴AD＝CD，∴▱ABCD为菱形． (2)在Rt△ABO中， ∵tan ∠BAC＝＝2， ∴设AO＝x，BO＝2x，∴AB＝＝x＝10， ∴x＝2， ∴AO＝2，BO＝4. ∵四边形ABCD是菱形，∴AC＝2AO＝4， BD＝2BO＝8， ∴四边形ABCD的面积＝AC·BD＝×4×8＝80. ∴F是BD的中点，∴BF＝DF. 在△AED和△AEB中， ∴△AED≌△AEB(SAS)，∴DE＝BE. ∵DE∥BC，∴∠CBF＝∠EDF. 在△BCF和△DEF中， (2)过点E作EH⊥AD于点H，如图2. ∵四边形DEBC是菱形，∴∠CDB＝∠EDB＝∠CDE. ∵∠CDE＝2∠EDA，∴∠BDE＝∠ADE. ∵BD⊥CE，EH⊥AD，∴EF＝EH＝CE＝1， ∴AH＝EH＝1，∴AE＝＝＝， ∴AF＝AE＋EF＝＋1，∴DF＝AF＝＋1， ∴AD＝AF＝×(＋1)＝2＋. $$