中考核心微专题11 三角形相似的几种模型-【精彩三年】2024年中考数学精品课堂教师用书配套课件PPT

中考核心微专题 十一 三角形相似的几种模型 第四单元　几何初步与三角形 类型一　“8”字型 [基本模型] 类型一　“8”字型 1．如图，AB∥CD，AC，BD相交于点E，AE＝1，EC＝2，DE＝3，则BD的长为(　　) C 类型一　“8”字型 2．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD边上，BE交对角线AC于点F，则下列各式中错误的是(　　) B 类型一　“8”字型 3．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC边上的点，连结DE并延长，与AC的延长线交于点F，且AD＝3BD，EF＝2DE，若CF＝2，则AF的长为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 B 类型一　“8”字型 类型一　“8”字型 4．如图，已知BD是△ABC的角平分线，E是BD延长线上的一点，且AE＝AB. (1)求证：△ADE∽△CDB. (2)若AB＝6，BD＝4，DE＝5，求BC的长． 解：(1)证明：∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠ABD＝∠CBD.∵AB＝AE，∴∠ABD＝∠E，∴∠E＝∠CBD. ∵∠EDA＝∠BDC，∴△ADE∽△CDB. 类型一　“8”字型 类型二　“A”字型 [基本模型] 类型二　“A”字型 D 类型二　“A”字型 2．如图，在△ABC中，∠A＝65°，AB＝6，AC＝3，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(　　) A.　　　　B.　　　C.　　　　D. C 类型二　“A”字型 C 类型二　“A”字型 4．如图，在△ABC中，D是AB边上的点，∠B＝∠ACD，AC∶AB＝1∶2，则△ADC与△ACB的周长比是(　　) A．1∶ B．1∶2 C．1∶3 D．1∶4 B 类型二　“A”字型 5．如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD＝∠ABE. (1)求证：△ABC∽△AEB. (2)当AB＝6，AC＝4时，求AE的长． 解：(1)证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴∠ACD＝∠BCA. ∵∠ACD＝∠ABE，∴∠BCA＝∠ABE. ∵∠BAC＝∠EAB，∴△ABC∽△AEB. 类型二　“A”字型 类型三　旋转型 [基本模型] 1．如图，∠1＝∠2，要使△ABC∽△ADE，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是(　　)     D 类型三　旋转型 2．如图1，在△ABC中，点D与点E分别为CA，CB上的点，DE∥AB.现将△CDE绕点C顺时针方向旋转，连结AD，BE.在图2中，求证：△ACD∽△BCE. 类型三　旋转型 3．如图，已知CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D作AC的平行线，过点C作CD的垂线，两线相交于点E. (1)求证：△ABC∽△DEC. (2)若CD＝4，CE＝3，求△ABC的面积． 解：(1)证明：∵AC∥DE，∴∠CDE＝∠ACD. ∵CD是 Rt△ABC斜边AB上的中线，∴CD＝AD，∴∠A＝∠ACD＝∠CDE. ∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴△ABC∽△DEC. 类型三　旋转型 类型三　旋转型 4．【问题背景】(1)如图1，已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE. 【尝试应用】(2)如图2，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上， 类型三　旋转型 类型三　旋转型 类型四　一线三等角型 [基本模型] 类型四　一线三等角型 1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，AC为边作正方形ABPQ，ACFH，BP交FH于点O.若BC＝BF＝2，则OP的长为(　　) A 类型四　一线三等角型 2．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，若E是边BC的中点，连结AE，过点D作DF⊥AE交AE于点F，则DF的长为(　　) A．1.8 B．2.2 C．2.4 D．2.8 C 类型四　一线三等角型 类型四　一线三等角型 3．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E是DC延长线上一点，连结BE，过点E作EF⊥BE，与AD的延长线交于点F.若CE＝2， 则DF的长为______． 3 类型四　一线三等角型 4．如图，△ABC为等边三角形，点D在线段CB的延长线上，点E在线段AC的延长线上，连结AD，DE，∠ADE＝∠ABC. (1)求证：△ADB∽△DEC. (2)若BC＝4，DB＝2，求CE的长． 解：(1)证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠ABD＝∠DCE＝180°－60°＝120°. 类型四　一线三等角型 ∵∠ADE＝∠ABC＝60°，即∠ADB＋∠CDE＝60°， 又∠CDE＋∠E＝∠ACB＝60°， ∴∠ADB＝∠E， ∴△ADB∽△DEC. 类型四　一线三等角型 类型四　一线三等角型 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P，D分别是BC，AC边上的点，且∠APD＝∠B. (1)求证：AC·CD＝CP·BP. (2)若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长． 解：(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵∠APD＝∠B，∴∠APD＝∠B＝∠C. ∵∠APC＝∠BAP＋∠B，∠APC＝∠APD＋∠DPC， 类型四　一线三等角型 类型四　一线三等角型 感谢聆听，再见！ AB∥CD 正8字型 ∠A＝∠C或∠B＝∠D 正8字型 A. B．4 C. D．6 A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 【解析】 过点F作FG∥AB，交BC的延长线于点G， 则△BED∽△GEF， ∴＝＝，即FG＝2BD. ∵AD＝3BD，∴AB＝4BD， ∴AB＝2FG.∵FG∥AB，∴△ACB∽△FCG， ∴＝＝2，∴AC＝2CF＝4，∴AF＝AC＋CF＝6. (2)∵AE＝AB，AB＝6，∴AE＝6. ∵△ADE∽△CDB，∴ ＝ . ∵BD＝4，DE＝5，AE＝6，∴ ＝ ，∴BC＝ . DE∥BC 正A字型 ∠ADE＝∠ACB 斜A字型 1. [2022·雅安]如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，DE∥BC，若＝，那么＝(　　) A． B． C． D． 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，若AD＝4BD，则的值为(　　) A． B． C．2 D． (2)∵△ABC∽△AEB，∴ ＝ . ∵AB＝6，AC＝4， ∴ ＝ ，∴AE＝ ＝9. A.∠B＝∠D B．∠C＝∠E C．＝ D．＝ 证明：在题图1中，∵DE∥AB， ∴△CDE∽△CAB， ∴＝，∠ACB＝∠DCE， ∴在题图2中，∠ACD＝∠BCE，＝， ∴△ACD∽△BCE. (2)∵CD⊥CE，∴DE＝5. ∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴AB＝2CD＝8. ∵△ABC∽△DEC，∴＝， ∴S△ABC＝×6＝. ＝，求的值． 解：(1)证明：∵△ABC∽△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE，＝，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE. (2)如图，连结EC， ∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°， ∴△ABC∽△ADE. 由(1)知△ABD∽△ACE， ∴＝＝，∠ACE＝∠ABD＝∠ADE. 在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴＝， ∴＝×＝×＝3. ∵∠ADF＝∠ECF，∠AFD＝∠EFC， ∴△ADF∽△ECF，∴＝＝3. 点P在线段AB上(同侧型)： 锐角一线三等角 　　一线三垂直 　钝角一线三等角 点P在线段AB的延长线上(异侧型)： 锐角一线三等角　一线三垂直　　钝角一线三等角 A. B．2 C. D．2 【解析】 在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，∠BAD＝∠B＝90°， ∵E是边BC的中点，∴BE＝BC＝1.5，∴AE＝＝2.5. ∵DF⊥AE，∴∠BAE＋∠DAF＝∠DAF＋∠FDA＝90°， ∴∠BAE＝∠FDA. ∵∠B＝∠AFD＝90°，∴△ABE∽△DFA，∴＝， ∴＝，∴DF＝2.4. (2)∵BC＝4，DB＝2，∴DC＝BC＋DB＝6. ∵△ABC为等边三角形，∴AB＝4. 由(1)知△ADB∽△DEC， ∴＝，即＝，∴CE＝3. ∴∠BAP＝∠DPC，∴△ABP∽△PCD， ∴ ＝ ，∴AB·CD＝CP·BP. ∵AB＝AC，∴AC·CD＝CP·BP. (2)∵PD∥AB， ∴∠APD＝∠BAP. ∵∠APD＝∠C，∴∠BAP＝∠C. ∵∠B＝∠B，∴△BAP∽△BCA，∴ ＝ . ∵AB＝10，BC＝12，∴ ＝ ，∴BP＝. $$