第22讲 锐角三角函数的应用-【精彩三年】2024年中考数学精品课堂教师用书配套课件PPT

第22讲　锐角三角函数的应用 第四单元　几何初步与三角形 新课程目标： 1．了解解直角三角形的概念，能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关的知识解决一些实际问题． 2．进一步体会数形结合和函数思想的运用． 目录 CONTENTS 教材要点梳理 01 02 _________________________________ —— 理主干 知区别 夯实知识层面的概念本质—— ______________________________ —明要点 知通法 具备数学思维优秀能力— 课标要点探究 01 _____________________________ —理主干 知区别 夯实知识层面的概念本质— 教材要点梳理 教材要点梳理 热门基础题 1．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，则有(　　) A．b＝a·tan A B．b＝c·sin A C．a＝c·cos B D．c＝a·sin A C 教材要点梳理 2．教材改编如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于sin A的是(　　) D 教材要点梳理 A．58 J B．159 J C．102 5 J D．173 2 J B 教材要点梳理 A 教材要点梳理 5．如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°，看楼下荷塘D处的俯角为60°，已知楼高AB为30米，则荷塘的宽CD为________________米(结果保留根号). 教材要点梳理 教考衔接图 1．仰角、俯角：如图1，在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角． 2．坡度(坡比)、坡角：如图2，坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡度(坡比)，用字母i表示；坡面与水平线的夹角α叫坡角，i＝tanα＝_ ，坡度越大，α越大，坡面越陡． 图1　　　　　　　　　图2 教材要点梳理 3．方向角：一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为始方向，从始方向线旋转到目标方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成北(南)偏东(西)多少度．如图3，点A位于点O的北偏东30°方向，点B位于点O的南偏东60°方向，点C位于点O的北偏西45°方向(或西北方向). 　图3 02 —明要点 知通法 具备数学思维优秀能力— 课标要点探究 ____________________________ 课标要点一　 仰角、俯角问题 例1 2023·宁波某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示． (1)如图2，在P点观察所测物体最高点C，当量角器零刻度线上A，B两点均在视线PC上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为α，设仰角为β，请直接用含α的代数式表示β. (2)如图3，为了测量广场上空气球A离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点B，C分别测得气球A的仰角∠ABD为37°，∠ACD为45°，地面上点B，C，D在同一水平直线上，BC＝20 m， 课标要点一　 仰角、俯角问题 求气球A离地面的高度AD. (参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75) 课标要点一　 仰角、俯角问题 变式1 [2023·济宁]某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点A，在点A和建筑物之间选择一点B，测得AB＝30 m，用高1 m(AC＝1 m)的测角仪在A处测得建筑物顶部E的仰角为30°，在B处测得仰角为60°，则该建筑物的高是_______________． 【解析】 如图，延长CD交EF于点G， 由题意得DB＝AC＝FG＝1 m， CG⊥EF，DC＝AB＝30 m， 课标要点一　 仰角、俯角问题 课标要点二　 坡度（坡比）问题 例2 2023·湖北为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i＝3∶4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比．已知斜坡CD的长度为20米，∠C＝18°，求斜坡AB的长．(结果精确到0.1米，参考数据：sin 18°≈0.31，cos 18°≈0.95，tan 18°≈0.32) 解：过点D作DE⊥BC，垂足为E， 课标要点二　 坡度（坡比）问题 课标要点二　 坡度（坡比）问题 变式2 如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为(　　) A 课标要点三　 方向角问题 例3 2022·重庆如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC＝200米．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向，BD＝100米．点B在点A的北偏东30°方向，点D在点E的北偏东45°方向． 课标要点三　 方向角问题 课标要点三　 方向角问题 课标要点三　 方向角问题 课标要点四　 其他物体构造有关问题 例4 2023·绍兴图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱OA垂直地面OB，支架CD与OA交于点A，支架CG⊥CD交OA于点G，支架DE平行地面OB，篮筐EF与支架DE在同一直线上，OA＝2.5米， AD＝0.8米，∠AGC＝32°.(1)求∠GAC的度数． (2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．(参考数据：sin 32°≈0.53，cos 32°≈0.85，tan 32°≈0.62) 课标要点四　 其他物体构造有关问题 解：(1)∵CG⊥CD，∴∠ACG＝90°. ∵∠AGC＝32°，∴∠GAC＝90°－∠AGC＝90°－32°＝58°， ∴∠GAC的度数为58°. (2)该运动员能挂上篮网，理由如下：延长OA，ED交于点M， ∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°. ∵DE∥OB，∴∠DMA＝∠AOB＝90°. ∵∠GAC＝58°，∴∠DAM＝∠GAC＝58°， 课标要点四　 其他物体构造有关问题 ∴∠ADM＝90°－∠DAM＝32°. 在Rt△ADM中，AD＝0.8米， ∴AM＝AD·sin 32°≈0.8×0.53＝0.424(米)， ∴OM＝OA＋AM＝2.5＋0.424＝2.924(米)， ∵2.924米＜3米，∴该运动员能挂上篮网． 课标要点四　 其他物体构造有关问题 变式3 2023·丽水如图，某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率，需在气体净化设备上增加一条管道A－D－C，已知DC⊥BC，AB⊥BC，∠A＝60°，AB＝11 m，CD＝4 m，求管道A－D－C的总长． 课标要点四　 其他物体构造有关问题 ∴AD＝2AE＝2×7＝14(m)， ∴AD＋CD＝14＋4＝18(m)， 即管道A－D－C的总长为18 m． 感谢聆听，再见！ A．　　 B．　　 C．　　 D． 3．2023·深圳如图，爬坡时坡面与水平面夹角为α，则每爬1 m耗能(1.025－cos α)J，若某人爬了 1 000m，该坡角为30°，则他耗能(参考数据：≈1.732，≈1.414)(　　) 4．如图，某地修建的一座建筑物的截面图的高BC＝5 m，坡面AB的坡度为1∶，则AB的长度为(　　) A．10 m B．10 m C．5 m D．5 m (30－10) 解：(1)根据题意得β＝90°－α. (2)设AD＝x m，∵∠ACD＝45°，∠ADB＝90°， ∴CD＝AD＝x m，∵BC＝20 m，∴BD＝(20＋x)m. 在Rt△ABD中，tan ∠ABD＝， ∴tan 37°＝，即0.75＝，解得x＝60，∴AD＝60 m， 答：气球A离地面的高度AD是60 m． (15＋1)m ∠EDG＝60°，∠ECG＝30°， ∵∠EDG是△EDC的一个外角， ∴∠DEC＝∠EDG－∠ECG＝30°， ∴∠DEC＝∠ECD＝30°，∴ED＝CD＝30 m. 在Rt△EGD中，EG＝ED·sin 60°＝30×＝15(m)， ∴EF＝EG＋FG＝(15＋1)m， ∴该建筑物的高是(15＋1)m. 由题意得AF⊥BC，DE＝AF， ∵斜面AB的坡度i＝3∶4，∴＝， ∴设AF＝3x米，则BF＝4x米， 在Rt△ABF中，AB＝＝＝5x(米)， 在Rt△DEC中，∠C＝18°，CD＝20米， ∴DE＝CD·sin 18°≈20×0.31＝6.2(米)， ∴AF＝DE＝6.2米，∴3x＝6.2，解得x＝， ∴AB＝5x≈10.3(米)， ∴斜坡AB的长约为10.3米． A. m(cos α－sin α) B．m(sin α－cos α) C．m(cos α－tan α) D．－ (1)求步道DE的长度(精确到个位). (2)点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取 水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点 D.请计算说明她走哪一条路较近？(参考数据：≈1.414，≈1.732) 解：(1)过D作DF⊥AE交AE的延长线于F，如图， 由已知可得四边形ACDF是矩形，∴DF＝AC＝200米， ∵点D在点E的北偏东45°方向，即∠DEF＝45°， ∴△DEF是等腰直角三角形， ∴DE＝DF＝200≈283(米). (2)由(1)知△DEF是等腰直角三角形，DE＝283米， ∴EF＝DF＝200米， ∵点B在点A的北偏东30°方向，即∠EAB＝30°， ∴∠ABC＝30°. ∵AC＝200米， ∴AB＝2AC＝400米，BC＝＝200米， ∵BD＝100米， ∴经过点B到达点D路程为AB＋BD＝400＋100＝500(米)， CD＝BC＋BD＝(200＋100)米， ∴AF＝CD＝(200＋100)米， ∴AE＝AF－EF＝(200＋100)－200＝(200－100)米， ∴经过点E到达点D路程为 AE＋DE＝200－100＋200≈529米， ∵529＞500， ∴经过点B到达点D较近． 解：如图，过点D作DE⊥AB于点E， 则∠AED＝90°，四边形BCDE是矩形， ∴BE＝CD＝4 m， ∴AE＝AB－BE＝11－4＝7(m). ∵∠A＝60°，∴cos A＝＝cos 60°＝， $$