第21讲 锐角三角函数-【精彩三年】2024年中考数学精品课堂教师用书配套课件PPT

第21讲　锐角三角函数 第四单元　几何初步与三角形 新课程目标： 1．理解锐角三角函数的概念，知道30°，45°，60°角的三角函数值． 2．体会数形结合和函数思想的运用． 目录 CONTENTS 教材要点梳理 01 02 _________________________________ —— 理主干 知区别 夯实知识层面的概念本质—— ______________________________ —明要点 知通法 具备数学思维优秀能力— 课标要点探究 01 _____________________________ —理主干 知区别 夯实知识层面的概念本质— 教材要点梳理 教材要点梳理 热门基础题 1．教材改编tan 30°的值等于(　　) D A 教材要点梳理 3．教材改编若a＝sin 45°，b＝cos 60°，c＝tan 30°，则它们之间的大小关系是(　　) A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a 4．教材改编在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝9，则BC的长为(　　) A．9sin 50° B．9cos 50° C．9tan 40° D．9cos 40° D B 教材要点梳理 5．一座楼梯的示意图如下所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA＝4米，楼梯宽度为3米，则地毯的面积至少为(　　) D 教材要点梳理 7．在△ABC中，AB＝10，AC＝2 ，∠B＝30°，求△ABC的面积． 教材要点梳理 教考衔接图 教材要点梳理 1 教材要点梳理 ∠B 02 —明要点 知通法 具备数学思维优秀能力— 课标要点探究 ____________________________ 课标要点一　 锐角三角函数的定义及性质 例1 (1)如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则(　　) A.c＝b sin B B．b＝c sin B C．a＝b tan B D．b＝c tan B B 课标要点一　 锐角三角函数的定义及性质 (2)如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3.求AC的长和sin A的值． 课标要点一　 锐角三角函数的定义及性质 变式1 (1)如图，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则cos ∠BAC的值是(　　) C 课标要点二　 特殊角的三角函数 例2 (1)下列三角函数值中，正确的是(　　) 75° A 课标要点二　 特殊角的三角函数 A 课标要点三　 用三角函数表示线段长 例3 2022年央视虎年春晚国潮舞剧《只此青绿》引人入胜，图1是舞者“青绿腰”动作，引得观众争相模仿．舞者上半身AB长为m，下半身BC长为n，下半身与水平面的夹角为θ(60°＜θ＜90°)，与上半身AB的夹角为120度(即∠ABC＝120°)，如图2，则此时舞者的铅直高度AD的长为(　　) B 课标要点三　 用三角函数表示线段长 【解析】 过点B作BE⊥CD于点E，作BF⊥AD于点F，如图所示． ∵∠BED＝∠EDF＝∠BFD＝90°， ∴四边形BEDF为矩形，∴BE＝DF，∠EBF＝90°， ∵∠BCE＝θ，∴∠CBE＝90°－θ. ∵∠ABC＝120°，∴∠ABF＝120°－90°－(90°－θ)＝θ－60°. 在Rt△BCE中，BE＝BC×sin ∠BCE＝n sin θ，∴DF＝BE＝n sin θ. 在Rt△ABF中，AF＝AB×sin ∠ABF＝m sin (θ－60°)， ∴AD＝DF＋AF＝n sin θ＋m sin (θ－60°). 课标要点三　 用三角函数表示线段长 变式3 图1是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC.若AB＝BC＝1，∠AOB＝α，则OC2 的值为(　　) A 课标要点四　解直角三角形 例4 如图，在△ABC中，∠B＝45°，CD是AB边上的中线，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，若CD＝5，sin ∠BCD＝ . (1)求BC的长． (2)求∠ACB的正切值． 课标要点四　解直角三角形 (2)过点A作AF⊥BC于点F，∴DE∥AF. ∵D是AB的中点，∴DE是△ABF的中位线， ∴AF＝2DE，BF＝2BE， 由(1)可知，DE＝BE＝3， ∴AF＝6，BF＝6，∴CF＝BC－BF＝1，∴tan ∠ACB＝6. 课标要点四　解直角三角形 举一反三 在解斜三角形时，通常把斜三角形转化为直角三角形，常见的方法是作高，作高把斜三角形转化为直角三角形，再利用解直角三角形的有关知识解决问题．本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是构造直角三角形． 课标要点四　解直角三角形 变式4 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，cos A＝ .D是AB边的中点，过点D作直线CD的垂线，与边BC相交于点E. (1)求线段CE的长．(2)求sin ∠BDE的值． 课标要点四　解直角三角形 课标要点四　解直角三角形 课标要点五　 锐角三角函数的拓展 课标要点五　 锐角三角函数的拓展 课标要点五　 锐角三角函数的拓展 课标要点五　 锐角三角函数的拓展 课标要点五　 锐角三角函数的拓展 变式5 [2022·绥化]定义一种运算： sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β， sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β. 感谢聆听，再见！ A. B. C．1 D．2 2．教材改编在△ABC中，∠ABC＝90°.若AC＝100，sin A＝ ，则AB的长是(　　) A. B. C．60 D．80 A．米2 B．(4＋4tan θ)米2 C．3米2 D．3(4＋4tan θ)米2 6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝，则cos A＝_______． 解：(1)　(2) 解：15或10 8．如图，已知在△ABC中，AB＝BC＝5，tan ∠ABC＝ . (1)求边AC的长． (2)设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求 的值． 解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3， ∴AC＝＝＝4， sin A＝＝. A. B. C. D. (2)已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B的值 为__________． A．sin 30°＝ B．cos 30°＝ C．sin 60°＝ D．tan 30°＝ (2)已知α，β均为锐角，且满足 ＋ ＝0，则α＋β＝_______． 变式2 (1)已知cos α＝，且α是锐角，则α＝(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° (2)计算：2sin 30°－3tan 45°·sin 45°＋4cos 60°. 解：3－ A. n sin θ＋sin θ B．n sin θ＋m sin (θ－60°) C．n cos θ＋m sin (θ＋60°) D．n sin θ＋m cos (θ－60°) A. ＋1 B．sin2α＋1 C．＋1 D．cos2α＋1 解：(1)设DE＝3x，DE⊥BC， ∵sin ∠BCD＝，∴＝， ∴CD＝5x，CE＝4x.∵CD＝5，∴x＝1，∴CE＝4. ∵∠B＝45°，∴DE＝BE＝3x，∴BC＝BE＋CE＝7x＝7. 解：(1)∵∠ACB＝90°，AC＝6，cos A＝，∴＝，∴AB＝10， ∴BC＝＝8.又∵D为AB的中点， ∴AD＝BD＝CD＝AB＝5，∴∠DCB＝∠B， ∴cos ∠DCB＝，cos B＝，∴＝，∴CE＝. (2)如图，作EF⊥AB，交AB于F，由(1)知CE＝， 则BE＝8－＝， DE＝＝， 设BF＝x，则DF＝BD－BF＝5－x， 在Rt△DEF中，EF2＝DE2－DF2＝－(5－x)2， 在Rt△BEF中，EF2＝BE2－BF2＝－x2， ∴－(5－x)2＝－x2，解得x＝， ∴EF2＝－＝，EF＝， ∴sin ∠BDE＝＝. 例5 2022·张家界阅读下列材料： 在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c， 求证：＝. 证明：如图1，过点C作CD⊥AB于点D，则 在Rt△BCD中，CD＝a sin B， 在Rt△ACD中，CD＝b sin A， ∴a sin B＝b sin A，∴＝. 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，求证：＝. (2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知∠A＝67°，∠B＝53°，AC＝80米，求这片区域的面积．(结果保留根号．参考数据：sin 53°≈0.8，sin 67°≈0.9) 解：(1)证明：如图1，过点A作AD⊥BC于点D， 在Rt△ABD中，AD＝c sin B， 在Rt△ACD中，AD＝b sin C， ∴c sin B＝b sin C，∴＝. (2)如图2，过点A作AE⊥BC于点E， ∵∠BAC＝67°，∠B＝53°，∴∠C＝60°. 在Rt△ACE中，AE＝AC·sin 60°＝80×＝40(m)， 又∵＝，即＝，∴BC＝90 m， ∴S△ABC＝×90×40＝1 800(m2). 例如：当α＝45°，β＝30°时，sin (45°＋30°)＝×＋×＝，则sin 15°的值为_____________． $$