高效作业24 第24讲 矩形-【精彩三年】2024年中考数学精品课堂教师用书配套课件PPT

高效作业24　第24讲　矩形 目录 CONTENTS 熟知教材与迁移 01 02 　掌握通性与通法 03 　感悟变化与思维 01 熟知教材与迁移 熟知教材与迁移 1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AC＝6 cm，则AB的长是(　　) A．3 cm B．6 cm C．10 cm D．12 cm A 熟知教材与迁移 2．[2023·上海]在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD.下列条件能使四边形ABCD为矩形的是(　　) A．AB∥CD B．AD＝BC C．∠A＝∠B D．∠A＝∠D C 熟知教材与迁移 3．[2023·兰州]如图，在矩形ABCD中，点E为BA延长线上一点，F为CE的中点，以B为圆心，BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G，连结BG.若AB＝4，CE＝10，则AG＝(　　) A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 C 熟知教材与迁移 4．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，若∠2＝40°，则图中∠1的度数为(　　) A．115° B．120° C．130° D．140° A 熟知教材与迁移 5．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC＝2 ，∠AEO＝120°，则FC的长度为(　　) A．1 B．2 C． D． A 熟知教材与迁移 6．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，AE平分∠BAD交BC于点E，M，N分别是AE，AD的中点，则MN的长为(　　) A 熟知教材与迁移 7．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点．若四边形EGFH为矩形，则四边形ABCD需满足的条件是(　　) A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AB＝DC D．AB⊥DC D 熟知教材与迁移 8．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为________． 熟知教材与迁移 9．[2023·雅安]如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，P为边AB上一动点，作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值为___________． 熟知教材与迁移 10．如图，在 ABCD中，连结BD，E为线段AD的中点，延长BE，与CD的延长线交于点F，连结AF，∠BDF＝90°. (1)求证：四边形ABDF是矩形． (2)若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S. 解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BA∥CD，∴∠BAE＝∠FDE. ∵E是AD的中点，∴AE＝DE. 熟知教材与迁移 熟知教材与迁移 02 　掌握通性与通法 掌握通性与通法 11．如图，在矩形ABCD中，AE＝CF＝1，连结EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC，有下列三个结论：①OE＝OF；②BF⊥AC；③AB＝3.其中，正确的是(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ D 掌握通性与通法 12．如图，在矩形ABCD中，P是边AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F.如果AB＝3，AD＝4，那么PE＋PF＝(　　) 【解析】 如图，连结OP. ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD， C 掌握通性与通法 掌握通性与通法 13．[2023·宁波]如图，以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE，连结AE，AD，设△AED，△ABE，△ACD的面积分别为S，S1，S2，若要求出S－S1－S2 的值，只需知道(　　) A．△ABE的面积 B．△ACD的面积 C．△ABC的面积 D．矩形BCDE的面积 【解析】 作AG⊥ED于点G，交BC于点F，如图． ∵四边形BCDE是矩形， ∴∠FBE＝∠BEG＝∠FGE＝90°，BC∥ED，BC＝ED，BE＝CD， C 掌握通性与通法 掌握通性与通法 14．如图，用四根木条钉成矩形框ABCD，把边BC固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变(四边形具有不稳定性). (1)通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段EB由AB旋转得到，所以EB＝AB.我们还可以得到FC＝______，EF＝______． (2)进一步观察，我们还会发现EF∥AD，请证明这一结论． (3)已知BC＝30 cm，DC＝80 cm，若BE恰好经过原矩 形DC边的中点H，求EF与BC之间的距离． CD AD 掌握通性与通法 解：(2)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC. ∵AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，∴BE＝CF，EF＝BC，∴四边形BEFC是平行四边形， ∴EF∥BC，∴EF∥AD. (3)如图，过点E作EG⊥BC于点G. ∵DC＝AB＝BE＝80 cm，H是CD的中点， 掌握通性与通法 03 　感悟变化与思维 感悟变化与思维 15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连结CF. (1)求证：四边形ADCF为矩形． (2)若BC＝12，sin ∠ACB＝ ，求EF的长． 解：(1)证明：∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD. ∵E是AD的中点，∴AE＝ED. ∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∠FAE＝∠BDE. 感悟变化与思维 感悟变化与思维 感谢聆听，再见！ A． B． C． D． 3 3 在△BEA和△FED中， ∴△BEA≌△FED(ASA)，∴EF＝EB. 又∵AE＝DE，∴四边形ABDF是平行四边形． ∵∠BDF＝90°，∴四边形ABDF是矩形． (2)由(1)得四边形ABDF是矩形， ∴∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD， ∴AF＝＝＝4， A． B．3 C． D．4 ∴OA＝OD＝BD，S△AOD＝S△AOB. ∵AB＝3，AD＝4，∴S矩形ABCD＝3×4＝12，BD＝5， ∴S△AOD＝S矩形ABCD＝3，OA＝OC＝. ∵S△AOD＝S△AOP＋S△DOP＝OA·PE＋OD·PF ＝××PE＋××PF＝(PE＋PF)＝3， ∴PE＋PF＝. ∴四边形BFGE是矩形，∠AFB＝∠FGE＝90°， ∴FG＝BE＝CD，AF⊥BC， ∴S－S1－S2＝EDAG－BEEG－CDDG＝BCAF＝S△ABC， ∴只需知道S△ABC，就可求出S－S1－S2 的值，故选C. ∴CH＝DH＝40 cm. 在Rt△BHC中，BH＝＝＝50(cm). ∵EG⊥BC，∴CH∥EG，∴△BCH∽△BGE，∴＝，∴＝， ∴EG＝64，∴EF与BC之间的距离为64 cm. 在△AFE和△DBE中， ∴△AFE≌△DBE(AAS)， ∴AF＝BD，∴AF＝DC. 又∵AF∥BC，∴四边形ADCF为平行四边形． ∵AB＝AC，AD为BC边上的中线，∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCF为矩形． (2)由(1)得CD＝BC＝6，AE＝AD，四边形ADCF为矩形， ∴AF＝CD＝6，∠EAF＝∠ADC＝90°. 在Rt△ADC中，sin ∠ACB＝＝. 设AD＝4x，则AC＝5x，∵AD2＋CD2＝AC2， ∴(4x)2＋62＝(5x)2，解得x＝2(负值已舍去)， ∴AD＝8，AE＝4. 在Rt△EAF中，由勾股定理得EF＝＝＝2. $$