精品解析：江苏省南京市秦淮中学等五校联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

2023—2024学年第二学期期末试卷 高一数学 注意事项： 1．本试卷包括单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第11题）、填空题（第12题~第14题）、解答题（第15题~第19题）四部分．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、班级填在答题卡上指定的位置． 3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数 (为虚数单位)，则复数虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若m⊥α，n⊥α，则 C. 若，，且，，则 D. 若α⊥β，，m⊥n，则n⊥β 3. 已知数据的平均数为10，方差为5，数据的平均数为，方差为，则（ ） A. =10，=14 B. =9，=44 C. =29，=45 D. =29，=44 4. 向量与不共线，， ()，若与共线，则应满足（ ） A. B. C. D. 5. 同时抛掷两枚质地均匀的骰子，观察向上的点数，设事件“第一枚向上点数为奇数”，事件“第二枚向上点数为偶数”，事件“两枚骰子向上点数之和为8”，事件“两枚骰子向上点数之积为奇数”，则（ ） A. 与C互斥 B. A与C相互独立 C. B与D互斥 D. B与D相互独立 6. 在中，角A，B，C对边分别为a，b，c．若，，，则实数a的值为（ ） A. 6 B. 3 C. D. 7. 如图，四棱锥中，面，四边形为正方形，，与平面所成角的大小为，且，则四棱锥的外接球表面积为（ ） A. 26π B. 28π C. 34π D. 14π 8. 已知，，若，则实数值（ ） A. B. 3 C. 2 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设复数(i为虚数单位)，则下列结论正确的是（ ） A. 共轭复数为 B. C. 在复平面内对应的点位于第二象限 D. 10. 已知内角对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则为锐角三角形 D. 若的三角形有两解 11. 如图，在棱长为的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，则（ ） A. M，N，B，四点共面 B. 若，则异面直线与MN所成角的正弦值为 C. 平面PMN截正方体所得截面为等腰梯形 D. 若，则三棱锥的体积为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 12. 一只不透明的口袋中装有形状、大小都相同的6个小球，其中2个白球，1个红球和3个黄球，从中1次随机摸出2个球，则恰有一球是黄球的概率是_______． 13. 已知，，，则______． 14. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，是的中线，且，则的最大值为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 15 已知． （1）求的值； （2）求的值． 16. 某市高一年级数学期末考试，满分为100分，为做好分析评价工作，现从中随机抽取100名学生成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40和100之间，将数据按照，，，，，分成6组，制成如图所示的频率直方图． （1）求频率直方图中m的值，并估计这100名学生的平均成绩； （2）若成绩在 的为A等级，的为B等级，其他为C等级， ①在这100名学生中用分层抽样的方法在A，B，C三个等级中抽取25人，求从B等级中抽取的人数． ②以样本估计总体，用频率代替概率，从该市所有参加考试的高一年级学生中随机抽取3人，求至少有一人为B等级的概率．（注：当总体数比较大时，不放回抽取可视为有放回抽取） 17. 如图，在平行四边形中，，垂足为P，E为中点， （1）若·=32，求长； （2）设||＝，||＝，＝－，＝x＋y，求的值． 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，在棱上且侧面，，垂足为． （1）求证：平面； （2）若平面与直线交于点，证明：； （3）侧面为等边三角形时，求二面角的平面角的正切值． 19. 已知函数f(x)＝sin x＋m cos x （1）若函数 f(x) 的图象关于直线x=轴对称，求实数m的值． （2）已知锐角△ABC的角A，B，C对边分别是a，b，c，c=且当m=1时满足 f(A)= （i）若∠BCA的角平分线交边AB于D，且CD=，求△ABC的周长； （ii）求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年第二学期期末试卷 高一数学 注意事项： 1．本试卷包括单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第11题）、填空题（第12题~第14题）、解答题（第15题~第19题）四部分．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、班级填在答题卡上指定的位置． 3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数 (为虚数单位)，则复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算可得答案. 【详解】， 所以复数的虚部是. 故选：C. 2. 已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若m⊥α，n⊥α，则 C. 若，，且，，则 D. 若α⊥β，，m⊥n，则n⊥β 【答案】B 【解析】 【分析】ACD可举出反例；B选项，根据垂直和平行的性质得到B正确. 【详解】A选项，若，，则或异面，A错误； B选项，若m⊥α，n⊥α，则，B正确； C选项，若，则不能得到，C错误； D选项，如图，满足α⊥β，，m⊥n，， 但不能推出n⊥β，D错误. 故选：B 3. 已知数据的平均数为10，方差为5，数据的平均数为，方差为，则（ ） A. =10，=14 B. =9，=44 C. =29，=45 D. =29，=44 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数和方差公式计算即可． 【详解】解：原来数据平均值为，方差为则， 方差为 ． 故选：C． 4. 向量与不共线，， ()，若与共线，则应满足（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量平行的结论可以直接得到答案. 【详解】因为与不共线，且与共线，则， 即，即. 故选：C 5. 同时抛掷两枚质地均匀的骰子，观察向上的点数，设事件“第一枚向上点数为奇数”，事件“第二枚向上点数为偶数”，事件“两枚骰子向上点数之和为8”，事件“两枚骰子向上点数之积为奇数”，则（ ） A. 与C互斥 B. A与C相互独立 C. B与D互斥 D. B与D相互独立 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥、独立事件的概念判断各选项的正确与错误. 【详解】记表示基本事件：第一枚骰子点数为，第二枚骰子的点数为. 对A：对事件、都包含基本事件，所以与不互斥，故A错误； 对B：因为，，事件包含基本事件，，所以， 因为，所以不独立，故B错误； 对C：若第二枚骰子的点数是偶数，则两枚骰子的点数之积不可能为奇数，所以事件和互斥，故C正确； 对D：因为，，，因为，所以不独立，故D错误. 故选：C 6. 在中，角A，B，C对边分别为a，b，c．若，，，则实数a的值为（ ） A. 6 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理和题设条件，化简得，进而求得，利用正弦定理求得. 【详解】因为，由正弦定理得， ，化简得， 因为，所以， 可得，又，所以， 由正弦定理得，. 故选：C. 7. 如图，四棱锥中，面，四边形为正方形，，与平面所成角的大小为，且，则四棱锥的外接球表面积为（ ） A. 26π B. 28π C. 34π D. 14π 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可将四棱锥补成长方体，则四棱锥的外接球也是长方体的外接球，由可求出的长，进而可求，即为外接球的直径，从而可得外接球的表面积. 【详解】如图，因为面，四边形为正方形， 所以可将四棱锥补成长方体， 则四棱锥的外接球也是长方体的外接球. 由面，所以就是与平面所成的角， 则，所以， 设四棱锥的外接球的半径为， 因为长方体的对角线的长即为其外接球的直径， 所以，所以， 所以四棱锥的外接球的表面积为. 故选：C 8. 已知，，若，则实数的值（ ） A B. 3 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两角和与差的余弦展开式化简可得，再两边平方可得可得答案. 【详解】因为，所以， 所以， 因为， 所以，则, 上述等式两边平方可得， 因为，所以， 所以，解得. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设复数(i为虚数单位)，则下列结论正确的是（ ） A. 的共轭复数为 B. C. 在复平面内对应的点位于第二象限 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数的概念和运算对各项逐一判断. 【详解】因为，所以，故A正确； 因为，故B错误； 因为，所对应点为，故C正确； 因为，故D正确. 故选：ACD 10. 已知内角对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则为锐角三角形 D. 若的三角形有两解 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据正弦定理结合已知条件即可；对于B，由余弦定理得，即可判断三角形为等腰三角形；对于C，根据余弦定理只能得，即为锐角，无法判断的情况；对于D，利用正弦定理得，即可判断三角形解的个数. 【详解】对于A，因为，则由正弦定理可得， ，所以，即，故A正确； 对于B，由余弦定理得， 化简得，故为等腰三角形，故B正确； 对于C，由余弦定理， 因为，所以，故只能判断为锐角，无法判断，故C错误； 对于D，若，则由正弦定理得， 因为，所以三角形有两解，故D正确； 故选：ABD. 11. 如图，在棱长为的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，则（ ） A. M，N，B，四点共面 B. 若，则异面直线与MN所成角的正弦值为 C. 平面PMN截正方体所得截面为等腰梯形 D. 若，则三棱锥的体积为 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，作出辅助线，得到，得到四点共面；B选项，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到直线与MN所成角的余弦值和正弦值；C选项，作出辅助线，得到截面为正六边形；D选项，等体积法求出三棱锥的体积 【详解】A选项，连接，， 因为M，N分别是，的中点，所以， 又，故， 所以M，N，B，四点共面，A正确； B选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 则异面直线与MN所成角的余弦值为， 故正弦值为，B错误； C选项，如图所示，设的中点分别为， 连接， 故平面PMN截正方体所得截面为正六边形，C错误； D选项，连接，则， 故， 其中，⊥平面， 所以，D正确. 故选：AD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 12. 一只不透明的口袋中装有形状、大小都相同的6个小球，其中2个白球，1个红球和3个黄球，从中1次随机摸出2个球，则恰有一球是黄球的概率是_______． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】利用古典概型，结合列举法即可. 【详解】根据题意，设2个白球的编号为，1个红球的编号为c，3个黄球编号为， 从中1次随机摸出2个球，共有： ，共15种基本事件， 其中满足恰有一球是黄球的基本事件有9种， 故所求概率． 故恰有一球是黄球的概率为：． 故答案为：． 13. 已知，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】首先表示出，，利用夹角公式求出，即可求出，从而得解. 【详解】因为，，， 所以，， 所以， 又，所以，即， 所以. 故答案为： 14. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，是的中线，且，则的最大值为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】由题意得，两边平方化简后得，然后结合基本不等式可求得的最大值. 【详解】由题意得，， 因为是的中线，所以， 所以， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 因为，所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 所以，得，当且仅当时取等号， 所以的最大值为4， 故答案为：4 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 15. 已知． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由求出，然后可求出，再利用正切的二倍角公式求解即可； （2）先判断出的范围，再由求出，然后由化简后可求得结果. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以， 所以； 【小问2详解】 因为，所以， 因为， 所以， 所以 . 16. 某市高一年级数学期末考试，满分为100分，为做好分析评价工作，现从中随机抽取100名学生成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40和100之间，将数据按照，，，，，分成6组，制成如图所示的频率直方图． （1）求频率直方图中m的值，并估计这100名学生的平均成绩； （2）若成绩在 的为A等级，的为B等级，其他为C等级， ①在这100名学生中用分层抽样的方法在A，B，C三个等级中抽取25人，求从B等级中抽取的人数． ②以样本估计总体，用频率代替概率，从该市所有参加考试的高一年级学生中随机抽取3人，求至少有一人为B等级的概率．（注：当总体数比较大时，不放回抽取可视为有放回抽取） 【答案】（1）0.012，68.4 （2）①10人，②0.784 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1，可求的值，再利用各区间的中间值估计区间的平均数，估计样本的平均数. （2）根据分层抽样的计算方法求B等级中抽取的人数；根据独立事件和对立事件的概率公式进行计算. 【小问1详解】 由频率直方图知(0.004＋0.022＋0.030＋0.028＋m＋0.004)×10＝1， ∴0.012 易知，，，，，相应的频率分别为 0.04，0.22，0.30，0.28，0.12，0.04 ， ∴100名同学的平均成绩估计值为： 0.04×45＋0.22×55＋0.30×65＋0.28×75＋0.12×85＋0.04×95＝68.4. 【小问2详解】 ①由(1)知A等级的频率为0.04，A等级的人数为100×0.04＝4人， B等级的频率为(0.28＋0.12)＝0.4，B等级的人数为100×0.4＝40人， C等级的频率为(0.04＋0.22＋0.30)＝0.56，C等级的人数为100×0.56＝56人， ∴抽取25人中B等级中的人数为25×＝10人. ②用频率代替概率，所以抽取一次，B等级被抽中的概率为0.4 ， 抽取三次都没有抽中B等级的概率＝(1－0.4)3＝0.216， 所以随机抽取3人至少有一人为B等级的概率＝1－0.216＝0.784. 17. 如图，在平行四边形中，，垂足为P，E为中点， （1）若·=32，求的长； （2）设||＝，||＝，＝－，＝x＋y，求的值． 【答案】（1）4 （2）－ 【解析】 【分析】（1）利用投影向量来求向量的数量积即可； （2）先解三角形得到各边长，再利用向量知识来求解即可. 【小问1详解】 ,∴是在方向上的投影向量, ∴·＝,即； 法二：，∴·||·||||·||， 即； 【小问2详解】 在中，＝， 所以， ＝＝， 因为，所以，, 以P为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，建系如图: 易知因为E为中点， 所以， ，，, ∵＝x＋y,∴ ，解得：，所以： 法二： 在中，＝， 所以， ＝＝， 因为，所以，, 因为，所以， 又∵ 由平面向量基本定理得： ，解得：，所以： 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，在棱上且侧面，，垂足为． （1）求证：平面； （2）若平面与直线交于点，证明：； （3）侧面为等边三角形时，求二面角的平面角的正切值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先证平面，得到，再根据，可证平面. （2）先证平面，再根据线面平行的性质定理证明线线平行. （3）先确定二面角的平面角，再解直角三角形，求出二面角的正切值. 【小问1详解】 如图： 因为侧面，平面，所以， 又因为四边形为正方形，所以， 又，平面， 所以平面. 因为侧面，所以， 因，且，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为底面为正方形，所以, 又因为平面，平面, 所以平面. 又平面，平面平面, 所以. 【小问3详解】 如图： 由题为等边三角形，， 故为中点， 在线段上取点，使得， 因为是正方形，所以， 又， 所以， 又因为底面，底面，所以， 又，平面，，所以平面， 又平面，所以， 所以即为二面角的平面角， 设， 不妨设等边的边长为2， 则，， 所以在中，. 19. 已知函数f(x)＝sin x＋m cos x （1）若函数 f(x) 的图象关于直线x=轴对称，求实数m的值． （2）已知锐角△ABC的角A，B，C对边分别是a，b，c，c=且当m=1时满足 f(A)= （i）若∠BCA的角平分线交边AB于D，且CD=，求△ABC的周长； （ii）求的取值范围． 【答案】（1）m＝3 （2）（i）＋；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式结合三角函数的对称性求解对称轴即可. （2）（i）利用正弦定理，结合角平分线的等面积法求解即可. （ii）利用正余弦定理，将向量转化成三角问题求解最后的范围. 【小问1详解】 因为图象关于直线轴对称，所以 所以 解得： 经检验：此时满足 即时图象关于直线轴对称. 法二：因为图象关于直线轴对称，所以对任意都成立， 即化简得：对任意都成立，所以m＝3 【小问2详解】 （i）由正弦定理得： ， ∴ ∴ ∵∴∴， ∴ ，即 而,解得： 因为是的角平分线，所以 ∴ 所以的周长 （ii） 由正弦定理得：，，， ，，， ，，即 ， 即的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$