第二章一元二次函数、不等式与方程夯实基础篇-07基本不等式

必修第一册 夯实基础篇 07基本不等式 第二章一元二次函数、不等式与方程 夯实基础篇---07基本不等式 一、问题导学： 1. 什么是重要不等式？什么是基本不等式？ 2. 如何利用你学过的知识推导或证明出基本不等式？它的几何解释？ 3. 利用这两个不等式可以解决哪些问题？有什么条件？ 二、知识构建 知识点一　两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 当且仅当“ ”时取“ ” 基本不等式 当且仅当“ ”时取“ ” 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 知识点二　基本不等式与最值 已知都是正数，则 （1）如果积等于定值，那么当时，和有 ； （2）如果和等于定值，那么当时，积有 注意：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：（1），（2）和(积)为定值，（3）存在取等号的条件，简称“ ” 知识点三 几个常用结论（同正）； (1)； (2)． （3）或 三、类型剖析 题型一 基本不等式的直接应用 （1） 和定值，求积的最值 【例1】设，，且，求的最大值. 【跟踪训练1-1】设为为正实数，若，则的最大值 . 【跟踪训练1-2】已知m，n∈R，m2+n2=100，则mn的最大值是（ ） A．25 B．50 C．20 D． （2） 积定值，求和的最值 【例2】已知，若，则的最小值为 . 【跟踪训练2-1】若实数满足，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【跟踪训练2-2】若，，，则的最小值是（    ） A．4 B． C．9 D．18 【跟踪训练2-3】已知为正实数，且，则的最小值是（ ） A．4 B．8 C．16 D．32 【例3】（1）已知矩形的面积为100，则这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？ （2）已知矩形的周长为36，则这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？ 【跟踪训练3】用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m．当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 【例4】已知x>0，求的最小值，并说明x为何值时y取得最小值 【跟踪训练4-1】若，则的最小值为 ； 【跟踪训练4-2】求函数的最小值. 【跟踪训练4-3】求函数（）的最大值. 题型二 配凑法求最值 【例5】设，则的最小值为 ． 【跟踪训练5-1】已知，则的最小值是 . 【跟踪训练5-2】已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【跟踪训练5-3】函数（）的最小值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．9 题型三 乘“1”法的应用 【例6】已知，，，则的最小值为 ． 【跟踪训练6-1】若正数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【跟踪训练6-2】若正数x，y满足，则的最小值是（    ） A．6 B． C． D． 题型四 数学情境 1.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为 ，深为.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少? 2.阿基米德有这样一句流传很久的名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球！”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的黄金交给顾客，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．以上选项都有可能 3．在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例．在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和．若一个直角三角形的斜边长等于6，则这个直角三角形面积的最大值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 题型五 基本不等式的证明 1.已知、，求证：. 2.已知、、都是正数，求证：. 四、素养提升 1.下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（1）设，且，求的最小值； （2）已知，且，求的最小值. 3. 已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 4. 求函数的最大值． 5.若，且，则的最小值为 ． 五、随堂检测 1．若，，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 2．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 3．如果，那么下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 4．若正数，满足，则的最小值是（    ） A．10 B．20 C．100 D．200 5．已知x，y为正实数，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 6．已知一直角三角形的面积为，则其两条直角边的和的最小值为（    ） A．20cm B． C．30cm D．40cm 7．若，，且，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．已知，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．2 9．利用基本不等式求最值 已知，，则： （1）如果和等于定值s，那么当时，积xy有最大值 ； （2）如果积xy等于定值p，那么当时，和有最小值 ． 10．若，则的最 值是 ，此时 ， . 11．已知，则在 时，取得最小值为 ． 12．已知，则的最小值是 . 13．若不等式在上恒成立，则实数t的取值范围是 14．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金 10g.（填“大于”“小于”“等于”“不确定”） 附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有，其中，分别为左右盘中物体质量，，分别为左右横梁臂长. 15．在直径为d的圆中，圆内接矩形的最大面积是多少？这样的矩形长、宽之比是多少？ 16．已知，，且 (1)求的最大值； (2)求的最小值. 17．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元（池壁忽略不计）.问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低. 18．（1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最大值； 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$必修第一册 夯实基础篇 07基本不等式 第二章一元二次函数、不等式与方程 夯实基础篇---07基本不等式 一、问题导学： 1. 什么是重要不等式？什么是基本不等式？ 2. 如何利用你学过的知识推导或证明出基本不等式？它的几何解释？ 3. 利用这两个不等式可以解决哪些问题？有什么条件？ 二、知识构建 知识点一　两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 当且仅当“”时取“” 基本不等式 当且仅当“”时取“” 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 知识点二　基本不等式与最值 已知都是正数，则 （1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值 注意：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：（1），（2）和(积)为定值，（3）存在取等号的条件，简称“一正二定三相等” 知识点三 几个常用结论（同正）； (1)； (2)． （3）或 三、类型剖析 题型一 基本不等式的直接应用 （1） 和定值，求积的最值 【例1】设，，且，求的最大值. 【答案】10 【分析】利用基本不等式求解. 【详解】， 当且仅当，即时，等号成立 所以的最大值是10. 【跟踪训练1-1】设为为正实数，若，则的最大值 . 【答案】 【解析】根据基本不等式直接求解即可. 【详解】解：因为为为正实数， 所以由基本不等式得：， 当且仅当时等号成立. 故的最大值. 故答案为： 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 【跟踪训练1-2】已知m，n∈R，m2+n2=100，则mn的最大值是（ ） A．25 B．50 C．20 D． 【答案】B 【分析】 利用不等式m2+n2≥2mn，可求得结果. 【解析】 由m2+n2≥2mn，得 mn≤=50， 当且仅当m=n=±时等号成立. 所以mn的最大值是. 故选：B 【点睛】 关键点点睛：利用不等式m2+n2≥2mn求解是关键. （2） 积定值，求和的最值 【例2】已知，若，则的最小值为 . 【答案】6 【分析】利用基本不等式计算可得. 【详解】因为，且， 所以，当且仅当时，等号成立. 故答案为： 【跟踪训练2-1】若实数满足，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】利用均值不等式即可得解. 【详解】由均值不等式可得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值是2. 故选：B. 【点睛】本题考查了均值不等式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 【跟踪训练2-2】若，，，则的最小值是（    ） A．4 B． C．9 D．18 【答案】D 【分析】直接利用基本不等式计算可得； 【详解】解：因为，，，所以，当且仅当时取等号， 故选：D 【跟踪训练2-3】已知为正实数，且，则的最小值是（ ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【分析】 化简，结合基本不等式，即可求解. 【解析】 由题意，正实数且，可得， 则，当且仅当时，即时等号成立， 所以的最小值是. 故选：B. 【例3】（1）已知矩形的面积为100，则这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？ （2）已知矩形的周长为36，则这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）长和宽都是10时，它的周长最短，最短周长为40；（2）长和宽都是9时，它的面积最大，最大面积为81 【解析】（1）方法一，设长和宽两个变量，然后利用基本不等式求得周长的最小值，以及此时长、宽分别是多少.方法二，设长为，宽为，然后利用基本不等式求得周长的最小值，以及此时长、宽分别是多少. （2）方法一，设长和宽两个变量，然后利用基本不等式求得面积的最大值，以及此时长、宽分别是多少.方法二，设长为，宽为，然后利用基本不等式求得面积的最大值，以及此时长、宽分别是多少. 【详解】法一：（1）设矩形的长与宽分别为x与y，依题意得． 因为，所以，所以． 当且仅当时，等号成立，由可知此时． 因此，当矩形的长和宽都是10时，它的周长最短，最短周长为40． （2）设矩形的长与宽分别为x与y，依题意得，即． 因为，所以，因此，即．当且仅当时，等号成立， 由可知此时．因此，当矩形的长和宽都是9时，它的面积最大，最大面积为81． 法二：也可用如下方法求最值： （1）设矩形的长为x，则宽为，则矩形的周长． 当且仅当，即时，等号成立． （2）设矩形的长为x，则宽为，则矩形的面积． 当且仅当，即时，等号成立． 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题. 【跟踪训练3】用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m．当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】当矩形菜园平行于墙的一边长为15m，与之相邻的边长为时，菜园有最大面积，最大面积为. 【分析】利用基本不等式求最大面积. 【详解】设矩形平行于墙面的一边长为m，，与之相邻的邻边长为m， 则菜园的面积为，， 所以， 当且仅当， 即时，菜园面积最大，最大面积为. 【例4】已知x>0，求的最小值，并说明x为何值时y取得最小值 【答案】x=1时，y取得最小值2 【分析】利用均值不等式求最值即可. 【详解】因为x>0，所以根据均值不等式有 其中等号成立当且仅当 ，即，解得或（舍）. 因此x=1时，y取得最小值2. 【点睛】本题主要考查了基本不等式，不等式等号成立的条件，属于容易题. 【跟踪训练4-1】若，则的最小值为 ； 【答案】 【分析】由基本不等式求出最小值. 【详解】因为，故， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为： 【跟踪训练4-2】求函数的最小值. 【答案】12 【分析】根据基本不等式计算可得； 【详解】解：因为，所以，所以，所以，当且仅当，即，即； 【跟踪训练4-3】求函数（）的最大值. 【答案】 【分析】先把函数整理成，利用基本不等式求解最大值即可. 【详解】当时，. 当且仅当，时取等号. 所以函数的最大值为. 题型二 配凑法求最值 【例5】设，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】变形后用基本不等式即可求解 【详解】， 当且仅当即时取等 故答案为： 【跟踪训练5-1】已知，则的最小值是 . 【答案】 【分析】将表达式等价变形，利用基本不等式求解即可. 【详解】由，得， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 故答案为：. 【跟踪训练5-2】已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】变形后由基本不等式求出最值. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当,即时，等号成立. 故选：B 【跟踪训练5-3】函数（）的最小值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．9 【答案】C 【分析】利用均值不等式求最小值即可. 【详解】，当且仅当，即时等号成立， 故选：C 题型三 乘“1”法的应用 【例6】已知，，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】利用1的妙用以及基本不等式求最值. 【详解】， 当且仅当且，即时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 【跟踪训练6-1】若正数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】由正数，满足， 得， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． 故选：B 【跟踪训练6-2】若正数x，y满足，则的最小值是（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】对变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】因为正数x，y满足， 所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为 故选：C 题型四 数学情境 1.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为 ，深为.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少? 【答案】将水池的地面设计成边长为的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元. 【分析】设底面长为，宽为，由容积为，可得，列出水池的总造价关于的函数关系可得，借助均值不等式即得解 【详解】设底面长为，宽为 则 水池的总造价： （元） 当且仅当时，等号成立. 所以，将水池的地面设计成边长为的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元. 2.阿基米德有这样一句流传很久的名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球！”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的黄金交给顾客，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．以上选项都有可能 【答案】A 【分析】设天平的左臂长为，右臂长为，再分别求出，，结合基本不等式判断即可. 【详解】由于天平的两臂不等长，故可设天平的左臂长为，右臂长为，. 由杠杆原理得，，解得，， 则，当且仅当取等号. 又，故. 故选：A 3．在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例．在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和．若一个直角三角形的斜边长等于6，则这个直角三角形面积的最大值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】B 【分析】设直角三角形两直角边长分别为、，则，再利用基本不等式计算可得. 【详解】设直角三角形两直角边长分别为、， 依题意可得， 所以三角形的面积，当且仅当时取等号. 故选：B 题型五 基本不等式的证明 1.已知、，求证：. 【答案】证明见解析 【解析】利用作差法可证明出所证不等式成立. 【详解】，，即. 【点睛】本题考查利用作差法证明基本不等式的变形，考查推理能力，属于基础题. 2.已知、、都是正数，求证：. 【答案】见解析 【解析】由基本不等式可得出，，，然后利用不等式的性质可得出结论. 【详解】，，，由基本不等式可得，，， 由不等式的性质可得， 当且仅当时等号成立. 【点睛】本题考查利用基本不等式证明不等式，涉及不等式性质的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题. 四、素养提升 1.下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A. 当时，，故错误； B. ，当且仅当 ，即 时，取等号，故正确； C. 当时，，故错误； D.由重要不等式得，故错误； 故选：B 2.（1）设，且，求的最小值； （2）已知，且，求的最小值. 【答案】（1）1；（2） 【分析】（1）利用基本不等式即可得解； （2）利用基本不等式“1”的妙用即可得解； 【详解】（1），，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. （2），，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 3. 已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】利用基本（均值）不等式求和的最小值. 【详解】∵，，， ∴（当且仅当即，时取“=”）. 故选：C 4.求函数的最大值． 【答案】最大值为． 【分析】运用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为， 所以，， 所以，当且仅当，即时等号成立． 因此，当时，函数取到最大值． 5.若，且，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】利用基本不等式求解. 【详解】因为，所以，即， 所以，则有， 解得（舍），或， 当且仅当时取得等号， 所以的最小值为6， 故答案为:6. 五、随堂检测 1．若，，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】 直接由基本不等式即可求解. 【详解】由题意，解得，等号成立当且仅当. 故选：B. 2．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】直接根据基本不等式求解即可. 【详解】若，则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：D. 3．如果，那么下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件利用基本不等式直接得出，再结合可得出结果. 【详解】由已知，利用基本不等式得出， 因为，则，， 所以，， ∴. 故选：B 4．若正数，满足，则的最小值是（    ） A．10 B．20 C．100 D．200 【答案】B 【分析】根据基本不等式求出最值. 【详解】由题意得，当且仅当时，等号成立， 故的最小值是20． 故选：B 5．已知x，y为正实数，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据题意利用基本不等式运算求解. 【详解】因为x，y为正实数，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 6．已知一直角三角形的面积为，则其两条直角边的和的最小值为（    ） A．20cm B． C．30cm D．40cm 【答案】D 【分析】设出两直角边分别为cm，cm，由面积求出，根据基本不等式求出答案. 【详解】设两直角边分别为cm，cm， 则，解得， 由基本不等式得，当且仅当时，等号成立， 故两条直角边的和的最小值为40cm. 故选：D 7．若，，且，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】将展开利用基本不等式求得最小值可得答案. 【分析】因为且，所以， ， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为2. 故选：A. 8．已知，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】利用基本不等式可求得的最大值，进而求解即可. 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以的最大值为2. 故选：D. 9．利用基本不等式求最值 已知，，则： （1）如果和等于定值s，那么当时，积xy有最大值 ； （2）如果积xy等于定值p，那么当时，和有最小值 ． 【答案】 【分析】略. 【详解】略. 10．若，则的最 值是 ，此时 ， . 【答案】 大 81 9 9 【分析】根据基本不等式易得. 【详解】因x>0，y>0，且x+y=18，由可得，当且仅当时取等号，即xy的最大值是81，此时. 故答案为：大；81；9；9. 11．已知，则在 时，取得最小值为 ． 【答案】 3 6 【分析】由条件知，可用基本不等式求其最小值. 【详解】因，，当且仅当时等号成立，即在时，取得最小值为6. 故答案为：3；6. 12．已知，则的最小值是 . 【答案】6 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】因为， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值是6. 故答案为：6. 13．若不等式在上恒成立，则实数t的取值范围是 【答案】 【分析】利用基本不等式求出最小值，再结合恒成立的不等式求解即得. 【详解】当时，，当且仅当时取等号， 依题意，，解得， 所以实数t的取值范围是. 故答案为： 14．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金 10g.（填“大于”“小于”“等于”“不确定”） 附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有，其中，分别为左右盘中物体质量，，分别为左右横梁臂长. 【答案】大于 【分析】根据力矩平衡原理，列出等量关系，即可由基本不等式求解. 【详解】由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为，右臂长为，则， 再设先称得黄金为，后称得黄金为，则，， ，， ， 当且仅当，即时等号成立， 但，等号不成立，即． 因此，顾客购得的黄金大于． 故答案为：大于 15．在直径为d的圆中，圆内接矩形的最大面积是多少？这样的矩形长、宽之比是多少？ 【答案】面积最大为，这样的长宽比为1:1. 【分析】利用基本不等式求解. 【详解】设圆内接矩形的长、宽为则， 则圆内接矩形的面积为， 当且仅当时，圆内接矩形的面积最大，最大值为. 这样的长宽比为1:1. 16．已知，，且 (1)求的最大值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，直接利用基本不等式即可求出结果； （2）根据条件，得到，再利用基本不等式即可求出结果. 【详解】（1）因为，， 所以，得到， 当且仅当，即时取等号，所以的最大值为. （2）因为，，， 所以， 当且仅当，即时取等号，又，所以时取等号， 所以，的最小值为. 17．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元（池壁忽略不计）.问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低. 【答案】15 【分析】利用基本不等式，求得最值，可得答案. 【详解】设污水处理池的长为x米，则宽为米. 总造价 （元） 当且仅当（）， 即时等号成立． 18．（1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最大值； 【答案】（1）9；（2）3. 【分析】（1）由，结合基本不等式即可求解； （2）由，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由，则， 当且仅当时等号成立，故目标式最小值为9. （2）由，则， 当且仅当时等号成立，故目标式最大值为3. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$