第一章集合与常用逻辑用语夯实基础篇-05全称量词与存在量词

必修第一册 夯实基础篇 05全称量词与存在量词 第一章集合与常用逻辑用语 夯实基础篇---05全称量词与存在量词 1、 问题导入 1.什么是命题？所有的陈述句都是命题吗？ 2.什么是全称量词？存在量词 3.什么是全称量词命题与存在量词命题？ 4.全称量词命题与存在量词命题的否定分别是什么？ 2、 知识构建 知识点1：全称量词命题和存在量词命题的判断 1．全称量词与全称量词命题 （1）短语“所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“________”表示． （2）含有___________的命题叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为________________． 2．存在量词与存在量词命题 （1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“________”表示． （2）含有____________的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为“________________”． 知识点2：含有一个量词的命题的否定 一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论： 全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：________________； 存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定﹁p：________________． 全称量词命题的否定是____________，存在量词命题的否定是_____________． 小结：对全称量词命题与存在量词命题的否定有两个方面 （1）改变量词：把全称（存在）量词换为存在（全称）量词． （2）否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 正面词语 等于（） 大于（） 小于（） 是 否定词语 知识点3：常用的词语和它的否定词语 正面词语 都是 任意的 所有的 至多一个 至少一个 否定词语 三、类型应用 类型一：全称、存在量词命题真假的判断 【例1】判断下列全称量词命题的真假： （1）所有的素数都是奇数； （2），； （3）对任意一个无理数x，也是无理数. 【跟踪训练1-1】判断下列全称量词命题的真假： （1）每个四边形的内角和都是360°； （2）任何实数都有算术平方根； （3）是无理数}，是无理数. 【跟踪训练1-2】判断下列全称量词命题的真假: (1)每一个末位是0的整数都是5的倍数; (2)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等; (3)对任意负数是正数; (4)梯形的对角线相等 【例2】　判断下列存在量词命题的真假： （1）有一个实数x，使； （2）平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线； （3）有些平行四边形是菱形. 【跟踪训练2】判断下列存在量词命题的真假： （1）存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直； （2）至少有一个整数n，使得为奇数； （3）是无理数}，是无理数. 【例3】指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假． （1）∀x∈N,2x＋1是奇数； （2）存在一个x∈R，使＝0； （3）对任意实数a，|a|＞0； （4）有一个角α，使sin α＝. 【跟踪训练3-1】有下列四个命题： ①，；②； ③，；④.其中真命题的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪训练3-2】下列命题中真命题有(　　) ①p：∀x∈R，x2－x＋≥0；②q：所有的正方形都是矩形； ③r：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；④s：至少有一个实数x，使x2＋1＝0. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【跟踪训练3-3】判断下列命题的真假． （1）任意两个面积相等的三角形一定相似； （2）∃x，y为正实数，使x2＋y2＝0； （3）在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P； （4）∀x∈N，x2>0. 考点二 全称量词命题与存在量词命题的否定 【例4】写出下列全称量词命题的否定. (1)所有能被3整除的整数都是奇数； (2)每一个四边形的四个顶点在同一个圆上； (3)对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3. 【跟踪训练4-1】写出下列命题的否定： （1），； （2）任意奇数的平方还是奇数； （3）每个平行四边形都是中心对称图形. 【跟踪训练4-2】写出下列全称量词命题的否定，并判断其真假． (1)所有的矩形都是平行四边形； (2)∀x∈R，|x|≥x； (3)∀x∈R＋，为正数． 【例5】写出下列存在量词命题的否定. (1)∃n∈R，x+2≤0； (2)有的三角形是等边三角形； (3)有一个偶数是素数. 【跟踪训练5】 写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假． (1)有的素数是偶数； (2)∃x∈R，使x2＋x＋<0； (3)至少有一个实数x，使x3＋1＝0. 【例6】判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定: (1)平面直角坐标系下每条直线都与x轴相交; (2)每个二次函数的图象都是轴对称图形; (3)存在一个三角形,它的内角和小于180°; (4)存在一个四边形,它的四个顶点不在同一个圆上. 【跟踪训练6】将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题的形式,并写出它们的否定: (1)平行四边形的对角线互相平分; (2)三个连续整数的乘积是6的倍数; (3)三角形不都是中心对称图形; (4)一元二次方程不总有实数根. 【例7】写出下列命题的否定并判断其真假： （1）p：∀x∈R，2≥0； （2）q：所有的正方形都是矩形； （3）r：∃x∈R，x2＋2x＋3≤0； （4）s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0. 【跟踪训练7】写出下列命题的否定： （1），； （2）p：所有自然数的平方都是正数； （3）p：任何实数x都是方程的根； （4）p：有些分数不是有理数. 考点三 求含有量词的命题中的参数问题 【例8】若命题“p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0”是真命题，则实数m的取值范围是(　　 ) A．m≥1　　　 B．m＞1 C．m＜1 D．m≤1 【跟踪训练8】已知命题p：存在x∈R，x2＋2x＋a＝0.若命题p是真命题，则实数a的取值范围是________． 【例9】已知．若p的否定为假命题，求实数m的取值范围． 【跟踪训练9-1】若“有 成立”是真命题，则实数的取值范围是____________ 【跟踪训练9-2】已知命题:“，使得”是真命题，则实数的最大值是____. 四、数学情境 十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数，关于的方程没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为（    ） A．对任意正整数，关于的方程都没有正整数解 B．对任意正整数，关于的方程至少存在一组正整数解 C．存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解 D．存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解 五、随堂检测 1．下列三个命题中有几个真命题（    ） ①，；②，；③至少有一个实数，使得 A．0 B．1 C．2 D．3 2．下列命题是全称量词命题，且是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．， C．有一个实数，使 D．有些平行四边形是菱形 3．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（ ） A．， B．且是的充要条件 C．， D．是的必要不充分条件 6．已知为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．命题“”的否定为 ． 8．有下列四个命题： ①对任意实数均有；             ②不存在实数使； ③方程至少有一个实数根；   ④使， 其中假命题是__________（填写所有假命题的序号）． 9.若命题“，使得”是真命题，则实数m的取值范围为 ． 10．判断下列全称（存在量词）命题的真假： (1)，； (2)有些偶数能被整除； (3)所有的对角线互相垂直的四边形是菱形； (4)有些三角形是锐角三角形. 11．写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)，方程必有实根； (2)，使得. 12．写出下列命题的否定，并判断命题的否定的真假． (1)，； (2)有一个素数是偶数； (3)任意两个三角形的底边长和底边对应的高的长度相等，那么这两个三角形相似． 六、素养提升 在本节,我们介绍了命题的否定的概念,知道一个命题的否定仍是一个命题,它和原先的命题只能一真一假,不能同真或同假.在数学中,有很多“若p,则q”形式的命题,有的是真命题,有的是假命题,例如: ①若,则;(假命题) ②若四边形为等腰梯形,则这个四边形的对角线相等.(真命题) 这里,命题①②都是省略了量词的全称量词命题. (1)有人认为,①的否定是“若,则”,②的否定是“若四边形为等腰梯形,则这个四边形的对角线不相等”.你认为对吗?如果不对,请你正确地写出命题①②的否定. (2)请你列举几个“若p,则q”形式的省略了量词的全称量词命题,分别写出它们的否定,并判断真假. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$必修第一册 夯实基础篇 05全称量词与存在量词 第一章集合与常用逻辑用语 夯实基础篇---05全称量词与存在量词 1、 问题导入 1.什么是命题？所有的陈述句都是命题吗？ 2.什么是全称量词？存在量词 3.什么是全称量词命题与存在量词命题？ 4.全称量词命题与存在量词命题的否定分别是什么？ 2、 知识构建 知识点1：全称量词命题和存在量词命题的判断 1．全称量词与全称量词命题 （1）短语“所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示． （2）含有全称量词的命题叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)． 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 符号 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对中任意一个,有成立”，可用符号简记为“” 2．存在量词与存在量词命题 （1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示． （2）含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”． 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在中的一个,有成立”，可用符号简记为“” 知识点2：含有一个量词的命题的否定 一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论： 全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∃x∈M，﹁p(x)； 存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∀x∈M，﹁p(x)． 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题． 小结：对全称量词命题与存在量词命题的否定有两个方面 （1）改变量词：把全称（存在）量词换为存在（全称）量词． （2）否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 知识点3：常用的词语和它的否定词语 正面词语 等于（） 大于（） 小于（） 是 否定词语 不等于（） 不大于（） 不小于（） 不是 正面词语 都是 任意的 所有的 至多一个 至少一个 否定词语 不都是 某个 某些 至少两个 一个也没有 三、类型应用 类型一：全称、存在量词命题真假的判断 【例1】判断下列全称量词命题的真假： （1）所有的素数都是奇数； （2），； （3）对任意一个无理数x，也是无理数. 【答案】（1）假命题；（2）真命题；（3）假命题 【解析】对每个全称量词命题进行判断，从而得到答案. 【详解】（1）2是素数，但2不是奇数.所以全称量词命题“所有的素数是奇数”是假命题. （2），总有，因而.所以全称量词命题“，”是真命题. （3）是无理数，但是有理数.所以，全称量词命题“对每一个无理数x，也是无理数”是假命题. 【点睛】本题考查判断全称量词命题的真假，属于简单题. 【跟踪训练1-1】判断下列全称量词命题的真假： （1）每个四边形的内角和都是360°； （2）任何实数都有算术平方根； （3）是无理数}，是无理数. 【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题 【解析】对每个全称量词命题进行判断，从而得到答案. 【详解】（1）真命题. 连接一条对角线，将一个四边形分成两个三角形， 而一个三角形的内角和180°， 所以四边形的内角和都是360°是真命题； （2）假命题. 因为负数没有算术平方根， 所以任何实数都有算术平方根是假命题； （3）假命题， 因为是无理数，是有理数， 所以是无理数}，是无理数是假命题. 【点睛】本题考查判断全称量词命题的真假，属于简单题. 【跟踪训练1-2】判断下列全称量词命题的真假: (1)每一个末位是0的整数都是5的倍数; (2)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等; (3)对任意负数是正数; (4)梯形的对角线相等 【答案】(1)真命题;(2)真命题;(3)真命题;(4)假命题. 【解析】(1)根据整数的性质,末位是0的整数都是5的倍数成立.故为真命题. (2)根据垂直平分线的性质可得线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.故为真命题. (3)对任意负数,不等式两边同时乘以负数有.故为真命题 (4)举反例如直角梯形对角线显然不相等.故为假命题. 【例2】　判断下列存在量词命题的真假： （1）有一个实数x，使； （2）平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线； （3）有些平行四边形是菱形. 【答案】（1）假命题；（2）假命题；（3）真命题 【解析】对每个存在量词命题进行判断，从而得到答案. 【详解】（1）由于， 因此一元二次方程无实根， 所以，存在量词命题“有一个实数x，使”是假命题. （2）由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行， 因此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线. 所以，存在量词命题“平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线”是假命题. （3）由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题. 【点睛】本题考查判断存在量词命题的真假，属于简单题. 【跟踪训练2】判断下列存在量词命题的真假： （1）存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直； （2）至少有一个整数n，使得为奇数； （3）是无理数}，是无理数. 【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）真命题 【解析】对每个存在量词命题进行判断，从而得到答案. 【详解】（1）真命题，因为正方形的两条对角线互相垂直； （2）假命题，因为若为整数，则必为偶数； （3）真命题，因为是无理数，是无理数. 【点睛】本题考查判断存在量词命题的真假，属于简单题. 【例3】指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假． （1）∀x∈N,2x＋1是奇数； （2）存在一个x∈R，使＝0； （3）对任意实数a，|a|＞0； （4）有一个角α，使sin α＝. 【答案】见解析 【解析】(1)是全称量词命题．因为∀x∈N，2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题． (2)是存在量词命题．因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题． (3)是全称量词命题．因为|0|＝0，所以|a|＞0不都成立，因此，该命题是假命题． (4)是存在量词命题．因为当α＝30°时，sin α＝，所以该命题是真命题． 【跟踪训练3-1】有下列四个命题： ①，； ②； ③，； ④.其中真命题的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】对于①，，，故命题成立； 对于②，显然当时满足，但，故命题为假； 对于③，显然时满足，成立，故命题为真； 对于④，的实数根为，是无理数，故命题为假. 综上，真命题的个数为2. 故选：B. 【跟踪训练3-2】下列命题中真命题有(　　) ①p：∀x∈R，x2－x＋≥0； ②q：所有的正方形都是矩形； ③r：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0； ④s：至少有一个实数x，使x2＋1＝0. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【解析】x2－x＋＝2≥0，故①是真命题；x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1＞0，故③是假命题；易知②是真命题，④是假命题． 【跟踪训练3-3】判断下列命题的真假． （1）任意两个面积相等的三角形一定相似； （2）∃x，y为正实数，使x2＋y2＝0； （3）在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P； （4）∀x∈N，x2>0. 【答案】 【解析】　(1)因为面积相等的三角形不一定相似．故它是假命题． (2)因为当x2＋y2＝0时，x＝y＝0， 所以不存在x，y为正实数，使x2＋y2＝0，故它是假命题． (3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题． (4)因为0∈N,02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题． 考点二 全称量词命题与存在量词命题的否定 【例4】写出下列全称量词命题的否定. (1)所有能被3整除的整数都是奇数； (2)每一个四边形的四个顶点在同一个圆上； (3)对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3. 【解析】 (1)该命题的否定：存在一个能被3整除的整数不是奇数. (2)该命题的否定：存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上. (3)该命题的否定： x∈Z，x2的个位数字等于3. 【跟踪训练4-1】写出下列命题的否定： （1），；（2）任意奇数的平方还是奇数；（3）每个平行四边形都是中心对称图形. 【答案】（1），；（2）存在一个奇数的平方不是奇数；（3）存在一个平行四边形不是中心对称图形. 【分析】根据含有一个量词命题的否定，分别写出每个命题的否定，得到答案. 【详解】（1）该命题的否定：，； （2）该命题的否定：存在一个奇数的平方不是奇数； （3）该命题的否定：存在一个平行四边形不是中心对称图形. 【点睛】本题考查含有一个量词命题的否定，属于简单题. 【跟踪训练4-2】写出下列全称量词命题的否定，并判断其真假． (1)所有的矩形都是平行四边形； (2)∀x∈R，|x|≥x； (3)∀x∈R＋，为正数． 【解析】 (1)原命题的否定为“存在一个矩形不是平行四边形”，这个命题是假命题． (2)原命题的否定为“∃x∈R，使|x|<x”，这个命题是假命题． (3)原命题的否定为“∃x∈R＋，使≤0”，这个命题是假命题. 【例5】写出下列存在量词命题的否定. (1)∃n∈R，x+2≤0； (2)有的三角形是等边三角形； (3)有一个偶数是素数. 【解析】 (1)该命题的否定：∀n∈R，x+2＞0. (2)该命题的否定：所有的三角形都不是等边三角形 (3)该命题的否定：任意一个偶数都不是素数. 【跟踪训练5】 写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假． (1)有的素数是偶数； (2)∃x∈R，使x2＋x＋<0； (3)至少有一个实数x，使x3＋1＝0. 【解析】 (1)题中命题的否定为“所有的素数不是偶数”．这个命题是假命题，如2是素数也是偶数． (2)题中命题的否定为“∀x∈R，x2＋x＋≥0”．这个命题是真命题，因为当x∈R时，x2＋x＋＝2≥0. (3)题中命题的否定为“∀x∈R，x3＋1≠0”．这个命题是假命题，因为x＝－1时，x3＋1＝0. 【例6】判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定: (1)平面直角坐标系下每条直线都与x轴相交; (2)每个二次函数的图象都是轴对称图形; (3)存在一个三角形,它的内角和小于180°; (4)存在一个四边形,它的四个顶点不在同一个圆上. 【答案】(1)假命题;命题的否定:平面直角坐标系下,存在一条直线不与x轴相交; (2)真命题;命题的否定:存在一个二次函数的图象不是轴对称图形; (3)假命题;命题的否定:任意一个三角形,它的内角和不小于180°; (4)真命题;命题的否定:任意一个四边形,它的四个顶点都在同一个圆上, 【解析】(1)举出反例即可判定.且原命题为全称命题,故其否定为特称命题. (2)根据二次函数图像性质可以判定. 且原命题为全称命题, 故其否定为特称命题. (3)根据三角形性质判定.且原命题为特称命题, 故其否定为全称命题. (4)举出对应的反例即可. 且原命题为特称命题, 故其否定为全称命题. 【详解】(1)举出反例：函数与x轴不相交.故原命题为假命题. 命题的否定:平面直角坐标系下,存在一条直线不与x轴相交; (2)因为二次函数均有对称轴, 故原命题为真命题. 命题的否定: 存在一个二次函数的图象不是轴对称图形; (3)因为三角形内角和为180°.故原命题为假命题. 命题的否定: 任意一个三角形,它的内角和不小于180°; (4)举出例子说明：有一个角为60°的菱形满足四个顶点不在同一个圆上.故原命题为真命题. 命题的否定:任意一个四边形,它的四个顶点都在同一个圆上. 【点睛】本题主要考查了命题真假的判定以及全称命题与特称命题的否定,属于基础题型. 【跟踪训练6】将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题的形式,并写出它们的否定: (1)平行四边形的对角线互相平分; (2)三个连续整数的乘积是6的倍数; (3)三角形不都是中心对称图形; (4)一元二次方程不总有实数根. 【答案】(1)任意一个平行四边形,它的对角线互相平分;它的否定:存在一个平行四边形,它的对角线不互相平分; (2)任意三个连续整数的乘积是6的倍数;它的否定:存在三个连续整数的乘积不是6的倍数; (3)存在一个三角形不是中心对称图形;它的否定:所有的三角形都是中心对称图形; (4)存在一个一元二次方程没有实数根;它的否定:任意一元二次方程都有实数根. 【解析】(1)原命题为全称命题,否定为特称命题. (2)原命题为全称命题,否定为特称命题. (3)原命题为特称命题,否定为全称命题. (4)原命题为特称命题,否定为全称命题. 【详解】(1)任意一个平行四边形,它的对角线互相平分; 它的否定:存在一个平行四边形,它的对角线不互相平分; (2)任意三个连续整数的乘积是6的倍数; 它的否定:存在三个连续整数的乘积不是6的倍数; (3)存在一个三角形不是中心对称图形; 它的否定:所有的三角形都是中心对称图形; (4)存在一个一元二次方程没有实数根; 它的否定:任意一元二次方程都有实数根. 【点睛】本题主要考查了含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题及其否定,属于基础题型. 【例7】写出下列命题的否定并判断其真假： （1）p：∀x∈R，2≥0； （2）q：所有的正方形都是矩形； （3）r：∃x∈R，x2＋2x＋3≤0； （4）s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0. 【解析】(1) ￢p：∃x∈R，2＜0，假命题． 因为∀x∈R，2≥0恒成立，所以￢p是假命题． (2) ￢q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题． (3) ￢r：∀x∈R，x2＋2x＋3＞0，真命题． 因为∀x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2＞0恒成立，所以￢r是真命题． (4) ￢s：∀x∈R，x3＋1≠0，假命题． 因为x＝－1时，x3＋1＝0，所以￢s是假命题． 【跟踪训练7】写出下列命题的否定： （1），； （2）p：所有自然数的平方都是正数； （3）p：任何实数x都是方程的根； （4）p：有些分数不是有理数. 【答案】（1），；（2）有些自然数的平方不是正数；（3）存在实数x不是方程的根；（4）一切分数都是有理数. 【解析】（1），； （2）有些自然数的平方不是正数； （3）存在实数x不是方程的根； （4）一切分数都是有理数. 考点三 求含有量词的命题中的参数问题 【例8】若命题“p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0”是真命题，则实数m的取值范围是(　　 ) A．m≥1　　　 B．m＞1 C．m＜1 D．m≤1 【答案】B　 【解析】 命题p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题，则Δ＜0，即m＞1.故选B 【跟踪训练8】已知命题p：存在x∈R，x2＋2x＋a＝0.若命题p是真命题，则实数a的取值范围是________． 【答案】{a|a≤1} 【解析】　存在x∈R，x2＋2x＋a＝0为真命题， ∴Δ＝4－4a≥0，∴a≤1. 【例9】已知．若p的否定为假命题，求实数m的取值范围． 【答案】 【详解】因为p的否定为假命题，则p为真命题， 即恒成立，即恒成立， 因为，则，即的最小值为0， 所以，所以实数m的取值范围是． 【跟踪训练9-1】若“有 成立”是真命题，则实数的取值范围是____________ 【答案】 【解析】（1）由题意可得，函数的最大值为1，∴.故答案为：. 【跟踪训练9-2】已知命题:“，使得”是真命题，则实数的最大值是____. 【答案】5 【解析】当时，， 因为“，使得”是真命题，所以.故答案为： 四、数学情境 十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数，关于的方程没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为（    ） A．对任意正整数，关于的方程都没有正整数解 B．对任意正整数，关于的方程至少存在一组正整数解 C．存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解 D．存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解 【答案】D 【分析】由全称量词命题的否定的定义即可得解. 【详解】“对任意正整数，关于的方程没有正整数解”的否定为： 存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解. 故选：D. 五、随堂检测 1．下列三个命题中有几个真命题（    ） ①，；②，；③至少有一个实数，使得 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据已知命题的描述判断真假，即可得答案. 【详解】①由，可得或，为真命题； ②由，为假命题； ③当时，为真命题. 故选：C 2．下列命题是全称量词命题，且是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．， C．有一个实数，使 D．有些平行四边形是菱形 【答案】B 【分析】根据全称量词命题的定义即可知选项CD不合题意，再判断出命题真假即可得出结论. 【详解】对于A，“所有的素数都是奇数”是全称量词命题，但是假命题， 例如2是素数，但2是偶数，所以A错误； 对于B，易知“，”是全称量词命题， 且由可得，所以是真命题，即B正确； 对于C，“有一个实数，使”是存在量词命题，不合题意； 对于D，“有些平行四边形是菱形”是存在量词命题，不合题意； 故选：B 3．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，直接写出来即可. 【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，则命题“，”的否定是“，”. 故选：C 4．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：C 5．下列说法正确的是（ ） A．， B．且是的充要条件 C．， D．是的必要不充分条件 【答案】D 【分析】利用全称量词命题和存在量词命题的真假判断AC，根据充分与必要条件的定义，结合不等式的解法及一元二次方程判断BD. 【详解】对于A：由得，不满足，，错误； 对于B：由且能推出，但由不能推出且， 比如当时，满足，但不满足且， 所以且是的充分不必要条件，错误； 对于C：若，则，故不存在，，错误； 对于D，若，则或，即由推不出， 但是由能推出，所以是的必要不充分条件，正确. 故选：D 6．已知为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次方程判别式与存在量词命题的真假性即可得解. 【详解】因为为真命题， 所以，解得. 故选：A. 7．命题“”的否定为 ． 【答案】“”. 【分析】由全称命题的否定为特称命题即可得出答案. 【详解】命题“”的否定为:“”. 故答案为：“”. 8．有下列四个命题： ①对任意实数均有；             ②不存在实数使； ③方程至少有一个实数根；   ④使， 其中假命题是__________（填写所有假命题的序号）． 【答案】③ 【分析】根据不等式的性质判断①，根据完全平方数的非负性判断②，计算即可判断③，利用特殊值判断④. 【详解】对于①：因为，所以对任意实数均有，故①为真命题； 对于②：因为，所以不存在实数使，故②为真命题； 对于③：对于方程，， 故方程无实数根，所以③为假命题； 对于④：当时，故使，即④为真命题. 故答案为：③ 9.若命题“，使得”是真命题，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】原命题转化为“方程有实数解”，再由可求实数的取值范围. 【详解】若命题“，使得”是真命题，也就是“方程有实数解”， ∴. 故答案为： 10．判断下列全称（存在量词）命题的真假： (1)，； (2)有些偶数能被整除； (3)所有的对角线互相垂直的四边形是菱形； (4)有些三角形是锐角三角形. 【答案】(1)假命题 (2)真命题 (3)假命题 (4)真命题 【分析】根据全称量词命题，存在量词命题定义逐项求解判断. 【详解】（1）由题知，为全称量词命题，当时，，故此命题为假命题. （2）由有些偶数能被整除为存在量词命题，如为偶数也能被整除，故此命题为真命题. （3）所有的对角线互相垂直的四边形是菱形为全称量词命题，但存在四边形边长不相等但对角线垂直的四边形，故此命题为假命题. （4）有些三角形是锐角三角形为存在量词命题，三角形分为锐角三角形，钝角三角形，直角三角形，故此命题为真命题. 11．写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)，方程必有实根； (2)，使得. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）（2）根据全称命题以及特称命题的否定即可求解. 【详解】（1），方程未必有实根， 由于，方程必有实根，是真命题， 因此为假命题， （2），使得. 由于，所以恒成立，所以为真命题 12．写出下列命题的否定，并判断命题的否定的真假． (1)，； (2)有一个素数是偶数； (3)任意两个三角形的底边长和底边对应的高的长度相等，那么这两个三角形相似． 【答案】(1)“，”，假命题 (2)“所有的素数都不是偶数”， 假命题 (3)“存在两个三角形的底边长和底边对应的高的长度相等，它们不相似”，真命题 【分析】（1）（2）（3）根据全称命题、特称命题的否定写出相应命题的否定，进而判断真假性. 【详解】（1）命题的否定为“，”， 因为，可得命题的否定是假命题． （2）命题的否定为“所有的素数都不是偶数”， 由2是素数也是偶数，可得命题的否定是假命题． （3）命题的否定为“存在两个三角形的底边长和底边对应的高的长度相等，它们不相似”， 若这两个三角形底边对应的高的垂足不在同一个位置， 那么这两个三角形不相似，可得命题的否定是真命题． 六、素养提升 在本节,我们介绍了命题的否定的概念,知道一个命题的否定仍是一个命题,它和原先的命题只能一真一假,不能同真或同假.在数学中,有很多“若p,则q”形式的命题,有的是真命题,有的是假命题,例如: ①若,则;(假命题) ②若四边形为等腰梯形,则这个四边形的对角线相等.(真命题) 这里,命题①②都是省略了量词的全称量词命题. (1)有人认为,①的否定是“若,则”,②的否定是“若四边形为等腰梯形,则这个四边形的对角线不相等”.你认为对吗?如果不对,请你正确地写出命题①②的否定. (2)请你列举几个“若p,则q”形式的省略了量词的全称量词命题,分别写出它们的否定,并判断真假. 【答案】(1)不对,见解析(2)见解析 【解析】(1)因为省略了量词的全称量词命题,故补全全称量词再判定即可. (2)根据初中小学学过的数与形的知识点举例即可. 【详解】解: (1)不对.①的否定:存在;②的否定:存在一个四边形为等腰梯形,它的对角线不相等. (2)命题1:矩形的对角线相等,是真命题;它的否定是:存在一个矩形,它的对角线不相等,是假命题. 命题2:实数的平方是正数,是假命题;它的否定:存在一个实数,它的平方不是正数,是真命题. 【点睛】本题主要考查了“若p,则q”形式的全称量词命题及其否定的辨析,属于基础题型. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$