精品解析：四川省仁寿实验中学2023-2024学年高一下学期第一次月考（4月）数学试题

仁寿实验中学高2023级数学科第一次月考考试试题 (考试时间：150分钟 试卷满分：150分) 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效 一、单选题(共8小题，每小题5分) 1. 复数的虚部是（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的四则运算，结合复数虚部的定义即可得解. 【详解】因为， 所以复数的虚部为. 故选：C. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先由诱导公式化简得，再结合两角和的正弦公式即可求得答案. 【详解】， 故选：A. 3. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】已知三角形中两角和其中一角的对边，可以用正弦定理求另一角的对边. 【详解】在中，由正弦定理得， ，即， 解得：. 故选：A. 4. 已知向量，则“x＞0”是“ 与的夹角为锐角”的(　　) A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义以及向量的数量积的应用，进行判断即可. 【详解】充分性：当x＞0时，； 但是当x＝5时， ，与 共线，与夹角为0°，故充分性不成立， 必要性：与夹角为锐角，则， 解得x＞0，故必要性成立， 故选C. 【点睛】本题主要考查平面向量基本定理及坐标表示、平面向量的数量积以及充分条件和必要条件. 5. 为了得到函数的图像，可以将函数的图像上（ ） A. 每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 B. 每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 C. 每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 D. 每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 【答案】B 【解析】 【分析】由函数图像的伸缩变换和平移变化规律求解. 【详解】由可知，函数的图像每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可得函数的图像，再向右平移个单位，得函数的图像. 故选：B 6. 圆台的上、下底面的面积分别是，，侧面积是，则这个圆台的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆台的高，再利用圆台的体积公式进行计算. 【详解】设圆台的上、下底面的半径分别为r，R，母线长为l，高为h., 由圆台的上、下底面的面积分别是，，得所以，， 由圆台侧面积公式可得，所以， 所以， 所以该圆台的体积 . 故选：D. 7. 在棱长为1的正方体中，分别为的中点，则点为正方形内一点，当平面时，的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别取的中点，由面面平行的判定定理可得平面平面，再由面面平行的性质定理可得平面，所以点在线段上，当点为的交点时，可得答案. 【详解】如图，分别取的中点，连接， 则，所以， 易知四边形为平行四边形，故， 因为平面，平面，所以平面， 平面，平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面，因为平面，故平面， 又点为正方形内一点，平面平面， 所以点在线段上， 又,当即点即为的中点，也即点为的交点时， 此时最短， 因为的中点分别是， 所以，，所以. 故选：C. 8. 如图，在中，，为上一点，且，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意可知三点共线，进而得到，利用向量基本定理表示出,进而表示出计算即可. 【详解】因为，所以 所以， 因为，所以， 即， 因为三点共线，所以，解得， 所以， 而, 所以, 即. 故选：D. 二、多选题(共4小题，每小题5分) 9. 设a，b为两条不重合的直线，为一个平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则⊥ B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】AC可举出反例；BD可利用平行和垂直的性质进行判定. 【详解】A选项，若，b，则，或，A错误； B选项，若，，由平行关系可得，B正确； C选项，若，，则或异面，C错误； D选项，因为，所以垂直于所有与平行的直线， 又，则，D正确. 故选：BD 10. 若复数（为虚数单位），复数的共轭复数为，则下列结论正确的是（ ） A. 复数所对应的点位于第一象限 B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】通过复数中，对复数进行化简，可以判断A选项；通过共轭复数的定义得到，可判断B选项；通过复数的乘除运算法则可判断C、D选项. 【详解】因为，所以， 所以， 对于A，复数在复平面内对应的点在第一象限，故A正确； 对于B，由，可得，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：AC 11. 函数的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. 函数的周期为 C. 函数的图象关于点对称 D. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象，求出的周期，即可判断出选项B的正误，利用图象过点，可求得值，从而可判断出选项A的正误，利用的图象与性质，求出的对称中心，即可判断出选项C的正误，再利用图象的平移，即可判断出选项D的正误，从而求出结果. 【详解】由图知，所以，故选项B错误， 又由，得到，又，所以， 由图易知，，且图象过点，所以， 得到，又，所以，所以选项A正确， 因为，由，得到 令，得到，即的一个对称中心为，所以选项C正确， 又将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，所以选项D正确， 故选：ACD. 12. 正方体中，分别为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 平面平面 C. 面 D. 与是相交直线 【答案】BC 【解析】 【分析】根据线线垂直、面面相交、线面平行、异面直线的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】连接，如下图所示， A选项，由于，所以是异面直线与所成的角或其补角， 设正方体的边长为，则， 所以，所以，所以，A选项错误. B选项，根据正方体的性质可知:，所以四点共面， 所以平面平面，B选项正确. C选项，根据正方体的性质可知， 所以四边形是平行四边形，所以 由于平面，平面， 所以面，C选项正确. D选项，由于与平面相交，平面其不过与平面的交点， 所以与是异面直线，D选项错误. 故选：BC 三、填空题(共4小题，每小题5分) 13. 已知向量，.若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量的坐标运算和向量共线得到方程，解出即可. 【详解】，， 因为，所以，所以. 故答案为：. 14. 圆锥的侧面展开图中扇形中心角为，底面周长为，这个圆锥的侧面积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】借助扇形弧长公可计算出圆锥母线长，结合扇形面积公式即可得圆锥侧面积. 【详解】设圆锥母线长为l，扇形圆心角为，则，故， 则. 故答案为：. 15. 已知，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用诱导公式及二倍角公式公式计算可得； 【详解】解：因为，所以 故答案为： 16. 已知函数，若，且在区间上有最小值无最大值，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的对称性、最值求得正确答案. 【详解】由于若，且在区间上有最小值无最大值， ，则， 所以， ， 由于，所以的值为. 故答案为： 四、解答题(共70分) 17. 在平面直角坐标系中，已知向量． （1）求； （2）若，，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量坐标运算法则计算得到，从而计算出模长；（2）利用向量坐标运算和数量积等于0求出实数的值. 【小问1详解】 ， 所以 【小问2详解】 ， 因为， 所以， 解得： 18. 已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）求在区间上的最小值及此时x的取值. 【答案】（1） （2）最小值为，此时. 【解析】 【分析】（1）化简得到，整体思想求的单调递增区间即可. （2）先求，再求范围，进而求出值域，即得到最小值及此时x的取值. 【小问1详解】 ∵， ∵，则， ∴的单调递增区间为. 【小问2详解】 ∵，则， ∴，即， 故当，即时，取到最小值. 19. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1＝2.求： （1）直线AB1与平面ACC1A1所成角的正切值； （2）异面直线AB1与A1C1所成角的余弦值． 【答案】（1） （2）. 【解析】 【详解】解：（1） 因为AC⊥BC，所以B1C1⊥A1C1. 因为ABCA1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面A1B1C1. 又B1C1⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥B1C1，CC1∩A1C1＝C1，CC1，A1C1⊂平面ACC1A1，所以B1C1⊥平面ACC1A1，所以∠B1AC1即为直线AB1与平面ACC1A1所成的角． 在Rt△B1AC1中，AC1＝2，B1C1＝2，所以tan ∠B1AC1＝， 所以直线AB1与平面ACC1A1所成角的正切值为. （2） 因为AC∥A1C1，所以∠B1AC是异面直线AB1与A1C1所成的角或其补角．如图，连接B1C， 在△B1AC中，AB1＝2，B1C＝2，AC＝2， 所以cos ∠B1AC＝＝， 所以异面直线AB1与A1C1所成角的余弦值为. 20. 如图，缉私艇在A处通过卫星发现正东方相距的P处有一艘走私船，走私船正以的速度往它的东北方向的公海逃窜，此时距离公海．缉私艇立即以的速度追缉． （1）为了尽快将走私船截获，缉私艇应该往哪个方向进行追缉？ （2）缉私艇能否在该走私船进入公海前将其截获？ 【答案】（1）缉私艇应该往东偏北方向追缉；（2）缉私艇可以在该走私船进入公海前将其截获. 【解析】 【分析】（1）假设t小时后缉私艇在点M处将走私船截获，则可得，然后在中利用正弦定理可求得答案； （2）中利用余弦定理列方程可求出的值，从而可求出的长，再与比较大小即可得答案 【详解】解：（1）假设t小时后缉私艇在点M处将走私船截获． 在中，，解得， 则，即缉私艇应该往东偏北方向追缉． （2）在中，根据余弦定理得， 所以 化简得， 解得或（舍去）， 此时走私船前进了． 所以缉私艇可以在该走私船进入公海前将其截获． 21. 设，，分别为的内角，，的对边，且． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2）20 【解析】 【分析】（1）已知等式利用正弦定理边化角或利用余弦定理角化边，再结合同角三角函数的关系和三角恒等变换化简，可证得结论； （2）由已知条件可得，由（1）中的结论结合勾股定理求得各边长，面积公式计算的面积． 【小问1详解】 解法一：由及正弦定理可得，整理得． 又，所以，所以， 即， 所以，又，， 则，所以． 解法二：由及余弦定理可得， 整理得． 因为，即． 【小问2详解】 因为，，即，两边同时平方，有，所以，． 又由（1）知，则，所以． 又，解得，所以的面积为 22. 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，H为PC的中点，M为AH的中点，. （1）求证：； （2）求点C到平面ABH的距离； （3）在线段PB上是否存在点N，使MN平面ABC？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 因为底面，平面，所以. 又因为，平面， 所以平面， 又因为平面，所以. （2） （3） 线段上当点满足，使平面. 证明：取CH的中点K，连接MK，NK． 因为为的中点， 所以由为的中位线，可得. 又因为平面，平面ABC，所以平面； 由，可得，则， 又因为平面ABC，平面ABC，所以平面． 又因为平面， 所以平面平面， 又因为平面MNK，所以平面ABC． 【解析】 【分析】（1）证明平面即能证出 （2）利用三棱锥等体积即能求C到平面ABH的距离. （3）取的中点，则能得平面平面，即得出，利用相似即能得出比值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设点到平面的距离为. 因为底面，，为的中点， 所以点到平面的距离为. 又因为在中，，，． 则， . 又因为底面，平面，所以， 又因为，，为的中点， 所以， 又因为由（1）知平面，平面，所以， 则. 所以，则， 则的面积为， 所以，解得. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 仁寿实验中学高2023级数学科第一次月考考试试题 (考试时间：150分钟 试卷满分：150分) 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效 一、单选题(共8小题，每小题5分) 1. 复数的虚部是（ ） A. 2 B. C. 1 D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，则“x＞0”是“ 与的夹角为锐角”的(　　) A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 为了得到函数的图像，可以将函数的图像上（ ） A. 每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 B. 每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 C. 每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 D. 每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 6. 圆台的上、下底面的面积分别是，，侧面积是，则这个圆台的体积是（ ） A. B. C. D. 7. 在棱长为1的正方体中，分别为的中点，则点为正方形内一点，当平面时，的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，为上一点，且，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题(共4小题，每小题5分) 9. 设a，b为两条不重合的直线，为一个平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则⊥ B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 若复数（为虚数单位），复数的共轭复数为，则下列结论正确的是（ ） A. 复数所对应的点位于第一象限 B. C. D. 11. 函数的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. 函数的周期为 C. 函数的图象关于点对称 D. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象 12. 正方体中，分别为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 平面平面 C. 面 D. 与是相交直线 三、填空题(共4小题，每小题5分) 13. 已知向量，.若，则________． 14. 圆锥的侧面展开图中扇形中心角为，底面周长为，这个圆锥的侧面积是__________． 15. 已知，则___________. 16. 已知函数，若，且在区间上有最小值无最大值，则___________． 四、解答题(共70分) 17. 在平面直角坐标系中，已知向量． （1）求； （2）若，，求实数的值． 18. 已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）求在区间上的最小值及此时x的取值. 19. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1＝2.求： （1）直线AB1与平面ACC1A1所成角的正切值； （2）异面直线AB1与A1C1所成角的余弦值． 20. 如图，缉私艇在A处通过卫星发现正东方相距的P处有一艘走私船，走私船正以的速度往它的东北方向的公海逃窜，此时距离公海．缉私艇立即以的速度追缉． （1）为了尽快将走私船截获，缉私艇应该往哪个方向进行追缉？ （2）缉私艇能否在该走私船进入公海前将其截获？ 21. 设，，分别为的内角，，的对边，且． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 22. 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，H为PC的中点，M为AH的中点，. （1）求证：； （2）求点C到平面ABH的距离； （3）在线段PB上是否存在点N，使MN平面ABC？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $