安徽省安庆市潜山市第四中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试卷

2023-2024学年安徽省安庆市潜山四中九年级（下）开学数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如果两个相似三角形的周长比是1：2，那么它们的面积比是(    ) A. 1：2 B. 1：4 C. 1： D. ：1 2.将的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得函数最大值为(    ) A. B. C. D. 3.在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是(    ) A. ① B. ② C. ③ D. ④ 4.根据有关测定，当外界气温处于人体正常体温的黄金比值时，人体感到最舒适人体正常体温约为，这个气温大约为(    ) A. B. C. D. 5.如图，网格中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是(    ) A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 6.已知点、均在双曲线上，且，则与的大小关系是(    ) A. B. C. D. 无法确定 7.如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是(    ) A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 8.如图，在中，D为BC上一点，已知AD平分，，若，，则(    ) A. B. C. D. 9.如图，与的图象的交点，，，则不等式的解集为(    ) A. 或 B. 或或 C. 或 D. 或 10.如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于A、两点，与y轴交于点C，连接有下列四个结论：①；②；③为任意数；④将直线AC向下平移个单位长度得到的直线与直线AC向右平移1个单位长度得到的直线重合.其中正确结论的个数是(    ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11.锐角满足，则______. 12.当时，二次函数有最大值m，则______. 13.如图，在中，弦AB所对的圆周角，，，则______ 14.如图1所示的是公园运动广场的一个漫步机，其侧面示意图如图2所示，其中，，， 点A到BC的距离是______ cm； 点D到BC的距离是______ 三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题8分 计算： 16.本小题8分 已知线段a、b、c满足，且 求a、b、c的值； 若线段x是线段a、b的比例中项，求 17.本小题8分 如图，网格中的每个小正方形的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上． 将绕点A顺时针旋转得的对应点是D，C的对应点是，请画出 连接BE，在图中所给的网格中找一个格点F，使得∽ 18.本小题8分 如图所示，已知AB为的直径，CD是弦，且于点连接AC、OC、 求证：； 若，，求的直径. 19.本小题10分 如图，某建筑AB与山坡CD的剖面在同一平面内，在距此建筑AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度：，山坡坡底C点到坡顶D点的距离，在坡顶D点处测得建筑楼顶A点的仰角为，求此建筑AB的高度结果用无理数表示 20.本小题10分 如图，A为反比例函数其中图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，连接OA、AB，且 求k的值； 过点B作，交反比例函数的图象于点 ①连接AC，求的面积； ②在图上连接OC交AB于点D，求的值． 21.本小题12分 如图，在中，点D、G在边AC上，点E在边BC上，，，AE、BD交于点F， 求证：； 当时，求证： 22.本小题12分 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点、、，抛物线经过A、B两点. 当该抛物线经过点C时，求该抛物线的表达式； 在题的条件下，点P为该抛物线上一点，且位于第三象限，当时，求点P的坐标； 如果抛物线的顶点D位于内，求a的取值范围. 23.本小题14分 在中，，，，点D为边AC的中点如图，点P、Q分别是射线BC、BA上的动点，且，联结PQ、QD、 求证：； 如果点P在线段BC上，当是直角三角形时，求BP的长； 将沿直线QP翻折，点D的对应点为点，如果点位于内，请直接写出BP的取值范围. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：两个相似三角形的周长比是1：2， 它们的面积比是：1： 故选： 直接根据相似三角形的性质即可得出结论． 本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键． 2.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象平移的规律是左加右减，上加下减． 根据函数图象向右平移减，向下平移减，可得答案． 【解答】 解；将的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数表达式是，即 所以其顶点坐标是 由于该函数图象开口方向向下， 所以，所得函数的最大值是 故选： 3.【答案】B  【解析】【分析】 本题是考查中心对称图形的概念：如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形．将②涂黑后，与图中阴影部分构成的图形是中心对称图形，满足题意，即可得出答案． 【解答】 解：如图， 将②涂黑后，与图中阴影部分构成的图形绕O正方形的中心旋转后，这个图形能自身重合，是中心对称图形． 故选： 4.【答案】A  【解析】解：根据黄金比的值得： 故选： 根据黄金比的值知，身体感到特别舒适的温度应为37度的倍． 本题考查了黄金分割的知识，解答本题的关键是要熟记黄金比的值为 5.【答案】D  【解析】解：如图所示：两个三角形的位似中心是：点 故选： 直接利用位似图形的性质进而连接对应点得出位似中心即可． 此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键． 6.【答案】D  【解析】解：时， 双曲线在第一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小， 当，同号，即或，， 当，异号时，即， 故选： 分，同号和异号两种情况讨论． 本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 7.【答案】B  【解析】解：过格点A，B，C作一圆弧， 三点组成的圆的圆心为：， 只有时，BF与圆相切， 当≌时， ， 点的坐标为：， 点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是：和 故选： 根据垂径定理的性质得出圆心所在位置，再根据切线的性质得出，时F点的位置即可． 此题主要考查了切线的性质、垂径定理及坐标与图形的性质，得出≌时，，即得出F点的坐标是解决问题的关键． 8.【答案】C  【解析】解：，， ， 平分， ， ， ， ， ， ∽， ， 或舍去， ， 故选： 根据已知可得，再利用角平分线的定义可得，然后利用等腰三角形的性质可得，从而可得，最后证明∽，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 9.【答案】B  【解析】解：不等式的解集实际上就是当抛物线的图象位于反比例函数的图象上方时，所对应的自变量x的取值范围， 根据图象可以得到： 在第一象限，当时，二次函数的值大于反比例函数的值， 在第三象限，有两部分，即当或时，二次函数的值大于反比例函数的值， 故选： 不等式的解集实际上就是当的值大于反比例函数的值，所对应的自变量x的取值范围即可，借助图象可以得出答案． 考查反比例函数的图象和性质、二次函数的图象和性质以及与不等式的关系等知识，数形结合思想的运用是解决问题关键． 10.【答案】C  【解析】解：抛物线开口向下， ， 抛物线对称轴为， ，所以②正确； 抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴， ， ，所以①错误； 抛物线对称轴为， 时，y有最大值， 为任意实数， 为任意实数，所以③正确； 抛物线的对称轴we直线，与x轴交于A、两点， ， 直线AC的解析式为， 直线AC向下平移个单位长度得到的直线为，直线AC向右平移1个单位长度得到的直线解析式为， 直线AC向下平移个单位长度得到的直线与直线AC向右平移1个单位长度得到的直线重合，所以④正确． 故选： 由抛物线开口方向得到，利用对称轴方程得到，则可对②进行判断；由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴得到，则可对①进行判断；根据二次函数的性质，时，y有最大值，即为任意实数，则可对③进行判断；利用抛物线的对称性得到，则可求出直线AC的解析式为，然后根据直线平移的变化规律可对④进行判断． 本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于抛物线与x轴交点个数由判别式确定：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点． 11.【答案】  【解析】解：如图，，，，则， 由于，可设，则， 所以， ， 故答案为： 根据锐角三角函数的定义以及勾股定理进行计算即可． 本题考查锐角三角函数、勾股定理，理解锐角三角函数的定义以及勾股定理是正确解答的前提． 12.【答案】10  【解析】【分析】 本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的值，本题得以解决． 【解答】 解：二次函数， 该函数开口向上，对称轴为， 当时，二次函数有最大值m， 当时，该函数取得最大值，此时， 故答案为： 13.【答案】30  【解析】解：连接OA、OB、OC，如图所示： ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 故答案为： 连接OA、OB、OC，由圆周角定理得，则是等腰直角三角形，得，再证是等边三角形，得，然后由圆周角定理即可得出答案． 本题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握圆周角定理，证明为等腰直角三角形、为等边三角形是解题的关键． 14.【答案】    【解析】解：延长AE交BC于 ，， ， 故答案为：； ， ，， ， ∽， ， ， ， 故答案为： 延长AE交BC于解直角三角形求出AF即可． 首先过A作，垂足为F，过点D作，垂足为进而得出AF的长，再利用相似三角形的判定与性质得出AH的长即可得出答案． 此题主要考查了相似三角形的应用以及勾股定理，根据题意得出∽是解答第二题的关键． 15.【答案】解：原式   【解析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案． 此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 16.【答案】解：设， 则，，， 所以，， 解得， 所以，， ， ； 线段x是线段a、b的比例中项， ， 线段  【解析】设比值为k，然后用k表示出a、b、c，再代入等式求解得到k，然后求解即可； 根据比例中项的定义列式求解即可． 本题考查了比例的性质，比例线段，利用“设k法”用k表示出a、b、c可以使计算更加简便． 17.【答案】解：如图所示：，即为所求； 如图所示：∽  【解析】直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案； 利用相似三角形的判定方法分析得出答案． 此题主要考查了相似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键． 18.【答案】证明：， ， ， ， ， ； 解：， ， 在中，， ， 设的半径为r，则，， 在中，，解得， 的直径为  【解析】根据垂径定理得到，再根据圆周角定理得到，然后利用得到结论； 根据垂径定理得到，再利用正切的定义，利用可求出，设的半径为r，根据勾股定理得到，然后解方程求出r，从而得到的直径． 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和解直角三角形． 19.【答案】解：如图，过点D作于F，作交BC的延长线于点E， 由题意得，，，， 在中， 山坡CD的坡度：， ， 设，则， 由勾股定理可得：， 又， ， ， ，， ， 在中，， ， 即此建筑AB的高度为  【解析】过点D作，垂足为F，作交BC的延长线于点E，由坡度的定义和锐角三角函数定义分别计算出DE、EC、BE、DF、AF，进而求出 本题考查了直角三角形的应用，熟练掌握坡度的定义和锐角三角函数定义是解题的关键． 20.【答案】解：过点A作轴，垂足为点H，AH交OC于点M，如图所示． ，， ， ， 点A的坐标为 为反比例函数图象上的一点， ； ①轴，，点C在反比例函数上， ， ， 点A到BC的距离， ； ②轴，，点C在反比例函数上， ，， ， ， ∽，   【解析】过点A作轴，垂足为点H，AH交OC于点M，利用等腰三角形的性质可得出DH的长，利用勾股定理可得出AH的长，进而可得出点A的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值； ①由三角形面积公式可求解； ②由OB的长，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出BC的长，利用三角形中位线定理可求出MH的长，进而可得出AM的长，由可得出∽，利用相似三角形的性质即可求出的值． 本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：利用等腰三角形的性质及勾股定理，求出点A的坐标；②利用相似三角形的性质求出的值． 21.【答案】证明：， ， ， ， ， ， ； ， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 又， ∽， ，   【解析】由平行线分线段成比例可得，进而可得，由等腰三角形的性质可得，由相似三角形的判定可得结论； 通过证明∽，可得，可得结论． 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明∽是本题的关键． 22.【答案】解：设抛物线的解析式为 将点C的坐标代入得：，解得：， 抛物线的解析式为； 如图1，设PB交y轴于点E， ，， ， ， ， 又， ，即， ，即， ， ， 点P在第三象限， ， 设PB的解析式为：， 把和代入得：， 解得：， 的解析式为：， 则，解得：或， ； 抛物线经过A、B两点， 对称轴是：直线， 、， 同理得BC的解析式为：， 当时，， 当顶点时，设抛物线的解析式为， 把顶点代入得：， 抛物线的顶点D位于内，a的取值范围是  【解析】设抛物线的解析式为，将点C的坐标代入求得a的值，可得抛物线的解析式； 先根据点B和C的坐标证明是等腰直角三角形，得，根据等式的性质得：，利用三角函数列式可得OE的长，利用待定系数法求PB的解析式，联立抛物线和直线PB的解析式组成方程组可得点P的坐标即可； 先确定抛物线的对称轴，计算边界点D的坐标和对应a的值，根据图形可知：符合条件的a一定是负数，从而得解． 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，三角函数，对称的性质，二次函数的性质等知识，熟知利用方程组的解确定两函数的交点坐标是本题的关键． 23.【答案】解：在中，，， 根据勾股定理得，， ， ， ， ， ， ∽， ， ； 点D是AC的中点， ， 由知，， ， ， 是直角三角形， ①当时，如图1， 在中，，， ， ， ， ， ， ， ②当时， ， 如图1， 过Q作于E， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 在中，，， ， ， 或大于，舍去 ； 即或； ； 理由：如图3， ①当点恰好落在边BC上时， 由折叠知，，， 由知，， ， ， ， 设，则， ， 在中，根据勾股定理得，， ， ， ②当点落在D时，即PQ过点D， 在中，， ， ， 综上：  【解析】判断出∽，得出，即可得出结论； 先判断出，再分两种情况，利用锐角三角函数或相似三角形得出比例式，即可得出结论； 找出分界点，利用三角函数和勾股定理求解，即可得出结论． 此题是几何变换综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$