第09讲 有理数计算的技巧-2024年暑假新七年级数学上册自学课系列（苏科版）

第09讲 有理数计算的技巧 【苏科版】 ·模块一 归类—将同类数（如正负数、整数、分数）归类计算 ·模块二 凑整—将和（积）为整数的数结合计算 ·模块三 对消—将相加得0的数结合计算 ·模块四 变序—运用运算律改变运算顺序 ·模块五 换位-将被除数与除数颠倒位置 ·模块六 课后作业 模块一 归类—将同类数（如正负数、整数、分数）归类计算 【例1.1】（2023七年级·上海黄浦·期中）计算：． 【例1.2】（2023七年级·陕西西安·阶段练习）用简便方法计算：． 【例1.3】（2023七年级·广东东莞·阶段练习）计算： (1) (2) 【变式1.1】（2023七年级·吉林长春·期中）计算：． 【变式1.2】（2023七年级·陕西延安·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【变式1.3】（2023七年级·广东珠海·阶段练习）计算：． 模块二 凑整—将和（积）为整数的数结合计算 【例2.1】（2023七年级·上海崇明·期中）计算： 【例2.2】（2023七年级·陕西西安·阶段练习）计算． (1)； (2)； 【例2.3】（2023七年级·湖南长沙·阶段练习）计算：； 【变式2.1】（2023七年级·吉林松原·阶段练习）计算：． 【变式2.2】（2023七年级·天津河东·阶段练习）计算：； 【点睛】本题考查有理数的\运算，熟练掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键． 【变式2.3】（2023七年级·广东佛山·期中）计算： 模块三 对消—将相加得0的数结合计算 【例3.1】（2023七年级·陕西渭南·期中）用简便方法计算：． 【例3.2】（2023七年级·福建福州·阶段练习）计算： 【例3.3】（2023七年级·全国·专题练习）计算： 【变式3.1】（2023七年级·福建泉州·期中）计算： 【变式3.2】（2023七年级·山东菏泽·阶段练习）计算： 【变式3.3】（2023七年级·全国·专题练习）计算： 模块四 变序—运用运算律改变运算顺序 【例4.1】（2023七年级·上海宝山·期中）计算： 【例4.2】（2023七年级·全国·假期作业）（1）计算：； （2）计算：． 【例4.3】（2023七年级·黑龙江绥化·期中）下面各题怎样简便就怎样算 (1) (2) (3) (4) 【变式4.1】（2023七年级·江苏泰州·阶段练习）用简便方法计算： (1) (2) 【变式4.2】（2023七年级·福建厦门·阶段练习）用简便方法计算 (1) (2) (3) (4) 【变式4.3】（2023七年级·山东菏泽·开学考试）简便计算 (1) (2) (3) (4) (5) 模块五 换位-将被除数与除数颠倒位置 【例5.1】（2023七年级·山东威海·期中）【阅读材料】 计算：． 分析：利用倒数的意义，可以先求原式的倒数，再得出计算的结果． 解：由于， 所以． 【问题解决】 根据上述方法，计算：． 【例5.2】（2023七年级·河南周口·期中）请选择合适的方法计算：． 【例5.3】（2023七年级·广西南宁·期中）请选择合适的方法计算： 【变式5.1】（2023七年级·安徽滁州·阶段练习）阅读下列材料：计算． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为 ． 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪个解法是错误的． (2)请你选择一种合适的解法解答下列问题：计算：． 【变式5.2】（2023七年级·湖北荆州·阶段练习）请选择合适的方法计算：． 【变式5.3】（2023七年级·安徽淮北·阶段练习）请选择合适的方法计算：． 模块六 课后作业 1．（2023七年级·上海杨浦·期中）计算： 2．（2023七年级·四川泸州·期末）计算：． 3．（2023七年级·广东惠州·期中）计算：． 4．（2023七年级·甘肃定西·阶段练习）计算： (1) (2) 5．（2023七年级·重庆江北·阶段练习）计算． (1) (2) 6．（2023七年级·山东德州·阶段练习）计算下列各式： (1) (2) (3) 7．（2023七年级·全国·假期作业）能简算的要简算． (1) (2) (3) (4) (5) 8．（2023七年级·上海·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 9．（2023七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算并写出必要的计算过程． (1)； (2)； (3)； (4)． 10．（2023七年级·四川乐山·阶段练习）计算： (1) (2) (3) 11．（2023七年级·山东青岛·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 12．（2023七年级·全国·假期作业）计算． (1) (2) 13．（2023七年级·全国·假期作业）巧算． (1) (2) 14．（2023七年级·山东济宁·期末）数学老师布置了一道思考题“计算”．小明仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题：原式的倒数为，所以． （1）请你通过计算验证小明的解法的正确性； （2）由此可以得到结论：一个非零数的倒数的倒数等于______； （3）请你运用小明的解法计算：． 15．（2023七年级·江西南昌·阶段练习）阅读下列材料： 计算： 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三  原式的倒数 ． 所以，原式． （1）上述得到的结果不同，你认为解法_______是错误的； （2）请你选择合适的解法计算： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 有理数计算的技巧 【苏科版】 ·模块一 归类—将同类数（如正负数、整数、分数）归类计算 ·模块二 凑整—将和（积）为整数的数结合计算 ·模块三 对消—将相加得0的数结合计算 ·模块四 变序—运用运算律改变运算顺序 ·模块五 换位-将被除数与除数颠倒位置 ·模块六 课后作业 模块一 归类—将同类数（如正负数、整数、分数）归类计算 【例1.1】（2023七年级·上海黄浦·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法，尽量用简便方法计算．本题利用加法的交换律凑整计算即可解题． 【详解】解： 【例1.2】（2023七年级·陕西西安·阶段练习）用简便方法计算：． 【答案】9 【分析】利用加减运算交换律，把同分母及可凑整的优先计算即可； 【详解】解： . 【点睛】本题考查有理数加减运算的简便计算，同分母、同号、凑整等都是可以优先进行简便计算的，熟练掌握计算技巧是解决本题的关键． 【例1.3】（2023七年级·广东东莞·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）利用有理数加法的交换律与结合律计算即可得； （2）先去括号、将分数化成小数，再利用有理数加法的交换律与结合律计算即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了有理数加减中的简便运算，熟练掌握有理数的加减运算法则是解题关键． 【变式1.1】（2023七年级·吉林长春·期中）计算：． 【答案】20 【分析】先化简符号，再正数结合负数结合，最后相加． 本题主要考查了有理数的加减混合运算．熟练掌握化简符号，加法结合律，是解决问题的关键． 【详解】 ． 【变式1.2】（2023七年级·陕西延安·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可； （2）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了有理数加减混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数加减混合运算法则，准确计算． 【变式1.3】（2023七年级·广东珠海·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】利用有理数的加法结合律和交换律求解． 【详解】解：                 ． 【点睛】本题考查了有理数的加法，灵活运用有理数的运算律是解题的关键． 模块二 凑整—将和（积）为整数的数结合计算 【例2.1】（2023七年级·上海崇明·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减运算，熟悉掌握运算的法则是解题的关键． 把小数变成分数，再根据分数的加减法运算即可． 【详解】解：原式 ． 【例2.2】（2023七年级·陕西西安·阶段练习）计算． (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先确定符合再约分即可得出答案； （2）先确定正负，再将分成，然后和结合，和结合，最后再计算乘法即可； 【详解】（1） （2） 【点睛】本题考查了有理数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【例2.3】（2023七年级·湖南长沙·阶段练习）计算：； 【答案】 【详解】 ； 【点睛】本题考查了有理数的运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 【变式2.1】（2023七年级·吉林松原·阶段练习）计算：． 【答案】9 【分析】 本题考查有理数混合运算，先根据数的特征分组，再将小数化为分数，利用同分母分数加减运算求解，最后由有理数的加法运算求解即可得到答案，熟练掌握分数加减运算是解决问题的关键． 【详解】 解： ． 【变式2.2】（2023七年级·天津河东·阶段练习）计算：； 【答案】 【分析】利用乘法结合律和有理数的乘法法则进行计算即可； 【详解】解：原式 ； 【点睛】本题考查有理数的\运算，熟练掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键． 【变式2.3】（2023七年级·广东佛山·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减法，掌握将减法统一为加法，运用有理数的加法交换律和结合律是解题的关键． 【详解】解： ． 模块三 对消—将相加得0的数结合计算 【例3.1】（2023七年级·陕西渭南·期中）用简便方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据加法的交换律和结合律计算即可． 【详解】解； 【例3.2】（2023七年级·福建福州·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】根据有理数加减混合运算的方法计算即可． 【详解】 【点睛】本题主要考查了有理数加减混合运算，熟练掌握有理数加减混合运算法则是解本题的关键． 【例3.3】（2023七年级·全国·专题练习）计算： 【答案】3 【分析】根据有理数加减法则直接计算即可得到答案． 【详解】 ． 【点睛】本题考查有理数加减混合运算，解题的关键是熟练掌握法则及运用交换律结合律简便计算． 【变式3.1】（2023七年级·福建泉州·期中）计算： 【答案】20 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，计算有理数的加减混合运算时，从左到右进行计算即可，有括号的要先算括号里面的，在计算加法时，把相反数和能凑整的数先相加可以让计算更加简便，熟练掌握有理数的加减法法则是解题的关键． 【详解】解：原式=                    =                                                                                ． 【变式3.2】（2023七年级·山东菏泽·阶段练习）计算： 【答案 【分析】根据有理数的加减混合运算进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减混合运算法则是解题的关键． 【变式3.3】（2023七年级·全国·专题练习）计算： 【答案】 【分析】依据“拆项法”计算即可． 【详解】解：原式 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握“拆项法”是解答本题的关键． 模块四 变序—运用运算律改变运算顺序 【例4.1】（2023七年级·上海宝山·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法，解决本题的关键是掌握乘法的分配律．根据乘法的分配律计算即可． 【详解】解： ． 【例4.2】（2023七年级·全国·假期作业）（1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查有理数混合运算，熟练掌握乘法分配律是解题的关键． （1）先将化成，再运用乘法分配律计算即可； （2）逆用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 【例4.3】（2023七年级·黑龙江绥化·期中）下面各题怎样简便就怎样算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)5 (2)7623 (3)8686 (4)48 【分析】本题考查了分数的混合运算，以及有理数的乘法运算律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用乘法分配律得出，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． （2）先整理为整百数，再运用乘法分配律进行简便运算，即可作答． （3）先整理为整百数，再运用乘法分配律进行简便运算，即可作答． （4）先整理原式，再运用乘法分配律进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式4.1】（2023七年级·江苏泰州·阶段练习）用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1)25 (2) 【详解】（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 【变式4.2】（2023七年级·福建厦门·阶段练习）用简便方法计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可； （2）根据乘法分配律进行计算即可； （3）逆用乘法分配律进行计算即可； （4）根据有理数除法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，准确计算． 【变式4.3】（2023七年级·山东菏泽·开学考试）简便计算 (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3)1 (4) (5) 【分析】（1）根据，根据分数的拆项公式进行简算即可； （2）先将除法转化为乘法，再逆用乘法分配律进行计算即可； （3）先计算括号里面的，再计算最后计算乘法即可； （4）把原式转化为，再利用乘法分配律进行计算即可； （5）根据先将看着一个整体，利用乘法分配律把后面乘法部分展开，再逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） （5） 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．灵活运用乘法分配律进行计算． 模块五 换位-将被除数与除数颠倒位置 【例5.1】（2023七年级·山东威海·期中）【阅读材料】 计算：． 分析：利用倒数的意义，可以先求原式的倒数，再得出计算的结果． 解：由于， 所以． 【问题解决】 根据上述方法，计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算，解题的关键是熟练掌握乘法分配律，准确计算． 【详解】解：∵ ， ∴． 【例5.2】（2023七年级·河南周口·期中）请选择合适的方法计算：． 【答案】 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，首先应用乘法分配律，求出原式的倒数是多少；然后用1除以原式的倒数，求出算式的值是多少即可． 【详解】解法一： ； 解法二：原式的倒数为 故原式． 【例5.3】（2023七年级·广西南宁·期中）请选择合适的方法计算： 【答案】 【分析】先计算出的倒数的结果，再算出原式结果即可． 【详解】解：原式的倒数为 原式． 【点睛】本题主要考查了有理数的除法，看懂例题的解法是解决问题的关键． 【变式5.1】（2023七年级·安徽滁州·阶段练习）阅读下列材料：计算． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为 ． 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪个解法是错误的． (2)请你选择一种合适的解法解答下列问题：计算：． 【答案】(1)没有除法分配律，故解法一错误； (2)过程见解析，． 【分析】（1）根据有理数的的运算法则进行判断，可得答案； （2）根据有理数的运算顺序，计算原式的倒数，即可得出答案． 【详解】（1）解：没有除法分配律，故解法一错误； （2）原式的倒数为： ， 所以原式 【点睛】本题考查了有理数的除法，熟练掌握有理数的运算法则是解决本题的关键． 【变式5.2】（2023七年级·湖北荆州·阶段练习）请选择合适的方法计算：． 【答案】 【分析】先求出的倒数，然后再进行计算即可． 【详解】解：原式的倒数是 ＝5 ∴． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则，是解题的关键． 【变式5.3】（2023七年级·安徽淮北·阶段练习）请选择合适的方法计算：． 【答案】． 【分析】求出原式的倒数，即可确定出原式的值． 【详解】解：原式的倒数为 ， 则． 【点睛】本题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 模块六 课后作业 1．（2023七年级·上海杨浦·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘除法，根据有理数的乘除法运算法则计算即可． 【详解】 2．（2023七年级·四川泸州·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法； 根据有理数的加法交换律和结合律计算即可． 【详解】解：原式 . 3．（2023七年级·广东惠州·期中）计算：． 【答案】 【分析】解：本题考查了有理数的加法运算，利用加法交换律和结合律进行运算即可得出结果，掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 4．（2023七年级·甘肃定西·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用加法交换律将负数移到一起 ，然后利用有理数加法法则计算即可； （2）先用加法交换律将分母相同的分数移到一起，再用加法结合律将同分母分数相加，最后再将所得的结果相加即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查有有理数的加法运算，能够用加法交换律，和加法结合律，进行简便运算是解决本题的关键． 5．（2023七年级·重庆江北·阶段练习）计算． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）去括号，再计算加减即可． （2）去括号，通分，再计算加法即可． 【详解】（1） （2） 6．（2023七年级·山东德州·阶段练习）计算下列各式： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用有理数加法运算律计算，即可求解； （2）利用有理数加法运算律计算，即可求解； （3）利用有理数加法运算律计算，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减运算，灵活利用有理数的加法运算律计算是解题的关键． 7．（2023七年级·全国·假期作业）能简算的要简算． (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题主要考查有理数的运算： （1）分数连乘，能约分的要先约分． （2）利用乘法的分配律． （3）括号里面的分数的分母恰好和括号外面的整数约分，则利用乘法的分配律计算． （4）将看成，这样就可以利用乘法的分配律计算． （5）将看成，这样利用乘法的分配律，正好可以和分数约分． 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） 8．（2023七年级·上海·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查多个有理数的乘法，解题的关键是掌握有理数的乘法运算律． （1）首先确定乘积的符号，再根据乘法结合律计算即可； （2）首先确定乘积的符号，再计算； （3）首先确定乘积的符号，再计算； （4）首先确定乘积的符号，再利用乘方交换律，结合律计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 9．（2023七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算并写出必要的计算过程． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)700 (2) (3) (4)3 【分析】本题考查的是乘法运算，分数的混合运算，掌握运算顺序以及简便运算方法是解本题的关键； （1）利用乘法的结合律进行简便运算即可； （2）先计算乘法运算，再计算加减运算即可； （3）利用乘法分配律的逆用进行简便运算即可； （4）先利用乘法的分配律进行乘法运算，再计算加减运算即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； 10．（2023七年级·四川乐山·阶段练习）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3)20 【分析】本题考查了有理数的混合运算， （1）先去括号，按照从左往右的顺序，进行计算即可； （2）先去括号，将分母相同的相结合计算，即可解得； （3）按照从左往右的顺序，进行计算即可； 熟知计算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ． 11．（2023七年级·山东青岛·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4)6 (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的四则运算： （1）根据有理数的加减运算法则计算即可； （2）根据减去一个数等于加上这个数的相反数计算即可； （3）根据减去一个数等于加上这个数的相反数计算即可； （4）先根据绝对值的含义化简，然后根据先算乘除后算加减计算即可； （5）根据乘除的运算法则计算即可，两个负数乘除的结果为正，一负一正乘除结果为负数； （6）将分母一样的放在一块进行计算即可； 熟练运用计算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 12．（2023七年级·全国·假期作业）计算． (1) (2) 【答案】(1)1 (2)2 【分析】本题考查了乘法运算律分配律的运用；根据题目特点正用或逆用是解题的关键； （1）把分母中拆成，然后运用分配律即可； （2）把被除数中带分数化为假分数，再逆用分配律，最后约分即可． 【详解】（1）解： = = = ； （2）解： ． 13．（2023七年级·全国·假期作业）巧算． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的运算以及乘法运算律： （1）采用乘法分配律计算，原式可变形为； （2）采用乘法分配律计算，原式可变形为． 【详解】（1） （2） 14．（2023七年级·山东济宁·期末）数学老师布置了一道思考题“计算”．小明仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题：原式的倒数为，所以． （1）请你通过计算验证小明的解法的正确性； （2）由此可以得到结论：一个非零数的倒数的倒数等于______； （3）请你运用小明的解法计算：． 【答案】（1）见解析；（2）这个数本身；（3）-3 【分析】（1）按小明的解法计算，检查结果是否正确即可； （2）根据题意得出结论即可； （3）仿照已知的方法计算即可． 【详解】（1） ∴小明的解法的正确 （2）一个非零数的倒数的倒数等于这个数本身 （3） ∴ 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 15．（2023七年级·江西南昌·阶段练习）阅读下列材料： 计算： 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三  原式的倒数 ． 所以，原式． （1）上述得到的结果不同，你认为解法_______是错误的； （2）请你选择合适的解法计算： 【答案】（1）一；（2）． 【分析】（1）根据有理数的除法法则判断即可； （2）先计算的值，然后根据解法三求解即可． 【详解】解：（1）根据有理数的除法法则可知，解法一是错误的； 故答案为：一； （2）∵ ， 由解法三可知与的解互为倒数， 则， ∴ ． 【点睛】此题考查了有理数的除法，熟练掌握除法法则是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$