21.2 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（第5课时)（同步课件）数学沪科版九年级上册

九年级沪科版数学上册 第二十一章二次函数与反比例函数 21.2 二次函数的图象和性质 第五课时 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k.(难点） 2.会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.（重点） 1．你能说出函数y＝－3(x＋2)2＋4图象的开口方向、对称轴和顶点坐标及其性质吗？ 解：开口向下，对称轴是直线x＝－2，顶点坐标是(－2，4)．在对称轴右侧y随x的增大而减小，在对称轴左侧y随x的增大而增大．当x＝－2时，有最大值4. 2．函数y＝－3(x＋2)2＋4与函数y＝－3x2的图象有什么关系？ 解：函数y＝－3(x＋2)2＋4的图象是由函数y＝－3x2的图象向上平移4个单位，向左平移2个单位得到的． 情景导入 1.二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 思考：我们已经知道 y＝a(x－h)2＋k 的图象和性质，能否利用这些知识来讨论 y＝ x2－6x＋21 的图象和性质？ 问题1 怎样将 y＝ x2－6x＋21 化成 y＝a(x－h)2＋k 的形式？ 新知探究 用配方法： 想一想：配方的方法及步骤是什么？ ● 配方法的步骤： (1) 提：提出二次项系数； (2) 配：括号内配成完全平方； (3) 化：化成顶点式. ● 配方后的表达式通常称为配方式或顶点式. 你能说出 的对称轴及顶点坐标吗？ 答：对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3）. 二次函数 可以看作是由 怎样平移得到的？ 答：平移方法1： 先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的； 平移方法2： 先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的. 问题2 问题3 8 问题4 如何画二次函数 y＝ x2－6x＋21 的图象？根据图象说出其性质. 先用配方法将此函数化成 y＝a(x－h)2＋k 的形式， 由问题1可知，此函数可化为 y＝ (x－6)2＋3. 列表： x … 3 4 5 6 7 8 9 … y＝ (x－6)2＋3 … 　 　 　 　 　 … 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 描点、连线，即得函数的图象. y＝ (x－6)2＋3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 O x y 7 8 5 6 7 8 9 10 由图象可知，函数具有的性质： 当x<6时，y随x的增大而减小； 当x>6时，y随x的增大而增大. x＝2 求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标. 因此，二次函数 y=2x2-8x+7 图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标为(2,-1). 解： 练一练 我们该如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c（a≠0)化成顶点式y=a(x-h)2+k？ 2.将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k 新知探究 y=ax²+bx+c 将二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0)配方化成顶点式，并求出对称轴及顶点坐标． 对称轴为直线 x＝－ ；顶点坐标 (－ ， ). 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 一般地，二次函数y=ax2+bx+c的可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，即 因此，抛物线y=ax2+bx+c 的顶点坐标是： 对称轴是：直线 概念归纳 (1) (2) x y O x y O 如果a>0,当x< 时，y随x的增大而减小；当 x> 时，y随x的增大而增大. 如果a<0,当x< 时，y随x的增大而增大；当 x> 时，y随x的增大而减小. 概念归纳 15 例 1：用配方法把函数 y＝－3x2＋6x＋1 化成 y＝a(x－h)2＋k 的形式，并写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标． 解：y＝－3x2＋6x＋1 ＝－3(x2－2x)＋1 ＝－3(x－1)2＋4 函数开口方向向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标(1，4)． 典例剖析 例 2：用配方法将二次函数 y＝ x2＋2x－1 化成 y＝a(x－h)2＋k 的形式，并写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标． 解：y＝ x2＋2x－1＝ (x2＋6x)－1＝ (x2＋6x＋9－9)－1 ＝ (x＋3)2－3－1＝ (x＋3)2－4 函数开口方向向上，对称轴为x＝－3，顶点坐标(－3，－4). 提示：当括号前提出一个分数时，里面每一项的系数都乘以这个系数的倒数． 典例剖析 顶点坐标 对称轴 最值 y=-x2+2x y=-2x2-1 y=9x2+6x-5 (1,3) x=1 最大值1 (0,-1) y轴 最大值-1 最小值-6 ( ,-6) 直线x= 练一练 1．求二次函数 y＝2x2－8x＋7 图象的对称轴和顶点坐标. 因此，二次函数 y＝2x2－8x＋7 图象的对称轴是直线 x＝2，顶点坐标为(2，－1). 解：y＝2x2－8x＋7 ＝2(x2－4x)＋7 ＝2(x2－4x＋4)－8＋7 ＝2(x－2)2－1 练一练 一次函数 y＝kx＋b 的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空： x y O y＝k1x+b1 x y O y＝k2x+b2 y＝k3x+b3 k1 ___ 0 b1 ___ 0 ＞ ＞ ＜ ＜ ＞ ＜ 问题5 k2 ___ 0 b2 ___ 0 k3 ___ 0 b3 ___ 0 3.二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系 新知探究 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空： a1 ___ 0 b1 ___ 0 c1 ___ 0 x y O x＝－ x＝－ a2 ___ 0 b2 ___ 0 c2 ___ 0 ＞ ＞ ＞ ＞ ＜ ＝ 对称轴在y轴左侧， x＝－ ＜0 对称轴在y轴右侧， x＝－ ＞0 开口均向上，a＞0 x＝0时，y＝c 问题6 x y O x＝－ x＝－ a1 ___ 0 b1 ___ 0 c1 ___ 0 a2 ___ 0 b2 ___ 0 c2 ___ 0 ＜ ＝ ＞ ＜ ＞ ＞ 对称轴是y轴， x＝－ ＝0 对称轴在y轴右侧， x＝－ ＞0 开口均向下，a＜0 x＝0时，y＝c 字母符号 图象的特征 a＞0 开口_______ a＜0 开口_______ b＝0 对称轴为_____轴 a、b同号 对称轴在y轴的____侧 a、b异号 对称轴在y轴的____侧 c＝0 经过原点 c＞0 与y轴交于____半轴 c＜0 与y轴交于____半轴 向上 向下 y 左 右 正 负 概念归纳 1.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 (　　) A．1　　　B．2　　　　C．3　　　D．4 D 由图象上横坐标为 x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确； 由图象上x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上 x＝－1的点在第二象限得出 a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确． 【解析】由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得 c＞0，则abc＞0，故①正确； 由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确； 练一练 O y x –1 –2 3 2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论： （1）a、b同号； （2）当x=–1和x=3时，函数值相等； （3） 4a+b=0； （4）当y=–2时，x的值只能取0； 其中正确的是 . 直线x=1 （2） 练一练 25 3.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x= -1是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③a-b+c= -9a；④若（-3，y1）,（ ，y2）是抛物线上两点，则y1>y2.其中正确的是（ ） A．①②③　　 B．①③④ C．①②④　 D．②③④ x y O 2 x=-1 B 练一练 26 4.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： 直线x=3 直线x=8 直线x=1.25 直线x= 0.5 练一练 27 课本练习 1.用配方法把下列函数的表达式化成 的形式，并指出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴，然后再用描点法画出函数图象. （1）；（2）； （3）；（4）； 解：画图略. （1）， 开口向上，顶点坐标为（-2，-3），对称轴是直线x=-2. （2） 开口向下，顶点坐标为（1，3），对称轴是直线x=1. （3）， 开口向上，顶点坐标为（-3，-4），对称轴是直线x=-3. （4）， 开口向下，顶点坐标为，对称轴是直线x= . 2.将函数化成的形式是 ，其对应的抛物线的开口方向是 ，顶点坐标是（ ），对称轴是 . 当= .函数取得最 值， = . 抛物线可由抛物线 平移 个单位，再向 平移 个单位得到. 向下 3，2 直线 3 大 大值 2 3 2 右 上 3.抛物线的最低坐标是（ ），可由抛物线向 平移 个单位，向 平移 个单位得到.当 时，函数随的增大而减小；当 时，函数的增大而增大，当= 时，函数取得最 值， = . 4.函数的图象可由下列哪个函数的图象向右平移1个单位，向下平移2 个单位得到（ ）. （A） （B） （C） （D） 右 下 小值 小 B 5，已知抛物线的顶点在直线上，求抛物线的顶点坐标. 解：把配方，得. 顶点坐标为. 在直线上， 可化为. . 故顶点坐标为（2，-9）. 上 小 分层练习-基础 B 4 －2 分层练习-基础 加 减 加 减 B B 分层练习-基础 开口方向 开口方向 y D 分层练习-基础 D 分层练习-基础 C 分层练习-巩固 B 分层练习-巩固 D 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 课堂反馈 课堂反馈 2 6 课堂反馈 y＝ax2＋bx＋c（a≠0) [一般式] y＝a(x＋ )2＋ （a≠0) [顶点式] 顶点 对称轴 (－ ， ) x＝－ 配方法 公式法 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 课堂小结 －eq \f(b,2a) eq \f(4ac－b2,4a) 知识点一：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 二次函数y＝ax2＋bx＋c通过配方可求得它的图象的顶点坐标是　 　 ，对称轴是　 　.当a＞0时，开口向　 　； 当x　 　时，y随x的增大而增大；当x＝　 　时，函数y有最　　值 是　 　；当a＜0时，则相反． (－eq \f(b,2a)，eq \f(4ac－b2,4a)) 直线x＝－eq \f(b,2a) ＞－eq \f(b,2a) 1．(山西中考)用配方法将二次函数y＝x2－8x－9化为y＝a(x－h)2＋k的形式为(　　) A．y＝(x－4)2＋7　　　　 B．y＝(x－4)2－25 C．y＝(x＋4)2＋7 D．y＝(x＋4)2－25 2．抛物线y＝2x2－bx＋3的对称轴是直线x＝1，则b的值为 . 3．二次函数y＝x2＋4x－7取最小值时，自变量x的值为 . 知识点二：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的平移 先将二次函数y＝ax2＋bx＋c化成y＝a(x＋h)2＋k的形式，再按照平移规律“上　 　下　 　，左　 　右　 　”解答． 4．将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是(　　) A．y＝(x－4)2－6 B．y＝(x－4)2－2 C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x－1)2－3 5．抛物线y＝x2＋bx＋c图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y＝x2－2x－3，则b、c的值为(　　) A．b＝2，c＝2 B．b＝2，c＝0 C．b＝－2，c＝－1 D．b＝－3，c＝2 知识点三：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与系数的关系 其图象a、b、c之间的关系：a的符号由　 　决定，b的符号由对称轴与　 　共同决定，c的符号由图象与　 　轴交点的位置决定． 6．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是(　　) A．a＞0　　 B．b＜0　　 C．c＜0　　 D．a＋b＋c＞0 7．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为－1和3，则下列结论正确的是(　　) A．2a－b＝0 B．a＋b＋c＞0 C．3a－c＝0 D．当a＝eq \f(1,2)时，△ABD是等腰直角三角形 8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象如图所示，当－5≤x≤0时，下列说法正确的是(　　) A．有最小值－5，最大值0 B．有最小值－3，最大值6 C．有最小值0，最大值6 D．有最小值2，最大值6 9．(德州中考)如图，函数y＝ax2－2x＋1和y＝ax－a(a是常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是(　　) 10．二次函数y＝ax2＋bx＋c，自变量x与函数y的对应值如表： x … －5 －4 －3 －2 －1 0 … y … 4 0 －2 －2 0 4 … 下列说法正确的是(　　) A．抛物线的开口向下 B．当x＞－3时，y随x的增大而增大 C．二次函数的最小值是－2 D．抛物线的对称轴是x＝－eq \f(5,2) 11．已知二次函数y＝x2－2kx＋k2＋k－2. (1)当实数k为何值时，图象经过原点？ (2)当实数k在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？ 解：(1)∵图象经过原点，∴k2＋k－2＝0.解得k1＝－2，k2＝1；　 (2)y＝x2－2kx＋k2＋k－2＝(x－k)2＋k－2，其顶点坐标为(k，k－2)．∵顶点在第四象限内，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k＞0,k－2＜0))，解得0＜k＜2，∴k的取值范围为0＜k＜2. 12．如图，抛物线y＝ax2－5ax＋4a与x轴相交于点A、B，且过点C(5,4)． (1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标； (2)请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的表达式． 解：(1)由抛物线过点C(5,4)，得25a－25a＋4a＝4.解得a＝1.∴该二次函数的表达式为y＝x2－5x＋4.∵y＝x2－5x＋4＝(x－eq \f(5,2))2－eq \f(9,4)，∴抛物线的顶点坐标为P(eq \f(5,2)，－eq \f(9,4))；　 (2)(答案不唯一，合理即可)如：先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的二次函数表达式为y＝(x－eq \f(5,2)＋3)2－eq \f(9,4)＋4，即y＝(x＋eq \f(1,2))2＋eq \f(7,4)，也即y＝x2＋x＋2. 13．如图，抛物线y＝x2－3x＋eq \f(5,4)与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上的一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E. (1)求直线BC的表达式； (2)当线段DE的长度最大时，求点D的坐标． 解：(1)易求得A(eq \f(1,2)，0)，B(eq \f(5,2)，0)，C(0，eq \f(5,4))，从而可求得直线BC的表达式为y＝－eq \f(1,2)x＋eq \f(5,4)；　 (2)设点D的坐标为(m，m2－3m＋eq \f(5,4))，∴点E的坐标为(m，－eq \f(1,2)m＋eq \f(5,4))，设DE的长度为d.∵点D是直线BC下方抛物线上的一点，∴d＝－eq \f(1,2)m＋eq \f(5,4)－(m2－3m＋eq \f(5,4))．整理，得d＝－m2＋eq \f(5,2)m.∵d关于m的二次函数的图象开口向下，∴当m＝－eq \f(b,2a)＝－eq \f(\f(5,2),2×－1)＝eq \f(5,4)时，d最大＝－(eq \f(5,4))2＋eq \f(5,2)×eq \f(5,4)＝eq \f(25,16).此时m2－3m＋eq \f(5,4)＝(eq \f(5,4))2－3×eq \f(5,4)＋eq \f(5,4)＝－eq \f(15,16)，∴点D的坐标为(eq \f(5,4)，－eq \f(15,16))． 二次函数y＝ax2＋bx＋c的配方 1.将二次函数y＝－eq \f(1,2)x2－3x＋1配方成y＝a(x＋h)2＋k的形式为 　 　. y＝－eq \f(1,2)(x＋3)2＋eq \f(11,2) 【思路分析】　y＝－eq \f(1,2)x2－3x＋1＝－eq \f(1,2)(x2＋6x)＋1＝－eq \f(1,2)(x2＋6x＋32－9)＋1＝－eq \f(1,2)(x＋3)2＋eq \f(9,2)＋1＝－eq \f(1,2)(x＋3)2＋eq \f(11,2). 【方法归纳】　配方时二次项系数不为1时须当公因式提取，千万不要丢掉． 求抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴和顶点坐标 2.求抛物线y＝2x2－3x－5的对称轴和顶点坐标． 【思路分析】　此题可先将表达式配方成顶点式，从而求解；也可用对称轴、顶点坐标公式求解；还可以先用对称轴公式求出对称轴，再将其代入表达式，进而求出顶点坐标． 【规范解答】　∵a＝2，b＝－3，c＝－5，∴－eq \f(b,2a)＝－eq \f(－3,2×2)＝eq \f(3,4)，eq \f(4ac－b2,4a)＝eq \f(4×2×－5－－32,4×2)＝－eq \f(49,8).∴该抛物线的对称轴为直线x＝eq \f(3,4)，顶点坐标为(eq \f(3,4)，－eq \f(49,8))．　 【方法归纳】　此类题可运用配方法、公式法或代入法求解． 抛物线y＝ax2＋bx＋c的平移 3.把抛物线y＝x2＋bx＋c的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的解析式是y＝x2－2x＋3，则b＝ ，c＝ . 【思路分析】　先将y＝x2－2x＋3配方成顶点式得y＝(x－1)2＋2，将顶点(1,2)向上平移3个单位，再向左平移2个单位得点(－1,5)，(－1,5)是抛物线y＝x2＋bx＋c的顶点，∴所得抛物线的解析式是：y＝(x＋1)2＋5＝x2＋2x＋6，∴b＝2，c＝6. 【方法归纳】　此类题可先将一般式化为顶点式，再采用逆向思维求解. $$