专题03 线段与角的画法 长方体的再认识（6大核心考点）-【暑假自学课】2024年新七年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

专题03 线段与角的画法 长方体的再认识 目录 考点聚焦：核心考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 学以致用：提升专练，全面突破 核心考点聚焦 1、线段与角的概念及画法 2、比较线段、角的大小 3、解决与线段、角有关概念的计算，如线段的中点，角平分线等 4、认识长方体中的元素 5、判断长方体中元素的位置关系 6、补全长方体，并计算有关问题 Ⅰ、线段与角的画法 一、线段、射线、直线 1.直线，射线与线段的区别与联系 2.基本性质 (1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短． 【方法规律】 ①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线. ②连接两点间的线段的长度，叫做两点的距离. 3.画一条线段等于已知线段 （1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段. （2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图： 4.线段的比较与运算 （1）线段的比较： 比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法. （2）线段的和与差： 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。 （3）线段的中点： 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 【方法规律】 ①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段AB上，且有，则点M为线段AB的中点. ②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点. 二、角 1.角的度量 （1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. (2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图： 【方法规律】 ①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义； ②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示. （3）角度制及角度的换算 1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制. 【方法规律】 ①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同. ②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行. ③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一 成60. （4）角的分类： ∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角 范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°＜∠β<180° ∠β=180° ∠β=360° （5）画一个角等于已知角 （1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角. （2）借助量角器能画出给定度数的角. （3）用尺规作图法. 2.角的比较与运算 （1）角的比较方法: ①度量法；②叠合法. （2）角的平分线： 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2. 类似地，还有角的三等分线等. 3.方位角 以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角. 【方法规律】 （1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小. （2）北偏东45°通常叫做东北方向，北偏西45°通常叫做西北方向，南偏东45°通常叫做东南方向，南偏西45°通常叫做西南方向. （3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛. Ⅱ、长方体的再认识 一、长方体的元素 1、 长方体的元素 长方体有六个面，八个顶点，十二条棱． 2、 长方体的元素特征 （1）长方体的每个面都是长方形．A B C D E F G H （2）长方体的十二条棱可以分为三组，每组中的四条棱的长度相等． （3）长方体的六个面可以分为三组，每组中的两个面的形状和大小相同． 3、 正方体是特殊的长方体 二、长方体直观图的画法A B C D E F G H 1、 长方体的直观图画法：斜二侧画法 水平放置的长方体直观图通常画法的基本步骤： 第一步：画平行四边形ABCD，使AB等于长方体的长，AD等于长方体宽的二分之一，．（如图1所示） 第二步：过AB分别画AB的垂线AE、BF，过C、D分别画CD的垂线CG、DH，使它们的长度都等于长方体的高．（如图2所示） 第三步：顺次联结E、F、G、H．（如图3所示） 第四步：将被遮住的线段改用虚线（隐藏线）表示．（如图4所示）A B C D A B C D E F G H A B C D E F G H A B C D E F G H 图1 图2 图3 图4 图4表示的长方体通常表示为ABCD-EFGH．它的六个面通常表示为：平面ABCD、平 面ABFE、平面BCGF等．它的十二条棱通常分别表示为：棱AB、棱AE、棱EF等． 三、长方体中棱与棱位置关系的认识A B C D E F G H 1、 长方体中棱与棱的位置关系 如图所示的长方体ABCD-EFGH中： 棱EH与棱EF所在的直线在同一平面内，它们有唯一的公共点，我们称这两条棱相交． 棱EF与棱AB所在的直线在同一平面内，但它们没有公共点，我们称这两条棱平行． 棱EH与棱AB所在的直线既不平行，也不相交，我们称这两条棱异面． 空间两条直线有三种位置关系：相交、平行、异面． 四、长方体中棱与平面位置关系的认识 1、 长方体中棱与平面的位置关系 如图1，直线PQ垂直于平面ABCD，记作：直线PQ平面ABCD，读作：直线PQ垂直于平面ABCD．A B C D P Q A B C D P Q 图1 图2 如图2，直线PQ平行于平面ABCD，记作：直线PQ // 平面ABCD，读作：直线PQ平行于平面ABCD． 如图4所示的长方体ABCD-EFGH中： 棱EF与面BCGF，棱FG与面ABFE，棱BF与面ABCD都给我们以直线与平面垂直的形象． 棱EF与面ABCD，棱BF与面ADHE，都给我们以直线与平面平行的形象． 2、 检验直线与平面是否垂直的方法 “铅垂线”法、“三角尺法”、“合页型折纸”法． 3、 检验直线与平面是否平行的方法 “铅垂线”法、“长方形纸片”法． 五、长方体中棱与平面位置关系的认识 1、 长方体中平面与平面的位置关系 如下左图，平面垂直于平面，记作平面平面，读作平面垂直于平面． 如上右图，平面平行于平面，记作平面//平面，读作平面平行于平面．A B C D E F G H 如图所示的长方体ABCD-EFGH中： 面EFGH，面ABFE与面BCGF三个面中，任意两个都 给我们以平面与平面垂直的形象． 面ABCD与面EFGH，面BCGF与面ADHE，面ABFE与面DCGH，都给我们以平面与平面平行的形象． 2、 检验平面与平面是否垂直的方法 “铅垂线”法、 “合页型折纸”法、“三角尺”法． 3、 检验平面与平面是否平行的方法 “长方形纸片”法． 1.在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数为6°，时针一分钟转过的度数为0.5°；两个相邻数字间的夹角为30°，每个小格夹角为6°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形． 2.分类讨论：在线段的左侧或右侧；在角的内部或外部，所以两种问题都必须分类讨论． 3.判断长方体中的位置关系． 提升专练 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ）． A．连接两点的线段，叫做两点间的距离 B．将一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点 C．两条射线组成的图形叫做角 D．若，则O是AB的中点 2．如图，下列说法正确的是（    ） A．的方向是北偏东30° B．的方向是北偏西25° C．的方向是西北方向 D．的方向是南偏西75° 3．如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法比较 4．如图，M是线段AC中点，B在线段AC上，且，，则BM长度是（    ） A．2cm B．1.5cm C．1cm D．0.5cm 5．如果一个角的补角等于它余角的4倍，那么这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 6．某校要在操场上竖起一根旗杆，要求旗杆垂直于地面，检验旗杆是否垂直于地面的较好且最常用的方法是（    ） A．合页型折纸检验法 B．铅垂线检验法 C．三角尺检验法 D．长方形纸片检验法 7．如图，已知点C为线段AB的中点，D为CB上一点，下列关系表示错误的是（　　） A．CD＝AC﹣DB B．BD+AC＝2BC﹣CD C．2CD＝2AD﹣AB D．AB﹣CD＝AC﹣BD 8．与长方体中任意一条棱既不平行也不相交的棱有（    ） A．2条 B．4条 C．6条 D．8条 9．如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中的图形的个数是（    ） A． B． C． D． 10．下列说法中正确的有(    ) (1)在一个长方体中，与一条棱垂直的面有2个． (2)在一个长方体中，与一条棱平行的棱有3条． (3)在一个长方体中，与一条棱异面的棱有4条． (4)用“铅垂线”可以检验直线是否垂直于平面． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．如图，，则与的大小关系是： ．（填“＞”或“＜”或“＝”） 12．已知，那么的余角等于 ． 13．钟表8点30分的时针和分针构成的锐角的度数为 度． 14．如图，，为的中点，点在线段上，且，则的长为 ． 15．如图，是教室相邻的三面墙（或地面）， 1）与墙面ADFE垂直的墙角线是 ， 2）与墙角线AD垂直的墙面是 ， 3）与墙角线DF垂直的墙面是 ， 4）与地面ABCD垂直的墙角线是 ．    16．如图，直线与相交于点，平分，平分， ，那么 ．    17．如图，在长方体中，既与棱EF异面又与AB相交的棱是 ． 18．已知一个长方体，它的长：宽：高，先在这个长方体上切去一个尽可能大的正方体，再从剩下的立体图形上再切去一个尽可能大的长方体（只允许沿着与原长方体的某个面平行的方向切）．如果最后剩下的立体图形的体积为，那么原长方体的表面积是 ． 三、解答题 19．已知线段、，且（如图），画一条线段，使它等于．（不写画法或作法，保留画图或作图痕迹） 20．已知∠α、∠β，用尺规画出∠AOB=∠α+2∠β．（不写作法，标明字母）    21．已知点C在线段上，点D为的中点． (1)如图1，若，，求的长． (2)如图2，若点E为的中点，，求的长． 22．如图，A，O，B三点在同一条直线上，． (1)写出图中的补角是 ，的余角是 ； (2)如果平分，，求的度数． 23．（1）用斜二测画法补画：如图，使它成为长方体的直观图，并标出顶点的字母．（注：被遮住的线段用虚线表示，保留痕迹，不必写画法） （2）图中与棱平行的棱有 ___________； （3）图中与平面平行的平面有 ___________．    24．如图，已知，射线为内的一条射线，分别平分． (1)填空：的度数为　　　； (2)当射线在内绕点转动，其它条件都不变时，的大小会发生变化吗？说明理由． 25．某生产教具的厂家准备生产正方体教具，教具由塑料棒与金属球组成（一条棱用一根塑料棒，一个顶点由一个金属球镶嵌），并且根据材质优劣分为高档、中档和低档三种档次进行包装． (1)生产前，要画直观图．现在设计人员仅画出如图所示设计图，请你补全正方体模型的直观图． (2)该厂家的一个车间负责生产正方体教具，该车间共有22名工人，每个工人每天可生产塑料棒100根或者金属球80个，如果你是车间主任，你会如何分配工人成套生产正方体教具？ (3)现某中学购买两种档次的正方体教具共200套（价格如表所示），若恰好用了2800元，请问该学校应该如何购买该教具？（直接写出答案即可） 品种 高档 中档 低档 价格/元 20 15 10 26．如图，已知线段，、是线段上的两个动点（点在点的左侧，且都不与端点、重合），，为的中点． (1)如图1，当时，求的长； (2)如图2，为的中点． ①点在线段上移动过程中，线段的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请仅以图为例求出的长； ②当时，请直接写出线段的长． 27．定义：如果两个角的度数的和是，那么这两个角叫做互为半余角，其中一个角称为另一个角的半余角，例如：，，因为，所以和互为半余角． (1)如果，是的半余角，那么的度数是_______； (2)如图，已知，射线在的内部，满足，是的平分线． ①在的内部画射线，使．并写出图中的半余角：________； ②是的半余角，当是的时，求的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 线段与角的画法 长方体的再认识 目录 考点聚焦：核心考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 学以致用：提升专练，全面突破 核心考点聚焦 1、线段与角的概念及画法 2、比较线段、角的大小 3、解决与线段、角有关概念的计算，如线段的中点，角平分线等 4、认识长方体中的元素 5、判断长方体中元素的位置关系 6、补全长方体，并计算有关问题 Ⅰ、线段与角的画法 一、线段、射线、直线 1.直线，射线与线段的区别与联系 2.基本性质 (1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短． 【方法规律】 ①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线. ②连接两点间的线段的长度，叫做两点的距离. 3.画一条线段等于已知线段 （1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段. （2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图： 4.线段的比较与运算 （1）线段的比较： 比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法. （2）线段的和与差： 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。 （3）线段的中点： 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 【方法规律】 ①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段AB上，且有，则点M为线段AB的中点. ②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点. 二、角 1.角的度量 （1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. (2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图： 【方法规律】 ①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义； ②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示. （3）角度制及角度的换算 1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制. 【方法规律】 ①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同. ②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行. ③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一 成60. （4）角的分类： ∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角 范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°＜∠β<180° ∠β=180° ∠β=360° （5）画一个角等于已知角 （1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角. （2）借助量角器能画出给定度数的角. （3）用尺规作图法. 2.角的比较与运算 （1）角的比较方法: ①度量法；②叠合法. （2）角的平分线： 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2. 类似地，还有角的三等分线等. 3.方位角 以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角. 【方法规律】 （1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小. （2）北偏东45°通常叫做东北方向，北偏西45°通常叫做西北方向，南偏东45°通常叫做东南方向，南偏西45°通常叫做西南方向. （3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛. Ⅱ、长方体的再认识 一、长方体的元素 1、 长方体的元素 长方体有六个面，八个顶点，十二条棱． 2、 长方体的元素特征 （1）长方体的每个面都是长方形．A B C D E F G H （2）长方体的十二条棱可以分为三组，每组中的四条棱的长度相等． （3）长方体的六个面可以分为三组，每组中的两个面的形状和大小相同． 3、 正方体是特殊的长方体 二、长方体直观图的画法A B C D E F G H 1、 长方体的直观图画法：斜二侧画法 水平放置的长方体直观图通常画法的基本步骤： 第一步：画平行四边形ABCD，使AB等于长方体的长，AD等于长方体宽的二分之一，．（如图1所示） 第二步：过AB分别画AB的垂线AE、BF，过C、D分别画CD的垂线CG、DH，使它们的长度都等于长方体的高．（如图2所示） 第三步：顺次联结E、F、G、H．（如图3所示） 第四步：将被遮住的线段改用虚线（隐藏线）表示．（如图4所示）A B C D A B C D E F G H A B C D E F G H A B C D E F G H 图1 图2 图3 图4 图4表示的长方体通常表示为ABCD-EFGH．它的六个面通常表示为：平面ABCD、平 面ABFE、平面BCGF等．它的十二条棱通常分别表示为：棱AB、棱AE、棱EF等． 三、长方体中棱与棱位置关系的认识A B C D E F G H 1、 长方体中棱与棱的位置关系 如图所示的长方体ABCD-EFGH中： 棱EH与棱EF所在的直线在同一平面内，它们有唯一的公共点，我们称这两条棱相交． 棱EF与棱AB所在的直线在同一平面内，但它们没有公共点，我们称这两条棱平行． 棱EH与棱AB所在的直线既不平行，也不相交，我们称这两条棱异面． 空间两条直线有三种位置关系：相交、平行、异面． 四、长方体中棱与平面位置关系的认识 1、 长方体中棱与平面的位置关系 如图1，直线PQ垂直于平面ABCD，记作：直线PQ平面ABCD，读作：直线PQ垂直于平面ABCD．A B C D P Q A B C D P Q 图1 图2 如图2，直线PQ平行于平面ABCD，记作：直线PQ // 平面ABCD，读作：直线PQ平行于平面ABCD． 如图4所示的长方体ABCD-EFGH中： 棱EF与面BCGF，棱FG与面ABFE，棱BF与面ABCD都给我们以直线与平面垂直的形象． 棱EF与面ABCD，棱BF与面ADHE，都给我们以直线与平面平行的形象． 2、 检验直线与平面是否垂直的方法 “铅垂线”法、“三角尺法”、“合页型折纸”法． 3、 检验直线与平面是否平行的方法 “铅垂线”法、“长方形纸片”法． 五、长方体中棱与平面位置关系的认识 1、 长方体中平面与平面的位置关系 如下左图，平面垂直于平面，记作平面平面，读作平面垂直于平面． 如上右图，平面平行于平面，记作平面//平面，读作平面平行于平面．A B C D E F G H 如图所示的长方体ABCD-EFGH中： 面EFGH，面ABFE与面BCGF三个面中，任意两个都 给我们以平面与平面垂直的形象． 面ABCD与面EFGH，面BCGF与面ADHE，面ABFE与面DCGH，都给我们以平面与平面平行的形象． 2、 检验平面与平面是否垂直的方法 “铅垂线”法、 “合页型折纸”法、“三角尺”法． 3、 检验平面与平面是否平行的方法 “长方形纸片”法． 1.在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数为6°，时针一分钟转过的度数为0.5°；两个相邻数字间的夹角为30°，每个小格夹角为6°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形． 2.分类讨论：在线段的左侧或右侧；在角的内部或外部，所以两种问题都必须分类讨论． 3.判断长方体中的位置关系． 提升专练 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ）． A．连接两点的线段，叫做两点间的距离 B．将一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点 C．两条射线组成的图形叫做角 D．若，则O是AB的中点 【答案】B 【分析】分别根据两点间的距离，中点的定义，角的定义等逐项判断即可求解． 【解析】解：A. 连接两点的线段的长度，叫做两点间的距离，故原选项错误，不合题意； B. 将一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点，故原选项正确，符合题意； C. 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故原选项错误，不合题意； D. 若点O在线段AB上，，则O是AB的中点，故原选项错误，不合题意． 故选：B 【点睛】本题考查了两点间的距离，中点的定义，角的定义等知识，准确掌握相关知识是解题关键． 2．如图，下列说法正确的是（    ） A．的方向是北偏东30° B．的方向是北偏西25° C．的方向是西北方向 D．的方向是南偏西75° 【答案】B 【分析】由图结合方位角的定义及表示方法逐一判断即可． 【解析】A选项：的方向是东偏北30°，即北偏东，故A选项不符合题意； B选项：的方向是西偏北65°，即北偏西，故B选项符合题意； C选项：的方向是东南方向，故C选项不符合题意； D选项：的方向是南偏西15°，故D选项不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查方位角的定义及表示方法：方位角是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角，通常表达成北（南）偏东（西）的度数的形式． 3．如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法比较 【答案】A 【分析】本题考查了角的大小比较，利用平移的方法是解题的关键．将平移，让与两个角的顶点重合，即可解答． 【解析】解：将平移，让与两个角的顶点重合， 如图： 可得： 在的内部， 所以． 故选：A． 4．如图，M是线段AC中点，B在线段AC上，且，，则BM长度是（    ） A．2cm B．1.5cm C．1cm D．0.5cm 【答案】C 【解析】解：∵，∴，∴， ∵M是AC中点，∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查中点的定义，线段之间的和差关系，属于基础题． 5．如果一个角的补角等于它余角的4倍，那么这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设这个角的度数是，根据互为余角的两个角的和等于90°表示出它的余角，互为补角的两个角的和等于180°表示出它的补角，然后列方程求解即可． 【解析】解：设这个角的度数是， 由题意得，， 解得， 答：这个角的度数是. 故选：C． 【点睛】本题考查了余角和补角，熟记概念并列出方程是解题的关键． 6．某校要在操场上竖起一根旗杆，要求旗杆垂直于地面，检验旗杆是否垂直于地面的较好且最常用的方法是（    ） A．合页型折纸检验法 B．铅垂线检验法 C．三角尺检验法 D．长方形纸片检验法 【答案】B 【分析】根据题意判断即可； 【解析】根据题意，要检验旗杆是否垂直于地面的较好且最常用的方法是铅垂线检验法； 故答案选B． 【点睛】本题主要考查了长方体再认识的知识点，准确分析是解题的关键． 7．如图，已知点C为线段AB的中点，D为CB上一点，下列关系表示错误的是（　　） A．CD＝AC﹣DB B．BD+AC＝2BC﹣CD C．2CD＝2AD﹣AB D．AB﹣CD＝AC﹣BD 【答案】D 【分析】根据图形可以明确线段之间的关系，对线段CD、BD、AD进行和、差转化，即可发现错误选项． 【解析】解：∵C是线段AB的中点， ∴AC＝BC，AB＝2BC＝2AC， ∴CD＝BC﹣BD＝AB﹣BD＝AC﹣BD； ∵BD+AC＝AB﹣CD＝2BC﹣CD； ∵CD＝AD﹣AC， ∴2CD＝2AD﹣2AC＝2AD﹣AB； ∴选项A、B、C均正确． 而答案D中，AB﹣CD＝AC+BD； ∴答案D错误符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查线段的和差，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 8．与长方体中任意一条棱既不平行也不相交的棱有（    ） A．2条 B．4条 C．6条 D．8条 【答案】B 【分析】根据题意，画出图形即可得出结论． 【解析】解：看图以AB为例，与它既不平行也不相交的棱有HD、GC、HE和GF，共有4条， 故选B． 【点睛】此题考查的是长方体的特征，根据题意画出图形是解决此题的关键． 9．如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中的图形的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角板可得第一个图形∠β=45°，进而可得∠α=45°；根据余角和补角的性质可得第二个图形、第四个图形中∠α=∠β，第三个图形∠α和∠β互补． 【解析】根据角的和差关系可得第一个图形∠α=∠β=45°， 根据等角的补角相等可得第二个图形∠α=∠β， 第三个图形∠α+∠β=180°，不相等， 根据同角的余角相等可得第四个图形∠α=∠β， 因此∠α=∠β的图形个数共有3个， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了余角和补角，关键是掌握余角和补角的性质：等角的补角相等．等角的余角相等． 10．下列说法中正确的有(    ) (1)在一个长方体中，与一条棱垂直的面有2个． (2)在一个长方体中，与一条棱平行的棱有3条． (3)在一个长方体中，与一条棱异面的棱有4条． (4)用“铅垂线”可以检验直线是否垂直于平面． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据长方体的特征逐一进行判断即可． 【解析】解：(1)在一个长方体中，与一条棱垂直的面有2个，本选项说法正确， (2)在一个长方体中，与一条棱平行的棱有3条，本选项说法正确， (3)在一个长方体中，与一条棱异面的棱有4条，所以本选项说法正确， (4)用“铅垂线”可以检验直线是否垂直于水平面，本选项说法错误， 综上所述：正确的说法有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查立体图形的认识．关键是掌握长方体的特征． 二、填空题 11．如图，，则与的大小关系是： ．（填“＞”或“＜”或“＝”） 【答案】 【分析】本题考查了线段之间的大小关系，根据可得即可求解． 【解析】解：∵， ∴， ∴． 故答案为： 12．已知，那么的余角等于 ． 【答案】 【分析】利用余角的含义列式计算即可． 【解析】解：∵， ∴的余角等于， 故答案为： 【点睛】本题考查的是角度的四则运算，余角的含义，熟记概念，运算法则是解本题的关键． 13．钟表8点30分的时针和分针构成的锐角的度数为 度． 【答案】75 【分析】本题主要考查钟面角，熟练掌握时针一分钟走，分针一分钟走是解题的关键；因此此题可根据时针与分针所走的度数进行求解即可． 【解析】解：由题意可知： 钟表8点30分的时针和分针构成的锐角的度数为； 故答案为75． 14．如图，，为的中点，点在线段上，且，则的长为 ． 【答案】/15厘米 【分析】本题考查了线段和差计算，线段中点的性质；根据线段中点的定义可得，再求出，然后根据代入数据计算即可得解． 【解析】解：，为的中点， ， ：：， ， 故答案为：． 15．如图，是教室相邻的三面墙（或地面）， 1）与墙面ADFE垂直的墙角线是 ， 2）与墙角线AD垂直的墙面是 ， 3）与墙角线DF垂直的墙面是 ， 4）与地面ABCD垂直的墙角线是 ．    【答案】 棱CD 面DCGF 面ABCD 棱DF 【分析】根据题意，利用长方体中棱与平面的位置关系来判断题目中棱与面的垂直关系． 【解析】（1）与墙面ADFE垂直的墙角线是棱CD； （2）与墙角线AD垂直的墙面是面DCGF； （3）与墙角线DF垂直的墙面是面ABCD； （4）与地面ABCD垂直的墙角线是棱DF． 故答案是：棱CD；面DCGF；面ABCD；棱DF． 【点睛】本题考查长方体中棱与面的垂直关系，需要注意题目中的墙面和墙角线的含义，不要写错棱和面． 16．如图，直线与相交于点，平分，平分， ，那么 ．    【答案】 【分析】根据补角的定义及角平分线的定义，再根据余角的定义及角平分线的定义得到． 【解析】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了补角的定义，余角的定义，角平分线的定义，理解角平分线的定义是解题的关键． 17．如图，在长方体中，既与棱EF异面又与AB相交的棱是 ． 【答案】棱AD和棱BC 【分析】根据长方体的棱与棱的位置关系可直接解答． 【解析】解：既与棱EF异面又与AB相交的棱是棱AD和棱BC， 故答案为：棱AD和棱BC． 【点睛】本题主要考查长方体中棱与棱的位置关系，正确理解概念是解题的关键． 18．已知一个长方体，它的长：宽：高，先在这个长方体上切去一个尽可能大的正方体，再从剩下的立体图形上再切去一个尽可能大的长方体（只允许沿着与原长方体的某个面平行的方向切）．如果最后剩下的立体图形的体积为，那么原长方体的表面积是 ． 【答案】376 【分析】根据比例可以设出长、宽、高的值，从而表示出第一次切下的正方体的边长，再确定第二次切下图形的长、宽、高，列出关系式，求出结果即可． 【解析】设原长方体长为5xcm，宽为4xcm，高为3xcm． 先在这个长方体上切去一个尽可能大的正方体，则正方体棱长为3xcm． 再从剩下的立方体上再切去一个尽可能大的长方体，则长方体长为4xcm，宽为2xcm，高为3xcm． ∴剩下长方体长为3xcm，宽为xcm，高为3xcm． 依题意得：，，，∴． ∴原长方体的长为10cm，宽为8cm，高为6cm． ∴原长方体的表面积为： ． 故答案为：376． 【点睛】本题考查了长方体和正方体的体积和表面积问题，注意数形结合思想的应用是解题的关键． 三、解答题 19．已知线段、，且（如图），画一条线段，使它等于．（不写画法或作法，保留画图或作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】作射线，在射线上截取，在线段上截取，则线段，即可． 【解析】解：如图，作射线，在射线上截取，在线段上截取，则线段， 线段即为所求． 【点睛】本题考查了作线段，线段的和差，数形结合是解题的关键． 20．已知∠α、∠β，用尺规画出∠AOB=∠α+2∠β．（不写作法，标明字母）    【答案】见解析 【分析】根据用尺规作图作角等于已知角作图即可． 【解析】解：分别以∠α、∠β的顶点为圆心，任意长度为半径作弧，分别交∠α、∠β的边于P、Q、M、N； 作射线OB，以O为圆心，以相同长度为半径作一个优弧，交射线OB于点C，以C为圆心，PQ的长度为半径作弧，交优弧于点D，作射线OD，再以D为圆心，MN的长为半径作弧，交优弧（∠DOB外部）于点E，作射线OE，然后以E为圆心，MN的长为半径作弧，交优弧（∠EOB外部）于点A，作射线OA，如图所示：∠AOB=∠α+2∠β，∠AOB即为所求．    【点睛】此题考查的是用尺规作图作角等于已知角，掌握用尺规作图作角等于已知角是解决此题的关键． 21．已知点C在线段上，点D为的中点． (1)如图1，若，，求的长． (2)如图2，若点E为的中点，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的有关计算以及图形中线段的和差关系，根据图形找准线段间的关系是解答本题的关键． （1）根据线段中点定义以及图形中，计算即可； （2）根据线段中点的定义以及图形中进行计算即可． 【解析】（1），， D为中点， （2）点D为中点， 点E为中点， ， 22．如图，A，O，B三点在同一条直线上，． (1)写出图中的补角是 ，的余角是 ； (2)如果平分，，求的度数． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，平角的定义，熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键． （1）根据“和为的两个角互为补角”、“和为的两个角互为余角”进行解答； （2）先根据，求出，再利用平角的定义和角平分线的定义即可求出． 【解析】（1）解：∵A，O，B三点在同一条直线上，， ∴，， ∴的补角是，的余角是， 故答案为：；． （2）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵A，O，B三点在同一条直线上， ∴． 故答案为：． 23．（1）用斜二测画法补画：如图，使它成为长方体的直观图，并标出顶点的字母．（注：被遮住的线段用虚线表示，保留痕迹，不必写画法） （2）图中与棱平行的棱有 ___________； （3）图中与平面平行的平面有 ___________．    【答案】（1）见解析；（2）棱，棱，棱；（3）平面 【分析】本题考查作图复杂作图，认识立体图形，平行线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据长方体的定义画出图形即可； （2）根据平行线的判定解决问题； （3）根据平面平行判定即可． 【解析】解：（1）如图，长方体即为所求；    （2）图中与棱平行的棱有棱，棱，棱； （3）图中与平面平行的平面有平面． 24．如图，已知，射线为内的一条射线，分别平分． (1)填空：的度数为　　　； (2)当射线在内绕点转动，其它条件都不变时，的大小会发生变化吗？说明理由． 【答案】(1) (2)的大小不会发生变化等于，理由见解析 【分析】（1）由分别平分得，从而得到，代入数值即可得到答案； （2）由分别平分得，结合，即可求得，得到答案． 【解析】（1）分别平分和， ， ， 故答案为：； （2）解：分别平分和， ， ， 的度数不变， 的大小不会发生变化等于． 【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义等，解题的关键是熟练运用半角的和差关系． 25．某生产教具的厂家准备生产正方体教具，教具由塑料棒与金属球组成（一条棱用一根塑料棒，一个顶点由一个金属球镶嵌），并且根据材质优劣分为高档、中档和低档三种档次进行包装． (1)生产前，要画直观图．现在设计人员仅画出如图所示设计图，请你补全正方体模型的直观图． (2)该厂家的一个车间负责生产正方体教具，该车间共有22名工人，每个工人每天可生产塑料棒100根或者金属球80个，如果你是车间主任，你会如何分配工人成套生产正方体教具？ (3)现某中学购买两种档次的正方体教具共200套（价格如表所示），若恰好用了2800元，请问该学校应该如何购买该教具？（直接写出答案即可） 品种 高档 中档 低档 价格/元 20 15 10 【答案】(1)见解析 (2)安排12人生产塑料棒，10人生产金属球 (3)学校可以购买高档教具80套，低档教具120套或中档教具160套，低档教具40套． 【分析】（1）根据正方体的画法补全图形； （2）设安排x人生产塑料棒，（22-x）人生产金属球，然后根据12根金属棒和8个金属球可配成一套列方程求解； （3）设购买高档教具a套，中档教具b套，低档教具c套，分购买高档和中档，高档和低档，中档和低档三种情况，根据购买200套，恰好用了2800元，分别列出二元一次方程组求解． 【解析】（1） 如图即为所求： （2）设安排x人生产塑料棒，（22﹣x）人生产金属球，由题意可得： ， 解得：x＝12， 22﹣x＝22﹣12＝10（人）， ∴安排12人生产塑料棒，10人生产金属球； （3）设购买高档教具a套，中档教具b套，低档教具c套， ①若购买高档和中档教具，由题意可得： ， 解得：（不合题意，舍去）； ②若购买高档和低档教具，由题意可得： ， 解得：； ③若购买中档和低档教具，由题意可得： ， 解得：， 综上，学校可以购买高档教具80套，低档教具120套或中档教具160套，低档教具40套． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，理解题目中的数量关系，利用分类讨论思想解题是关键． 26．如图，已知线段，、是线段上的两个动点（点在点的左侧，且都不与端点、重合），，为的中点． (1)如图1，当时，求的长； (2)如图2，为的中点． ①点在线段上移动过程中，线段的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请仅以图为例求出的长； ②当时，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)①不会发生变化，的长是；②或 【分析】本题考查两点间的距离， （1）先求出，再根据线段中点的定义得到，最后根据可得答案； （2）①根据可得结论；②分两种情况讨论即可； 熟练掌握线段中点的定义与线段的和差是解题关键． 【解析】（1）解：∵，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴的长为； （2）①∵是的中点，是的中点，，， ∴，， ∴ ， ∴线段的长度不会发生变化，； ②当点在点的左侧时， ∵，， ∴， 由①知：， ∴； 当点在点的右侧时， ∵，CD=2， ∴， 由①知：， ∴， 综上所述，当时，线段的长为或． 27．定义：如果两个角的度数的和是，那么这两个角叫做互为半余角，其中一个角称为另一个角的半余角，例如：，，因为，所以和互为半余角． (1)如果，是的半余角，那么的度数是_______； (2)如图，已知，射线在的内部，满足，是的平分线． ①在的内部画射线，使．并写出图中的半余角：________； ②是的半余角，当是的时，求的度数． 【答案】(1) (2)①画图见解析；，. ②度数为或 【分析】（1）根据半余角的定义进行计算即可得； （2）①在的内部画射线，使，则，，根据是的平分线得，即可得；②设，则，，根据是的半余角得，当是的时，，若射线在内，则，即，计算得；若射线在外，则，则，计算得；即可得． 【解析】（1）解：∵，是的半余角， ∴， 故答案为：； （2）解：①在的内部画射线，使，如图所示： 则， ， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴的半余角有：，； ②设，则， ∴， ∵是的半余角， ∴， 当是的时，， 如图所示，若射线在内， 则， ∴， ， ； 如图所示，若射线在外， 则， ∴， ， ； 综上，的度数为或． 【点睛】本题考查了半余角，角平分线的定义，解题的关键是掌握这些知识点，分类讨论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$