第20讲 相似三角形的性质【六大考点+过关测】- 【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（北师大版）

第20讲 相似三角形的性质 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．明确相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系； 2．理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方； 3．掌握相似三角形的周长比、面积比在实际中的应用。 一、相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 3. 相似三角形周长的比等于相似比. ∽，则 由比例性质可得： 4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方. ∽，则分别作出与的高和，则 要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 考点一：利用相似三角形对应角相等求角 例1．（2023九年级上·广东茂名·竞赛）若，，，则 ． 【变式1-1】（23-24九年级上·贵州毕节·期末）两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角是、，那么另一个三角形的最大内角是 度． 【变式1-2】（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）已知，相似比为，若△ABC中的最大角是，则中的最大角为 °． 【变式1-3】（2024·重庆大渡口·一模）如图，，若，，则的大小为 ． 考点二：利用相似三角形对应边成比例求边 例2.（2023·甘肃天水·模拟预测）已知，，若，则 ． 【变式2-1】（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，，且，，则 ． 【变式2-2】（23-24九年级上·江苏连云港·期末）已知的三条边分别为、、，若的最短边为3，则最长边为 ． 【变式2-3】（23-24九年级上·四川达州·期中）已知中，，点D是线段的中点，点E在线段上且，则 . 考点三：利用相似三角形对应中线、高线、角平分线成比例 例3. （2024九年级·全国·竞赛）如果两个相似三角形的相似比为，那么这两个三角形对应中线的比为 ． 【变式3-1】（23-24九年级下·全国·课后作业）已知，和是它们的对应高线．若，，则与的相似比是 ． 【变式3-2】（23-24九年级上·山东菏泽·期中）已知两个相似三角形对应角平分线的比为，那么这两个三角形对应高的比是 ． 【变式3-3】（23-24九年级上·吉林长春·期末）如图，已知点分别是边上的点，且，相似比为交于点，则 ． 考点四：利用相似三角形对应周长的比成比例 例4. （2024·江苏盐城·中考真题）两个相似多边形的相似比为，则它们的周长的比为 ． 【变式4-1】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，且与的相似比为，则与周长的比为 ． 【变式4-2】（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）已知两个相似三角形的相似比是，如果较小的三角形的周长为9，那么较大的三角形的周长为 ． 【变式4-3】（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）两个相似三角形对应高的比为，那么这两个三角形的周长比为 ． 考点五：利用相似三角形对应面积的比成比例 例5. （2024九年级下·江苏·专题练习）若两个相似三角形的相似比为，则面积比为 ；若两个相似多边形的面积比为，则相似比为 ． 【变式5-1】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，与的面积比为，则与的周长比为 ． 【变式5-2】（23-24九年级上·黑龙江绥化·期中）已知两个相似三角形的相似比为，其中一个三角形的面积为20，那么另一个三角形的面积为 ． 【变式5-3】（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）若，且与的面积比是，则与对应角平分线之比为 ． 考点六：相似三角形的性质与判定综合问题 例6. （2024·福建福州·模拟预测）已知，它们的面积比为，是的角平分线，是的角平分线． (1)求证：； (2)求的值． 【变式6-1】（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，为边上一点，为边上一点，且．    (1)求的值． (2)求与四边形的面积比． 【变式6-2】（23-24九年级下·北京·阶段练习）如图，将等边三角形折叠，使点A落在边上的点D处（不与B、C重合），折痕为． (1)求证：； (2)若，，直接写出，的周长； (3)在（2）的条件下，求的长． 【变式6-3】（23-24九年级下·江苏连云港·期中）【实践探究】 （1）如图1，矩形中，交于点E，则的值是______； 【变式探究】 （2）如图2，中，为边上一点，连接，交于点E，若，求的长； 【灵活应用】 （3）如图3，在矩形中，，点E，F分别在上，以为折痕，将四边形翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作交于点N，若，设的面积为的面积为的面积为，若，则的值为_______．    一、单选题 1．（23-24九年级下·北京丰台·阶段练习）如图，在中，，，，则的长为（    ） A． B．8 C．10 D．16 2．（2024·重庆·一模）如果两个相似三角形的相似比为，那么这两个三角形对应边上的高之比为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·云南玉溪·三模）如果，与的面积分別是25和16，其中的最短边的长度是5，那么的最短边的长度是（    ） A．16 B．25 C．5 D．4 4．（2024·内蒙古赤峰·一模）如图，已知中，为边上一点，为边上一点，，， ，当的长度为 时， 和相似(   ) A．9 B．6 C．4或9 D．6或9 5．（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，，和分别是和的高，若，，则和的面积的比为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24九年级上·广东清远·期中）若，且面积之比为，则相似比为 ． 7．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）如图，点、分别在的边、上，连接，，若，，那么的度数为 ．    8．（2024·安徽合肥·二模）如图，在中，，平分，，垂足为点E，若，，则（1）是 ；（2）的周长是 ． 9．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知在中，，如果与相似，且两条边的长分别为4和，那么第三条边的长为 ． 10．（23-24九年级上·四川达州·期末）已知三角形纸片（）中，，，将三角形纸片按照如图所示的方式折叠，使点B落在直线上，记为点，折痕为．若以点，F，C为顶点的三角形与相似，则的长是 ．    三、解答题 11．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，的平分线交于点D，，交于点E， (1)求证：； (2)若，求线段长． 12．（23-24九年级上·广东江门·期末）如图，在和中，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 13．（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在中，点，分别在边，上，且． (1)求证：； (2)若，且的周长为12，求的周长． 14．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知：如图，在中，于点是上一点，连结，已知． (1)求证：． (2)若的面积为15，求的面积． 15．（22-23九年级上·陕西西安·期中）探究题： (1)问题提出：数学课本上有这样一道题目：如图①，一块材料的形状是锐角，边，高．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，这个正方形零件的边长是多少？ (2)初步探究：李华同学通过探究发现，如果要把按照图②加工成三个相同大小的正方形零件，的边与高需要满足一定的数量关系，则这一数量关系是：　　（直接写出结论，不用说明理由） (3)深入探究：若可以按照图③加工成四个大小相同的正方形，且，试探究的边与边之间满足的数量关系，并说明理由． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第20讲 相似三角形的性质 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．明确相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系； 2．理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方； 3．掌握相似三角形的周长比、面积比在实际中的应用。 一、相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 3. 相似三角形周长的比等于相似比. ∽，则 由比例性质可得： 4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方. ∽，则分别作出与的高和，则 要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 考点一：利用相似三角形对应角相等求角 例1．（2023九年级上·广东茂名·竞赛）若，，，则 ． 【答案】/30度 【分析】此题主要考查了相似三角形的性质、三角形内角和定理等知识，根据三角形内角和定理求出的度数，再根据相似三角形的性质求出答案即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 【变式1-1】（23-24九年级上·贵州毕节·期末）两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角是、，那么另一个三角形的最大内角是 度． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质，解答此题的关键是熟记相似三角形的对应角相等．利用三角形的内角和求出另外一个内角，再根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：一个三角形的两个内角是、， 另一个内角为：， 两个三角形相似， 另一个三角形的最大角是， 故答案为：． 【变式1-2】（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）已知，相似比为，若△ABC中的最大角是，则中的最大角为 °． 【答案】110 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的对应角相等确定答案即可． 【详解】解：∵，相似比为，中的最大角是， ∴中的最大角为， 故答案为：110． 【变式1-3】（2024·重庆大渡口·一模）如图，，若，，则的大小为 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查了三角形内角和定理，相似三角形的性质，由三角形内角和定理得到，由相似三角形的性质即可得到，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 考点二：利用相似三角形对应边成比例求边 例2.（2023·甘肃天水·模拟预测）已知，，若，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查相似三角形的性质，直接根据相似三角形的对应边成比例即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ， ∴， ． 故答案为：． 【变式2-1】（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，，且，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，证明，得，从而即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴ 解得， 故答案为：． 【变式2-2】（23-24九年级上·江苏连云港·期末）已知的三条边分别为、、，若的最短边为3，则最长边为 ． 【答案】5 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：设最长边为x， 的三条边分别为、、，最短边为3， ， 解得， 即最长边为5， 故答案为：5． 【变式2-3】（23-24九年级上·四川达州·期中）已知中，，点D是线段的中点，点E在线段上且，则 . 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形对应边的比相等．根据相似三角形对应边的比相等列式即可求解． 【详解】解：∵点D是线段的中点， ∴ ∵ ∴， 即， 解得． 故答案为． 考点三：利用相似三角形对应中线、高线、角平分线成比例 例3. （2024九年级·全国·竞赛）如果两个相似三角形的相似比为，那么这两个三角形对应中线的比为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边的比，对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方．据此求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为， ∴这两个三角形对应中线的比为． 故答案为：． 【变式3-1】（23-24九年级下·全国·课后作业）已知，和是它们的对应高线．若，，则与的相似比是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查相似三角形的性质，直接根据相似三角形对应高的比等于相似比即可解答，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 【详解】∵，， ∴, ∵，和是它们的对应高线， ∴与的相似比是， 故答案为：． 【变式3-2】（23-24九年级上·山东菏泽·期中）已知两个相似三角形对应角平分线的比为，那么这两个三角形对应高的比是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，两个相似三角形对应角平分线的比等于相似比，两个相似三角形对应高的比也等于相似比，据此即可求解． 【详解】解：∵两个相似三角形对应角平分线的比为， ∴ 相似比为 故这两个三角形对应高的比是， 故答案为： 【变式3-3】（23-24九年级上·吉林长春·期末）如图，已知点分别是边上的点，且，相似比为交于点，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要查了相似三角形的性质．根据，可得，从而得到，进而得到，再由相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵相似比为， ∴， 故答案为： 考点四：利用相似三角形对应周长的比成比例 例4. （2024·江苏盐城·中考真题）两个相似多边形的相似比为，则它们的周长的比为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形周长之比等于相似比即可求解，掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵两个相似多边形的相似比为， ∴它们的周长的比为， 故答案为：． 【变式4-1】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，且与的相似比为，则与周长的比为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，掌握“相似三角形的周长之比等于相似比”是解本题的关键． 【详解】解：∵，相似比为， ∴与△的周长比等于相似比． 故答案为：． 【变式4-2】（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）已知两个相似三角形的相似比是，如果较小的三角形的周长为9，那么较大的三角形的周长为 ． 【答案】15 【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比即可求解． 【详解】解：设较大的三角形的周长为x， 由题意得：，解得， ∴较大的三角形的周长为15； 故答案为：15． 【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解，（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比． 【变式4-3】（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）两个相似三角形对应高的比为，那么这两个三角形的周长比为 ． 【答案】/ 【分析】根据相似三角形周长的比、两个相似三角形对应边上的高的比等于相似比解答即可． 【详解】解：两个相似三角形对应边上的高的比为， 这两个三角形的相似比为， 两个相似三角形的周长比为； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键． 考点五：利用相似三角形对应面积的比成比例 例5. （2024九年级下·江苏·专题练习）若两个相似三角形的相似比为，则面积比为 ；若两个相似多边形的面积比为，则相似比为 ． 【答案】 / / 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，相似多边形的性质，直接利用相似多边形的面积比等于相似比的平方可得答案. 【详解】解：若两个相似三角形的相似比为，则面积比为； 若两个相似多边形的面积比为，则相似比为． 故答案为：；． 【变式5-1】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，与的面积比为，则与的周长比为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质即可求解，解题的关键是熟记相似三角形对应边之比等于相似比，相似三角形面积之比等于相似比的平方． 【详解】∵，与的面积比为， ∴与的周长比为， 故答案为：． 【变式5-2】（23-24九年级上·黑龙江绥化·期中）已知两个相似三角形的相似比为，其中一个三角形的面积为20，那么另一个三角形的面积为 ． 【答案】45或 【分析】此题考查了相似三角形的性质，解题的关键是：由两个相似三角形的相似比为，可得它们的面积面积比为：，然后分别从若小三角形的面积为20与若大三角形的面积为20去分析求解即可求得答案． 【详解】解：两个相似三角形的相似比为， 它们的面积面积比为：， 其中一个三角形的面积为20， 若小三角形的面积为20，则另一个三角形的面积为45； 若大三角形的面积为20，则另一个三角形的面积为． 另一个三角形的面积为45或． 故答案为：45或． 【变式5-3】（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）若，且与的面积比是，则与对应角平分线之比为 ． 【答案】/ 【分析】根据相似三角形的性质可得，求得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴与对应角平分线之比为， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 考点六：相似三角形的性质与判定综合问题 例6. （2024·福建福州·模拟预测）已知，它们的面积比为，是的角平分线，是的角平分线． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关概念是解题关键． （1）根据，得到，再根据是的角平分线，是的角平分线，得到，即可证明； （2）根据相似三角形性质先求出相似比，然后进一步即可得出对应角平分线之比； 【详解】（1）证明：如图，是的角平分线，是的角平分线， 则是的角平分线，是的角平分线， ， ， ， ， ； （2）解：，且， ， ， ． 【变式6-1】（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，为边上一点，为边上一点，且．    (1)求的值． (2)求与四边形的面积比． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及相似三角形的判定与性质，先由题意，根据相似三角形的判定得到，再利用相似三角形的性质即可得到答案，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）由题中条件，利用两个三角形相似的判定与性质即可得到答案； （2）由相似三角形的性质得到，从而即可得到答案． 【详解】（1）解：且， ， ； （2）解：由（1）中可得， ． 【变式6-2】（23-24九年级下·北京·阶段练习）如图，将等边三角形折叠，使点A落在边上的点D处（不与B、C重合），折痕为． (1)求证：； (2)若，，直接写出，的周长； (3)在（2）的条件下，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)14，10 (3) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）由等边三角形的性质、折叠的性质以及三角形外角的性质可得、即可证明结论； （2）有已知条件可得，由等边三角形的性质可得，再由折叠的性质可得，，最后根据三角形周长的定义即可解答； （3）根据相似三角形的性质列式求解即可． 【详解】（1）证明：∵等边三角形 ∴ ∵三角形折叠，使点A落在边上的点D处 ∴ ∵， ∴ ∵ ∴． （2）∵， ∴ ∵等边三角形 ∴ ∵三角形折叠，使点A落在边上的点D处 ∴， ∴的周长为： 的周长为：． （3）∵． 又∵的周长为：14，的周长为：10 ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式6-3】（23-24九年级下·江苏连云港·期中）【实践探究】 （1）如图1，矩形中，交于点E，则的值是______； 【变式探究】 （2）如图2，中，为边上一点，连接，交于点E，若，求的长； 【灵活应用】 （3）如图3，在矩形中，，点E，F分别在上，以为折痕，将四边形翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作交于点N，若，设的面积为的面积为的面积为，若，则的值为_______．    【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由同角的余角相等可得，再由矩形性质和垂直定义可得，可证得，即可求得答经； （2）过点作于点，先证得，可求得，再证得，即可求得答案； （3）设与交于点，过点作交于点，由，可求得，再证得，可得，则，再证得，可得，再运用三角形面积公式可求得：，代入，解方程求得，由，可得，再利用平行四边形性质可得，即可求得答案． 【详解】解：（1）如图1，    ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答答为：； （2）如图2，过点作于点，    则， 在中，， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （3）如图3，设与交于点，过点作交于点， 由对称性可知，   ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 设， 则， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是平行四边形， ， ， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了折叠的性质，矩形的判定与性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题． 一、单选题 1．（23-24九年级下·北京丰台·阶段练习）如图，在中，，，，则的长为（    ） A． B．8 C．10 D．16 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决本题的关键． 首先由，得相似三角形，即可求得，根据的长进而求得的长；由四边形是平行四边形，根据平行四边形对边相等，即可求得的长． 【详解】解：，， ∴， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 故选C． 2．（2024·重庆·一模）如果两个相似三角形的相似比为，那么这两个三角形对应边上的高之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方、对应高（中线、角平分线）的比等于相似比是解题的关键.由相似三角形的面积比等于相似比的平方先求得相似比，再根据相似三角形对应高的比等于相似比即可得答案. 【详解】解：∵两个相似三角形的面积之比为， ∴相似比是， 又∵相似三角形对应高的比等于相似比， ∴对应边上高的比为， 故选：B． 3．（2024·云南玉溪·三模）如果，与的面积分別是25和16，其中的最短边的长度是5，那么的最短边的长度是（    ） A．16 B．25 C．5 D．4 【答案】D 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行计算即可解答．本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】解：，与的面积分別是25和16 与的相似比为：， 的最短边的长度是5， 的最短边的长度是4， 故选：D． 4．（2024·内蒙古赤峰·一模）如图，已知中，为边上一点，为边上一点，，， ，当的长度为 时， 和相似(   ) A．9 B．6 C．4或9 D．6或9 【答案】C 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，分别根据当时，当时，求出的长即可． 【详解】解：当时， ， ， 解得：， 当时， ， ， 解得：， 当的长度为或时，和相似． 故选C． 5．（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，，和分别是和的高，若，，则和的面积的比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质．熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解作答即可． 【详解】解：∵，和分别是和的高， ∴， ∴和的面积的比为， 故选：A． 二、填空题 6．（23-24九年级上·广东清远·期中）若，且面积之比为，则相似比为 ． 【答案】/ 【分析】考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：，且面积之比为，则相似比为， 故答案为：． 7．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）如图，点、分别在的边、上，连接，，若，，那么的度数为 ．    【答案】/75度 【分析】此题考查了三角形内角和定理和相似三角形的性质，首先根据三角形内角和定理得到，然后利用相似三角形的性质得到． 解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理（三角形内角和为）和相似三角形的性质（相似三角形对应边成比例，对应角相等）． 【详解】∵，， ∴ ∵ ∴ 故答案为：． 8．（2024·安徽合肥·二模）如图，在中，，平分，，垂足为点E，若，，则（1）是 ；（2）的周长是 ． 【答案】 【分析】根据等面积法得出即可求解；延长交于点，过点作，即可得出，进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点，过点作， ∵平分，则到的距离相等， 设到的距离为，到的距离为， ∴， ∴； 故答案为：． ∵平分， ∴，， 又∵ ∴ ∴， ∵ 设 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 由（1）可得 设，则，，则 ∵，， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， 又 ∴ ∴ ∴ 解得： ∴的周长是 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 9．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知在中，，如果与相似，且两条边的长分别为4和，那么第三条边的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质解题即可． 【详解】解：在中，， ∴， ∵与相似， ∴，即， ∴． 故答案为：． 10．（23-24九年级上·四川达州·期末）已知三角形纸片（）中，，，将三角形纸片按照如图所示的方式折叠，使点B落在直线上，记为点，折痕为．若以点，F，C为顶点的三角形与相似，则的长是 ．    【答案】4或 【分析】本题考查了相似三角形的性质、折叠的性质，设，根据折叠的性质得，分类讨论：当时和当时，利用相似三角形的性质即可求解，熟练掌握相关的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：设， 是由沿折叠得到， ， 当时， ，， ， ，即， 解得：， 当时， ，， ， ，即， 解得：， 综上所述，的长为4或， 故答案为：4或． 三、解答题 11．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，的平分线交于点D，，交于点E， (1)求证：； (2)若，求线段长． 【答案】(1)见解析 (2)线段长为5 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据角平分线的定义、角的和差可得，再结合即可证明结论； （2）由线段的和差可得，再根据相似三角形的性质得出比例式，代入数据即可解答． 【详解】（1）证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， 又∵， ∴． （2）解：∵ ， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴线段长为5． 12．（23-24九年级上·广东江门·期末）如图，在和中，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据，可证； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴． （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴． 13．（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在中，点，分别在边，上，且． (1)求证：； (2)若，且的周长为12，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)32 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握有两个角相等的两个三角形相似，相似三角形周长比等于相似比，是解题的关键． （1）根据平行线的性质得出，即可求证； （2）根据，得出，再根据相似三角形的性质得出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵的周长为12， ∴的周长为32． 14．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知：如图，在中，于点是上一点，连结，已知． (1)求证：． (2)若的面积为15，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、垂线、余角以及平行线的判定， （1）由于点，可得出，结合，利用等角的余角相等，可得出，则可得出； （2）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求出的面积． 【详解】（1）， ． ， ． ， ． （2）由（1） ∴ ∴ ∴， 的面积为15， ． 15．（22-23九年级上·陕西西安·期中）探究题： (1)问题提出：数学课本上有这样一道题目：如图①，一块材料的形状是锐角，边，高．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，这个正方形零件的边长是多少？ (2)初步探究：李华同学通过探究发现，如果要把按照图②加工成三个相同大小的正方形零件，的边与高需要满足一定的数量关系，则这一数量关系是：　　（直接写出结论，不用说明理由） (3)深入探究：若可以按照图③加工成四个大小相同的正方形，且，试探究的边与边之间满足的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)正方形零件的边长为 (2) (3)．理由见解析 【分析】（1）设正方形零件的边长为，则，，根据，得到，根据三角形的性质得到比例式，解方程即可； （2），如图2已知条件得：，通过，得到，根据得到比例式，证得，即可得到，再由，得到，即可得到结论； （3）如图3，过点A作于，分别交、于点、，设每个正方形的边长为，根据，推出，即有，列方程即可得出结论 【详解】（1）解：如图，设与交于点， 设正方形零件的边长为，则，， ， ， ， ， ， 解得． 答：正方形零件的边长为； （2）解：，理由如下： 如图2，由已知条件得：， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：； （3）解：．理由如下： 如图3，过点A作于，分别交、于点、， 设每个正方形的边长为， ， ， ， ， 解得，， ． ，， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，正确的作出辅助线是解题的关键 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$