第21讲 求解二元一次方程组【八大考点+过关测】- 【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（北师大版）

第21讲 求解二元一次方程组 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握加减消元和代入消元的意义，及代入法、加减消元法解方程组的步骤； 2．熟练运用代入法、加减消元法解简单的二元（三元）一次方程组； 3．能解简单的一次方程组，在解的过程中进一步体会“消元”思想。 知识点一 代入消元法解二元一次方程组 1)代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示，再代入另一个方程，实现消元，转化为一元一次方程，进而求解这个二元一次方程组的方法. 2)代入消元法的步骤：①在方程组中选取一个系数较简单的方程，将这个方程变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数；②将这个关系式代入另一个方程，消去一个未知数，转换为一元一次方程，并求解该一元一次方程.③利用已求解的未知数，代入关系式中，求解出另一个未知数的解. 知识点二 代入加减消元法解二元一次方程组 1）加减消元法：两个二元一次方程中，同一未知数的系数相反或相同时，将这两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数的方法. 2）加减消元法步骤：①确定消元对象，并把该对象的系数化为相等或相反形式；②将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，转化为一元一次方程，并求解；③将求解出来的值代入任意原方程中，求解出另一个未知数的值. 知识点三 解三元一次方程组 1.三元一次方程组的概念 1）三元一次方程组：方程中有三个未知数，且未知数的项的次数都是一的方程组. 2.解三元一次方程组的方法和步骤 1）步骤：三元一次方程二元一次方程一元一次消元 考点一：变换利用一个字母表示另外一个式子 例1．（23-24七年级下·福建福州·期中）将方程变形为用含y的代数式表示x，即 ． 【变式1-1】（23-24七年级下·吉林长春·期中）若将二元一次方程写成用含的代数式表示的形式，则 ． 【变式1-2】（23-24七年级下·海南海口·期中）已知二元一次方程，用含y的代数式表示x，则 ． 【变式1-3】（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）方程，若用含有x的式子表示y为 ；若用含有y的式子表示x 为 ． 考点二：代入消元法解二元一次方程组 例2.解方程组： 【变式2-1】（23-24七年级下·吉林松原·期中）解方程组： 【变式2-2】解方程组． 【变式2-3】解方程组：. 考点三：加减消元法解二元一次方程组 例3. 解方程组： (1) (2) 【变式3-1】（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）解方程组． 【变式3-2】解方程组： (1)； (2)． 【变式3-3】解下列二元一次方程组： (1)； (2)． 考点四：二元一次方程组的错解复原问题 例4. 下面是小亮解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步：由①得， ③； 第二步：将③代入②，得 第三步：解得 第四步：将代入③，解得； 第五步：所以原方程组的解为 任务一：小亮解方程组用的方法是________消元法．（填“代入”或“加减”）； 任务二：小亮解方程组的过程，从第________步开始出现错误，错误的原因是________． 任务三：请写出方程组正确的解答过程． 【变式4-1】下面是马小虎同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①×2，得……③  第一步 ②－③，得  第二步 ．  第三步 将代入①，得．  第四步 所以，原方程组的解为  第五步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做 法，以上求解步骤中，马小虎同学第 步开始出现错误． (2)请写出此题正确的解答过程． 【变式4-2】解方程组：． 小海同学的解题过程如下： 解：由②，得③……（1） 把③代入①，得：……（2） 解得：……（3） 把代入③，得……（4） ∴此方程组的解为……（5） 判断小海同学的解题过程是否正确，若不正确，请指出错误的步骤序号，并给出正确的解题过程． 【变式4-3】（23-24七年级下·河南新乡·期中）下面是某同学解二元一次方程组的过程，请你仔细阅读，并完成任务． 解方程组： 解：由，得 ③……第一步 ③②，得. ……第二步 将 代入①，解得……第三步    所以，原方程组的解为 …第四步 任务： (1)该同学从第 步开始出现错误；错误的原因是 ； (2)写出正确的求解过程； (3)请你根据平时的学习经验，就解二元一次方程组要注意的事项给其他同学提一条建议． 考点五：已知二元一次方程组的解求参数 例5. 已知关于、的方程组的解是，则 ． 【变式5-1】已知是二元一次方程组的解，则的值为 ． 【变式5-2】若是方程组的解，则 ． 【变式5-3】已知关于、的二元一次方程组的解为，则代数式的值是 ． 考点六：已知二元一次方程组解的情况求参数 例6. 若关于的二元一次方程组的解互为相反数，则 ． 【变式6-1】已知关于x、y的方程组的解满足，则 ． 【变式6-2】（23-24七年级下·天津宁河·阶段练习）若关于，的方程组的解满足，则的值为 ． 【变式6-3】（2024七年级下·全国·专题练习）若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为 ． 考点七：构造二元一次方程组求解 例7. 已知+=0，则为（　　） A．1 B．﹣1 C．2023 D．﹣2023 【变式7-1】若是二元一次方程，那么a、b的值分别是 ． 【变式7-2】（23-24七年级下·湖南郴州·阶段练习）已知单项式和是同类项，则 ， ． 【变式7-3】（2024七年级下·江苏·专题练习）对于有理数x，y定义新运算：，其中a，b为常数已知，，则 ． 考点八：同解方程组的问题 例8. 已知方程组与有相同的解，则 ． 【变式8-1】（23-24七年级下·江苏南通·期中）已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值为 ． 【变式8-2】（23-24七年级下·四川遂宁·期中）已知方程组 与 有相同的解，则的值为 ． 【变式8-3】已知方程组和方程组的解相同，求m的值． 一、单选题 1．（23-24七年级下·浙江温州·期中）关于x，y的二元一次方程组的解为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·河南南阳·期中）用加减消元法解方程组时，有如下四种解法，甲：，乙：，丙：，丁：：其中不能完成“消元”的是（    ） A．只有甲 B．乙和丙 C．丁和乙 D．丙和丁 3．（23-24七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）已知 是二元一次方程组的解，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24七年级下·浙江金华·期中）在解关于x，y的方程组时甲看错①中的a，解得，乙看错②中的b，解得，则a和b的正确值应是（　　） A．， B．， C．， D．， 5．（23-24七年级下·广东江门·期中）若方程组与方程组的解相同，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 二、填空题 6．（23-24七年级下·吉林长春·期中）已知二元一次方程，用含的代数式表示 ． 7．（23-24七年级下·四川南充·期中）以方程组的解为坐标的点在第 象限 8．（2024年北京市第二中学教育集团中考三模数学试题）如果实数满足方程组，那么 ． 9．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）关于，的方程组的解为，则方程组的解是 ． 10．（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）已知关于x、y的方程组，给出下列结论： ①是方程组的解； ②无论a取何值，x，y的值都不可能互为相反数； ③当时，方程组的解也是方程的解； ④x，y的值都为自然数的解有2对， 其中正确的有 三、解答题 11．（23-24七年级下·浙江·期中）解方程组： (1)； (2)． 12．（23-24七年级下·四川南充·期中）解方程组 (1)； (2) 13．（23-24七年级下·福建泉州·阶段练习）若方程组和方程组有相同的解，求方程组的解． 14．（23-24七年级下·河北沧州·期中）下面是张亮同学的一道作业题，请认真阅读并完成相应任务． 解：． 第一步：由①得，③； 第二步：将③代入②，得； 第三步：解得； 第四步：将代入③，解得； 第五步：所以原方程组的解为． 任务一：张亮解方程组用的方法是__________________消元法（填“代入”或“加减”）； 任务二：仔细检查后，发现张亮的答案是错误的，他从第__________________步开始出现错误； 任务三：请写出正确的解答过程． 15．（23-24七年级下·吉林·期中）对于有理数和，定义新运算：，其中、是常数，已知，． (1)求、的值； (2)若，，求的值． 16．（23-24七年级下·河南洛阳·期中）阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把，看成一个整体，设，，则原方程组可化为，解得，即，解得． 根据材料，回答下列问题 (1)已知关于的方程组的解为，请直接写出关于的方程组的解是_______． (2)学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第21讲 求解二元一次方程组 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握加减消元和代入消元的意义，及代入法、加减消元法解方程组的步骤； 2．熟练运用代入法、加减消元法解简单的二元（三元）一次方程组； 3．能解简单的一次方程组，在解的过程中进一步体会“消元”思想。 知识点一 代入消元法解二元一次方程组 1)代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示，再代入另一个方程，实现消元，转化为一元一次方程，进而求解这个二元一次方程组的方法. 2)代入消元法的步骤：①在方程组中选取一个系数较简单的方程，将这个方程变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数；②将这个关系式代入另一个方程，消去一个未知数，转换为一元一次方程，并求解该一元一次方程.③利用已求解的未知数，代入关系式中，求解出另一个未知数的解. 知识点二 代入加减消元法解二元一次方程组 1）加减消元法：两个二元一次方程中，同一未知数的系数相反或相同时，将这两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数的方法. 2）加减消元法步骤：①确定消元对象，并把该对象的系数化为相等或相反形式；②将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，转化为一元一次方程，并求解；③将求解出来的值代入任意原方程中，求解出另一个未知数的值. 知识点三 解三元一次方程组 1.三元一次方程组的概念 1）三元一次方程组：方程中有三个未知数，且未知数的项的次数都是一的方程组. 2.解三元一次方程组的方法和步骤 1）步骤：三元一次方程二元一次方程一元一次消元 考点一：变换利用一个字母表示另外一个式子 例1．（23-24七年级下·福建福州·期中）将方程变形为用含y的代数式表示x，即 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了解二元一次方程，把y看作已知数求出x即可． 【详解】方程， 移项得：． 故答案为：． 【变式1-1】（23-24七年级下·吉林长春·期中）若将二元一次方程写成用含的代数式表示的形式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了代入消元法，利用等式的基本变形，移项、系数化为即可，掌握等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：移项得，， 系数化为得，， 故答案为：． 【变式1-2】（23-24七年级下·海南海口·期中）已知二元一次方程，用含y的代数式表示x，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程，把y看作常数，根据等式的性质变形即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）方程，若用含有x的式子表示y为 ；若用含有y的式子表示x 为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等式的性质，解二元一次方程，熟练掌握相关概念是解题关键．分别将x和y看作已知数求解即可． 【详解】解：方程， 将含有x的项和常数项移到等号右侧，得：， 再除以的系数5，得：， 即用含有x的式子表示y为：； 将含有的项和常数项移到等号右侧，得：， 再除以x的系数，得：， 即用含有y的式子表示x 为：， 故答案为：；． 考点二：代入消元法解二元一次方程组 例2.解方程组： 【答案】 【分析】先将②代入①求出的值，将的值代入②，即可求解． 【详解】 解：将②代入①得 ，                 解得，                     将代入②得 ，                     原方程组的解为． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握解法是解题的关键． 【变式2-1】（23-24七年级下·吉林松原·期中）解方程组： 【答案】． 【分析】本题考查了解二元一次方程组，方程组利用代入消元法求出解即可，熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤是解题的关键． 【详解】解： 把代入得：， 解得：， 把代入得：， ∴这个方程组的解为：． 【变式2-2】解方程组． 【答案】． 【分析】先把方程化成最简形式，再利用代入消元法求解即可． 【详解】解：去分母，整理得： 由①得：③， 把③代入②，得： 解得：， 把代入③，得： ， 所以这个方程组的解为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握方程组的解法是解题的关键． 【变式2-3】解方程组：. 【答案】 【分析】用代入消元法将②转变成代入①中，可求得的值，再将的值代入②中求得的值即可． 【详解】， 由②得：③， 把③代入①得：， 解得， 扡代入②得：， 方程组的解为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的求解，熟练掌握二元一次方程组的求解方法是解答本题的关键． 考点三：加减消元法解二元一次方程组 例3. 解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解； （2）原方程组整理得，，然后根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解． 【详解】（1）解： 得， 解得： 将代入②得， ∴方程组的解为： （2）解： 原方程组整理得， 得， 解得： 将代入①得， 解得： ∴ 【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 【变式3-1】（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）解方程组． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解：， 原方程可变为， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 【变式3-2】解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两个方程相加，即可消去未知数，求出未知数，再代入求出的值即可； （2）①②，即可消去未知数，求出未知数，再代入求出的值即可． 【详解】（1）解：， ①②，得， 解得， 把代入①，得， 故原方程组的解为； （2）解：， ①②，得， 解得， 把代入①，得， 故原方程组的解为． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解答本题的关键． 【变式3-3】解下列二元一次方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用加减消元法求解即可； （2）先化简，然后用加减消元法求解即可． 【详解】（1）， ，得 ， ∴， 把代入①，得 ， ∴， ∴； （2） 化简，得 ，得 ， ∴， 把代入②，得 ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 考点四：二元一次方程组的错解复原问题 例4. 下面是小亮解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步：由①得， ③； 第二步：将③代入②，得 第三步：解得 第四步：将代入③，解得； 第五步：所以原方程组的解为 任务一：小亮解方程组用的方法是________消元法．（填“代入”或“加减”）； 任务二：小亮解方程组的过程，从第________步开始出现错误，错误的原因是________． 任务三：请写出方程组正确的解答过程． 【答案】任务一：代入；任务二：二，整体代入未添加括号（言之成理即可）；任务三：过程见解析． 【分析】根据二元一次方程的解法分别以各个任务进行判断整理即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得，小亮用的方法是代入消元； 但是从第二步开始错误，错误的原因：整体代入未添加括号； 正确的解答过程：由①得 ③ 将③代入②得 解得，代入③，解得 ∴原方程组的解为： 【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程的解法：一、代入消元；二、加减消元是解题的关键． 【变式4-1】下面是马小虎同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①×2，得……③  第一步 ②－③，得  第二步 ．  第三步 将代入①，得．  第四步 所以，原方程组的解为  第五步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做 法，以上求解步骤中，马小虎同学第 步开始出现错误． (2)请写出此题正确的解答过程． 【答案】(1)加减消元法，第四步 (2)见解析 【分析】（1）根据解方程组的特点判断，注意系数化为1时的计算． （2）按照解方程组的步骤求解即可 【详解】（1）根据解题步骤分析，这种求解方程组的方法是加减消元法，在第四步系数化为1时，出错， 故答案为：加减消元法，第四步． （2）方程组： 解：①×2，得……③  ， ②－③，得 ， 解得．   将代入①，得3． 解得x=． 所以，原方程组的解为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握方程组的解法是解题的关键． 【变式4-2】解方程组：． 小海同学的解题过程如下： 解：由②，得③……（1） 把③代入①，得：……（2） 解得：……（3） 把代入③，得……（4） ∴此方程组的解为……（5） 判断小海同学的解题过程是否正确，若不正确，请指出错误的步骤序号，并给出正确的解题过程． 【答案】不正确，错误的步骤是（1），（2），（3），正确结果为 【分析】第（1）步，移项没有变号，第（2）步没有用乘法分配律，去括号也错误了，第（3）步移项后计算错误，写出正确的解答过程即可． 【详解】解：错误的是（1），（2），（3）， 正确的解答过程： 由②得：y＝5﹣x③ 把③代入①得：3x﹣10+2x＝6， 解得：， 把代入③得：， ∴此方程组的解为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键． 【变式4-3】（23-24七年级下·河南新乡·期中）下面是某同学解二元一次方程组的过程，请你仔细阅读，并完成任务． 解方程组： 解：由，得 ③……第一步 ③②，得. ……第二步 将 代入①，解得……第三步    所以，原方程组的解为 …第四步 任务： (1)该同学从第 步开始出现错误；错误的原因是 ； (2)写出正确的求解过程； (3)请你根据平时的学习经验，就解二元一次方程组要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】(1)一，等号右边忘记乘以 (2)见解析 (3)在同时乘以一个数时，不有漏乘 【详解】（1）由解题过程可知错误从第一步开始出现错误；错误的原因是等号右边忘记乘以， 故答案为：一，等号右边忘记乘以； （2）解方程组： 解：由，得 ③ ③②，得， 将 代入①，解得，    所以，原方程组的解为 ； （3）在同时乘以一个数时，不有漏乘（答案不唯一，合理即可）． 考点五：已知二元一次方程组的解求参数 例5. 已知关于、的方程组的解是，则 ． 【答案】3 【分析】将方程组的解代入方程组得：，两式相加即可得出答案． 【详解】解：将方程组的解代入方程组得：， 两式相加得：， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，考查整体思想，两式相加直接求出的值是解题的关键． 【变式5-1】已知是二元一次方程组的解，则的值为 ． 【答案】2 【分析】两个方程相减可得，即可求解． 【详解】 解：得 ， ， ； 故答案：． 【点睛】本题考查了利用二元一次方程组的解求参数的值，掌握解法是解题的关键． 【变式5-2】若是方程组的解，则 ． 【答案】/ 【分析】把代入求出m和n的值，即可求解． 【详解】解：把代入得：， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了方程组的解，解题的关键是掌握使方程组每个方程都成立的未知数的值是方程组的解． 【变式5-3】已知关于、的二元一次方程组的解为，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】将代入方程组，得到关于的二元一次方程组求出的值，代数求值即可得到答案． 【详解】解：将代入方程组，得 ， ， 得到， 故， 故方程的解为， 将代入， 原式． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组以及代数求值，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． 考点六：已知二元一次方程组解的情况求参数 例6. 若关于的二元一次方程组的解互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】由可得，再由互为相反数，可得，即可求解． 【详解】解：， 由得：， 即， ∵互为相反数， ∴， ∴， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，根据题意得到是解题的关键． 【变式6-1】已知关于x、y的方程组的解满足，则 ． 【答案】 【分析】根据得出，根据，得出，求出n的值即可． 【详解】解：， 得：， 即， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解方程组，解题的关键是根据题意得出． 【变式6-2】（23-24七年级下·天津宁河·阶段练习）若关于，的方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了加减消元解二元一次方程组，根据题意得，进而可得，即可求解． 【详解】解： 得， ∴ ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 【变式6-3】（2024七年级下·全国·专题练习）若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为 ． 【答案】2 【分析】将方程组中两个方程相加，得，由于，代入得解即可．本题考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程组的解法，注意观察方程组中两个方程的特征，采用了转化和整体代入是解题的关键． 【详解】解：将中两个方程相加 得 即， ， ， 解得， 故答案为：2． 考点七：构造二元一次方程组求解 例7. 已知+=0，则为（　　） A．1 B．﹣1 C．2023 D．﹣2023 【答案】A 【分析】根据两个非负数的和为0，两个数均为0列二元一次方程组并求解，然后代入求值即可； 【详解】解：∵+=0， ∴ 联立方程组得：解得： 代入得： 故选A； 【点睛】本题考查了两个非负数的和为0，两个加数分别为0，涉及了二元一次方程组等知识，掌握并熟练使用相关知识，认真计算是本题的解题关键 【变式7-1】若是二元一次方程，那么a、b的值分别是 ． 【答案】， 【分析】依据二元一次方程的未知数的次数为1列出方程组求解即可． 【详解】解：∵是二元一次方程， ∴， 解得． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查的是二元一次方程的定义，依据二元一次方程的未知数的次数为1列出方程组是解题的关键． 【变式7-2】（23-24七年级下·湖南郴州·阶段练习）已知单项式和是同类项，则 ， ． 【答案】 /0.5 0 【分析】本题考查了利用同类项的定义求字母的值，熟练掌握同类项的定义是解答本题的关键．根据同类项的定义构建方程组求解即可． 【详解】单项式和是同类项， 可列方程组 解得即m的值为，n的值为0． 故答案为：，0． 【变式7-3】（2024七年级下·江苏·专题练习）对于有理数x，y定义新运算：，其中a，b为常数已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，解二元一次方程组，先根据，求出a，b的值，再代入计算． 【详解】解：根据题意得：，， 整理得：， 得：，即， 把代入②得：， 则， 故答案为：． 考点八：同解方程组的问题 例8. 已知方程组与有相同的解，则 ． 【答案】4 【分析】根据题意，重新构造新的方程组，解出x，y的值，再代入，得出m，n的值． 【详解】解：∵方程组与有相同的解， ∴联立方程组， 解得， 将代入，， 解得， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法解二元一次方程组，代入求值是解题的关键． 【变式8-1】（23-24七年级下·江苏南通·期中）已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是同解方程组，二元一次方程组的解法，利用同解的含义重组方程组是解题的关键．把方程组中的两个已知方程组合可得，解方程组可得：，再代入另外两个方程，求解 从而可得答案． 【详解】解：根据题意得： ①②： 把代入①： 把代入得 解得： ； 故答案为： 【变式8-2】（23-24七年级下·四川遂宁·期中）已知方程组 与 有相同的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是同解二元一次方程组的问题，二元一次方程组的解法，掌握利用方程组同解构建新的方程组是解题的关键．由方程组同解可得：，解方程组求解，再把求得的的值代入另外两个方程即可得到答案． 【详解】解：根据题意：和 有相同的解， 可得：， 得：， ∴， 将代入①，得， 所以方程组的解：， ∴， 两个方程相加可得：， ∴． 故答案为： 【变式8-3】已知方程组和方程组的解相同，求m的值． 【答案】． 【分析】根据方程组的解相同，得到新的二元一次方程组，进而求得，再代入含的方程，即可求出m的值． 【详解】解：两个方程组的解相同， 可得方程组， 解得：， 将代入， 解得：． 【点睛】本题考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，解题关键是根据已知条件得到新的方程组并求解． 一、单选题 1．（23-24七年级下·浙江温州·期中）关于x，y的二元一次方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用加减消元法求解即可． 【详解】解：， 得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 则方程组的解为， 故选：D． 2．（23-24七年级下·河南南阳·期中）用加减消元法解方程组时，有如下四种解法，甲：，乙：，丙：，丁：：其中不能完成“消元”的是（    ） A．只有甲 B．乙和丙 C．丁和乙 D．丙和丁 【答案】A 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，根据加减消元法进行计算即可求解． 【详解】解： 甲：，得不能消元，符合题意； 乙：，得能消去，不合题意； 丙：，得，能消去，不合题意； 丁：：得，能消去，不合题意； 故选：A． 3．（23-24七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）已知 是二元一次方程组的解，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据题意求出的值是解题的关键．将代入二元一次方程组可得：，计算出的值即可得到答案． 【详解】解：将代入二元一次方程组可得：， 解得：， ， 故选：D． 4．（23-24七年级下·浙江金华·期中）在解关于x，y的方程组时甲看错①中的a，解得，乙看错②中的b，解得，则a和b的正确值应是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题．甲看错了a，则甲的结果满足②，乙看错了b，则乙的结果满足①，由此建立关于a、b的方程求解即可． 【详解】解：根据题意得：，解得：． 故选A． 5．（23-24七年级下·广东江门·期中）若方程组与方程组的解相同，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解的定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．理解定义是关键． 把代入方程组，得到一个关于a，b的方程组，将方程组的两个方程左右两边分别相加，整理即可得出的值． 【详解】解：把代入方程组， 得：， ①+②，得：， 则． 故选：C． 二、填空题 6．（23-24七年级下·吉林长春·期中）已知二元一次方程，用含的代数式表示 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解二元一次方程，掌握等式的性质是解题的关键． 将x看作已知数，解关于y的一元一次方程即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 7．（23-24七年级下·四川南充·期中）以方程组的解为坐标的点在第 象限 【答案】二 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，点的坐标．先用代入消元法解二元一次方程组，然后根据平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征进行判断即可． 【详解】解：， 把①代入②得，， 解得， 把代入②得，， 方程组的解是， 以方程组的解为坐标的点的坐标是， 在第二象限， 故答案为：二． 8．（2024年北京市第二中学教育集团中考三模数学试题）如果实数满足方程组，那么 ． 【答案】8 【分析】本题考查解二元一次方程组及代数式求值，先利用加减消元法求出实数，将他们代值代数式即可得到答案，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决问题的关键． 【详解】解：， 由①②得； 将代入②得； ， 故答案为：8． 9．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）关于，的方程组的解为，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查方程组的性质，解题的关键是熟练掌握方程组的相关知识．将方程组变形得到，与方程组对比系数得到，从而得到方程组的解． 【详解】解：可化为 ∵方程组的解为 ∴ ∴ 故答案为：． 10．（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）已知关于x、y的方程组，给出下列结论： ①是方程组的解； ②无论a取何值，x，y的值都不可能互为相反数； ③当时，方程组的解也是方程的解； ④x，y的值都为自然数的解有2对， 其中正确的有 【答案】②③/③② 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组是解法是解题的关键．求得二元一次方程组的解，再利用方程组解答意义对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：关于，的方程组的解为：． 则关于，的方程组的解为：， 即 解得不存在 ①的结论不正确； ， 无论取何值，，的值都不可能互为相反数， ②的结论正确； 当时，， 当时，方程组的解也是方程的解， ③的结论正确； ，的值都为自然数的解有，，，，共4对， ④的结论不正确． 综上，正确的是：②③． 故答案为：②③． 三、解答题 11．（23-24七年级下·浙江·期中）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键，解二元一次方程组的方法有代入法和加减法两种． （1）把①代入②得出，求出，再把代入①求出即可； （2）得出，求出，再把代入求出即可． 【详解】（1）解： 把①代入②，得， 解得：， 把代入①，得， 所以方程组的解是； （2）， ，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， 所以方程组的解是． 12．（23-24七年级下·四川南充·期中）解方程组 (1)； (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）利用代入法解答即可求解； （）利用加减法解答即可求解； 本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：， 把代入得，， 解得， 把代入得，， ∴方程组的解为； （2）解：， 得，， 得，， 得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴方程组的解为． 13．（23-24七年级下·福建泉州·阶段练习）若方程组和方程组有相同的解，求方程组的解． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的同解问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关性质求解，根据方程组和方程组同解可以得到求出这个方程组的解，然后代入另外两个方程求出a、b即可． 【详解】解：解方程组 解得： 把代入另外两方程得： 解得：． 14．（23-24七年级下·河北沧州·期中）下面是张亮同学的一道作业题，请认真阅读并完成相应任务． 解：． 第一步：由①得，③； 第二步：将③代入②，得； 第三步：解得； 第四步：将代入③，解得； 第五步：所以原方程组的解为． 任务一：张亮解方程组用的方法是__________________消元法（填“代入”或“加减”）； 任务二：仔细检查后，发现张亮的答案是错误的，他从第__________________步开始出现错误； 任务三：请写出正确的解答过程． 【答案】任务一：代入；任务二：二；任务三：过程见解析， 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程的解法：一、代入消元；二、加减消元是解题的关键． 根据二元一次方程的解法分别以各个任务进行判断整理即可得到答案． 【详解】解：任务一：根据题意可得，用的方法是代入消元法； 故答案为：代入； 任务二：但是从第二步开始错误，错误的原因：整体代入未添加括号； 任务三：正确的解答过程：由①得 ③ 将③代入②得， 解得，代入③，解得， ∴原方程组的解为：． 15．（23-24七年级下·吉林·期中）对于有理数和，定义新运算：，其中、是常数，已知，． (1)求、的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查定义新运算，二元一次方程组的运用，理解新定义的运算方法，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）根据新定义运算的规则可得关于的二元一次方程组，运用加减消消元法即可求解； （2）根据题意，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， 得，， 整理得，， 解得，， 把代入①得，， 解得，， ∴； （2）解：根据题意得，， 解得，． 16．（23-24七年级下·河南洛阳·期中）阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把，看成一个整体，设，，则原方程组可化为，解得，即，解得． 根据材料，回答下列问题 (1)已知关于的方程组的解为，请直接写出关于的方程组的解是_______． (2)学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用“整体换元”法解二元一次方程组，读懂材料是解题的关键． （1）令，，根据方程组的解为，可得，进而可解； （2）令，，仿照材料中的作法，通过“整体换元”求解． 【详解】（1）解：令，， 关于的方程组的解为， ， 解得， 故答案为：； （2）解：令，， 则原方程组可化为， 解得，即， 解得． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$