第19讲 解题技巧专题：与一次函数有关的综合问题【七大题型+过关测】- 【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（北师大版）

第19讲 解题技巧专题：与一次函数有关的综合问题 【题型一 一次函数图象共存综合问题】 例1．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考开学考试）如图，一次函数与正比例函数（m、n是常数，且）的图象的是（    ）    A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．②和④ 【变式1-1】（2023春·湖北咸宁·八年级校考阶段练习）如图所示，两条直线与在同一直角坐标系中的图像位置可能是（    ） A．  B．  C．   D．   【变式1-2】（2023秋·湖北咸宁·九年级统考开学考试）如图，一次函数与正比例函数（m，n为常数，且）的图象是（    ） A．  B．C．   D．   【变式1-3】（2023春·河北承德·八年级统考期末）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【题型二 一次函数含参数中的图象和性质】 例2.（2023春·山东滨州·八年级统考期末）对于y关于x的函数（k是常数，），下列结论中正确结论的序号是（    ） ①其图象是一条直线；     ②其图象必经过点； ③若其图象经过第二、三、四象限，则k的取值范围是； ④若y随x的增大而增大，则其图象与y轴的交点必定在正半轴上． A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【变式2-1】（2023春·广东广州·八年级统考期末）已知一次函数（，k是常数），则下列结论正确的是（        ） A．若点在一次函数的图象上，则它的图象与两个坐标轴围成的三角形面积是2； B．若，则一次函数图象上任意两点和满足： C．一次函数的图象不一定经过第三象限 D．若对于一次函数和，无论x取任何实数，总有，则k的取值范围是或 【变式2-2】（2023春·江西南昌·八年级统考期末）对于一次函数，下列叙述正确的是（    ） A．当时，函数图象经过第一、二、三象限 B．当时，随的增大而增大 C．当时，函数图象一定交于轴的负半轴 D．函数图象一定经过点 【变式2-3】（2023春·广东珠海·八年级统考期末）关于的一次函数（k为常数且），①当时，此函数为正比例函数；②无论取何值，此函数图象必经过；③若函数图象同时经过点和点（，为常数），则；④无论取何值，此函数图象都不可能同时经过第二、三、四象限，上述结论中正确的序号有（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【题型三 一次函数中的平移问题】 例3. （2023秋·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，直线分别与轴、轴交于点、，把直线沿轴向下平移3个单位长度，得到直线，且直线分别与轴、轴交于点C、D． (1)求直线对应的函数表达式； (2)求四边形的面积． 【变式3-1】（2023春·安徽淮南·八年级校考期末）把一次函数的图象进行平移后，得到的图象的解析式是，有下列说法：①把向下平移4个单位，②把向上平移4个单位，③把向左平移4个单位，④把向右平移4个单位．其中正确的说法是______（把你认为正确说法的序号都填上）． 【变式3-2】（2023春·江苏苏州·九年级校考阶段练习）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形在第一象限，且轴，直线沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形截得的线段长为a，直线在x轴上平移的距离为b，a、b间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形的面积为___________． 【变式3-3】（2023秋·江苏镇江·八年级统考期末）将正比例函数的图象平移后经过点． (1)求平移后的函数表达式； (2)求平移后函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积． 【题型四 一次函数与三角形的面积问题】 例4. （2023春·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，． (1)求这个一次函数的解析式； (2)若这个一次函数的图象与x轴的交点为C，求的面积． 【变式4-1】（2023春·湖南长沙·八年级长沙麓山国际实验学校校考期中）直线与坐标轴组成的三角形的面积是 ． 【变式4-2】（2023春·江苏南通·八年级南通田家炳中学校考阶段练习）一次函数的图象由直线向下平移得到，且过点． (1)求一次函数的解析式； (2)求直线与坐标轴围成的三角形的面积． 【变式4-3】（2023春·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期中）将正比例函数的图象平移后经过点． (1)求平移后的函数表达式； (2)求平移后函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积． 【题型五 一次函数与三角形全等问题】 例5. （2023春·全国·八年级专题练习）直线：分别与，轴交于，两点，点的坐标为，，过点的直线交轴正半轴于点，且． (1)求点的坐标及直线的函数表达式； (2)在坐标系平面内，存在点，使以点，，为顶点的三角形与全等，画出，并求出点的坐标． 【变式5-1】（2023春·北京平谷·八年级统考期末）如图，直线与轴和轴分别交与 ，两点，射线于点，若点是射线上的一个动点，点是轴上的一个动点，且以为顶点的三角形与全等，则的长为 ．    【变式5-2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，把射线AB绕点A顺时针旋转90°得射线AC，点P是射线AC上一个动点，点Q是x轴上一个动点．若与全等，试确定点Q的横坐标． 【变式5-3】如图，直线l1：y＝﹣2x+6与过点B（﹣3，0）的直线l2交于点C（1，m），且直线l1与x轴交于点A，与y轴交于点D． (1)求直线l2的解析式； (2)若点M是直线l2上的点，过点M作MN⊥y轴于点N，要使以O、M、N为顶点的三角形与△AOD全等，求所有满足条件的点M的坐标． 【题型六 一次函数与三角形存在问题】 例6. （2023春·广西南宁·八年级南宁市天桃实验学校校考阶段练习）如图，已知直线的解析式为，且与轴相交于点，直线经过点，，直线，相交于点． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)在直线上是否存在点使得的面积等于3，若存在请求出点的坐标，若不存在请说明理由． 【变式6-1】（2023秋·广东梅州·八年级丰顺县丰顺中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：与轴交于点C，且点，. (1)点C的坐标为 (2)求原点O到直线的距离； (3)在x轴上是否存在一点P，使得是直角三角形?若存在，求出点P的坐标. 【变式6-2】（2023秋·辽宁沈阳·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于点B和点C，与直线相交于点，动点M在线段和射线上运动． (1)求点B和点C的坐标． (2)求的面积． (3)是否存在点M，使的面积是面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式6-3】（2023·河北沧州·校考一模）如图，直线l1的表达式为．且与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2经过点，且与直线l1交于点． (1)写出点D的坐标，并求出直线l2的表达式； (2)连接，求的面积； (3)直线上是否存在一点P，使得的周长最小？若不存在，请说明理由；若存在，求出点P的坐标． 【题型七 一次函数中折叠问题】 例7. （2023秋·山东济南·八年级统考期末）如图1，在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点．与轴交于点，直线与轴交于点 (1)填空：______，______，______； (2)如图2．点为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交轴于点． ①求线段的长度； ②当点落在轴上时，求点的坐标； ③若为直角三角形，请直接写出满足条件的点的坐标． 【变式7-1】（2023春·八年级课时练习）如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点是线段上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的处，若是轴负半轴上一动点，且是等腰三角形，则的坐标为______． 【变式7-2】（2023春·重庆北碚·八年级重庆市朝阳中学校考阶段练习）如图，直线与轴、轴分别相交于点，，点在轴上，将沿折叠，点恰好落在直线上，求点的坐标． 【变式7-3】（2023春·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点A，B的坐标； (2)在直线上是否存在点P，使是以为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若将折叠，使边落在AB上，点O与点D重合，折痕为BC，求折痕所在直线的表达式． 一、选择题 1．（2023春·福建泉州·八年级统考期末）对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．当时，随着的增大而减小 B．当时，随着的增大而增大 C．当时，图象一定经过点 D．当时，图象一定经过点 2．（2023春·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考阶段练习）在同一坐标系中，直线：和：的位置可能是(　　) A．  B．C．  D．   二、填空题 3．（2023·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，将直线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后的新直线与x轴的交点为，则m的值为___________． 4．（2023秋·福建漳州·八年级统考期末）关于一次函数，现给出以下结论： ①当时，的值随着值的增大而增大； ②将该函数图象向下平移2个单位后得到直线，则； ③若点和均在该函数图象上时，则； ④若它的图象与直线是关于轴对称，则． 其中正确的结论是 ．（写出所有正确结论的序号） 三、解答题 5．（2023春·江西南昌·八年级统考期末）如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．    (1)求A、B两点的坐标； (2)若在x轴上有一点P，使，求的面积． 6．（2023春·上海静安·八年级上海市回民中学校考期中）在直角坐标中，直线与平行，且经过点，将直线向上平移3个单位，得到直线 (1)求这两条直线的解析式； (2)如果直线与x轴、y轴分别交于点A，B，求的面积． 7．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于B，C两点，其中． (1)求k的值； (2)若点是第一象限内直线上的一个动点，当点A运动过程中，试求的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x取值范围； (3)点A是直线上的一个动点，当点A运动到什么位置时，的面积是1． 8．（2023春·四川广安·八年级广安中学校考阶段练习）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点是线段上的一个动点（不与，重合），连接． (1)求，两点的坐标； (2)求的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当的面积时，第一象限内是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 9．（2023秋·广东佛山·八年级校考期末）如图，直线的函数解析式为，且与轴交于点，直线经过点，直线交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)求的面积； (3)在直线是否存在点，使得面积是面积的2倍？如果存在，请求出坐标；如果不存在，请说明理由． 10．已知一次函数y=-3x+3的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C(3,0)． (1)如图1，点D与点C关于y轴对称，点E在线段BC上且到两坐标轴的距离相等，连接DE，交y轴于点F．求点E的坐标； (2)△AOB与△FOD是否全等，请说明理由； (3)如图2，点G与点B关于x轴对称，点P在直线GC上，若△ABP是等腰三角形，直接写出点P的坐标． 11．（2023秋·山东济南·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，与y轴交于点，与直线交于点E．已知点D的坐标为，点C在A的左侧且． (1)分别求出直线和直线的表达式； (2)在直线上，是否存在一点P，使得，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在坐标轴上，是否存在一点Q，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 12．（2023春·八年级课时练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段上，将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，若，． (1)求直线的解析式． (2)求的值． (3)直线CD上是否存在点P使得，若存在，请直接写出P的坐标． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第19讲 解题技巧专题：与一次函数有关的综合问题 【题型一 一次函数图象共存综合问题】 例1．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考开学考试）如图，一次函数与正比例函数（m、n是常数，且）的图象的是（    ）    A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．②和④ 【答案】D 【分析】利用正比例函数的图象和一次函数的图象逐一判断即可求解． 【详解】解：①、由正比例函数图象得：，由一次函数图象得：，且，则，则①错误，故不符合题意； ②、由正比例函数图象得：，由一次函数图象得：，且，则，则②正确，故符合题意； ③、由正比例函数图象得：，由一次函数图象得：，且，则，则③错误，故不符合题意； ④、由正比例函数图象得：，由一次函数图象得：，且，则，则④正确，故符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查了正比例函数的图象和一次函数的图象，熟练掌握其图象是解题的关键． 【变式1-1】（2023春·湖北咸宁·八年级校考阶段练习）如图所示，两条直线与在同一直角坐标系中的图像位置可能是（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】A 【分析】根据选项，结合一次函数图像与表达式系数的关系逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、由选项中直线的图像可知，则断定直线图像正确，该选项符合题意； B、由选项中直线的图像可知，则断定直线图像错误，该选项不符合题意； C、由选项中直线的图像可知，则断定直线图像错误，该选项不符合题意； D、由选项中直线的图像可知，则断定直线图像错误，该选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数图像与表达式系数的关系，掌握此类题型的解题方法是解决问题的关键． 【变式1-2】（2023秋·湖北咸宁·九年级统考开学考试）如图，一次函数与正比例函数（m，n为常数，且）的图象是（    ） A．  B．C．   D．   【答案】A 【分析】分别分析四个选项中一次函数和正比例函数m和n的符号，即可进行解答． 【详解】解：A、由一次函数图象得：，由正比例函数图象得：，符合题意； B、由一次函数图象得：，由正比例函数图象得：，不符合题意； C、由一次函数图象得：，由正比例函数图象得：，不符合题意； D、由一次函数图象得：，由正比例函数图象得：，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数和正比例函数的图象，解题的关键是掌握一次函数和正比例函数图象与系数的关系． 【变式1-3】（2023春·河北承德·八年级统考期末）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于每个选项，先确定一个解析式所对应的图象，根据一次函数图象与系数的关系确定a、b的符号，然后根据此符号看另一个函数图象的位置是否正确. 【详解】解：A、若函数图象经过第一、三、四象限，则，，此时函数的图象应经过第一、二、三象限；若函数图象经过第一、二、四象限时，则，时，此时函数的图象应经过第二、三、四象限，故选项A错误，不符合题意； B、若函数图象经过第一、二、四象限时，则，时，此时函数的图象应经过第二、三、四象限，故选项B错误，不符合题意； C、若函数图象经过第一、二、三象限，则，，此时函数的图象应经过第一、二、四象限；若函数图象经过第二、三、四象限时，则，时，此时函数的图象应经过第一、三、四象限，故选项C错误，不符合题意； D、若函数图象经过第一、二、三象限，则，，此时函数的图象应经过第一、三、四象限；若函数图象经过第一、三、四象限时，则，时，此时函数的图象应经过第一、二、三象限，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一次函数的图象与性质，正确记忆一次函数图象经过象限与系数关系是解题关键. 【题型二 一次函数含参数中的图象和性质】 例2.（2023春·山东滨州·八年级统考期末）对于y关于x的函数（k是常数，），下列结论中正确结论的序号是（    ） ①其图象是一条直线；     ②其图象必经过点； ③若其图象经过第二、三、四象限，则k的取值范围是； ④若y随x的增大而增大，则其图象与y轴的交点必定在正半轴上． A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据一次函数的图象和性质，逐一进行判断后，即可得出结论． 【详解】解：∵（k是常数，）， ∴y是关于x的一次函数，其图象是一条直线，故①正确； 当时，， ∴其图象必经过点；故②正确； 当其图象经过第二、三、四象限时，，解得：，故③正确； 若y随x的增大而增大，则：， ∴， 则其图象与y轴的交点必定在正半轴上，故④正确； 故选A． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质．熟记一次函数的图象和性质，是解题的关键． 【变式2-1】（2023春·广东广州·八年级统考期末）已知一次函数（，k是常数），则下列结论正确的是（        ） A．若点在一次函数的图象上，则它的图象与两个坐标轴围成的三角形面积是2； B．若，则一次函数图象上任意两点和满足： C．一次函数的图象不一定经过第三象限 D．若对于一次函数和，无论x取任何实数，总有，则k的取值范围是或 【答案】D 【分析】根据一次函数的性质和图象求解即可． 【详解】解：A、把代入得：，解得：， ∴， 当时，，时，，如图所示，    ∴与两个坐标轴围成的三角形面积是，故A错； B、∵，∴， ∴一次函数y随x增大而增大，如图所示，    ∴若，则， ∴，故B错； C、假设一次函数不经过第三象限，则需，， 由B得：当时，， ∴一次函数的图象一定经过第三象限，故C错； D、当时，要想，则，解得：，即，如图所示，    当时，要想，则即可，如图所示，    综上所述：k的取值范围是或，故D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，灵活运用所学知识是关键． 【变式2-2】（2023春·江西南昌·八年级统考期末）对于一次函数，下列叙述正确的是（    ） A．当时，函数图象经过第一、二、三象限 B．当时，随的增大而增大 C．当时，函数图象一定交于轴的负半轴 D．函数图象一定经过点 【答案】D 【分析】根据一次函数图象与系数的关系对A、B、C进行判断，根据一次函数图象上点的坐标特征对D进行判断． 【详解】解：A. 当时，，函数图象经过第一、三、四象限，故A错误，不符合题意； B. 当时，随的增大而减小，故B错误，不符合题意； C. 当时，，函数图象一定交于轴的正半轴，故C错误，不符合题意； D.把代入得，，所以函数图象一定经过点，故D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数（为常数，）是一条直线，当时，图象经过一、三象限，随的增大而增大，当时，图象经过二、四象限，随的增大而减小，图象与轴的交点坐标为． 【变式2-3】（2023春·广东珠海·八年级统考期末）关于的一次函数（k为常数且），①当时，此函数为正比例函数；②无论取何值，此函数图象必经过；③若函数图象同时经过点和点（，为常数），则；④无论取何值，此函数图象都不可能同时经过第二、三、四象限，上述结论中正确的序号有（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质依次判断即可． 【详解】解：①当时，则，为一次函数，故①错误； ②整理得：， ∴时，， ∴此函数图象必经过，故②正确； ③把和代入中， 得：， 得：， 解得：，故③错误； ④当时，即， 则， ∴此函数图象都不可能同时经过第二、三、四象限， 故④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解决本题的关键． 【题型三 一次函数中的平移问题】 例3. （2023秋·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，直线分别与轴、轴交于点、，把直线沿轴向下平移3个单位长度，得到直线，且直线分别与轴、轴交于点C、D． (1)求直线对应的函数表达式； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设直线对应的函数表达式为：，将点、代入，待定系数法求解析式即可； （2）根据一次函数的平移规律得出直线对应的函数表达式为：，求得，根据四边形的面积为，即可求解． 【详解】（1）设直线对应的函数表达式为：， 将点、代入，得。 ， 解得：。 ∴直线对应的函数表达式为 （2）把直线：沿轴向下平移3个单位长度，得到直线， ∴直线对应的函数表达式为：， ∵直线分别与轴、轴交于点C、D． 令，得，令，得， ∴. ∴四边形的面积为． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴交点问题，一次函数的平移，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【变式3-1】（2023春·安徽淮南·八年级校考期末）把一次函数的图象进行平移后，得到的图象的解析式是，有下列说法：①把向下平移4个单位，②把向上平移4个单位，③把向左平移4个单位，④把向右平移4个单位．其中正确的说法是______（把你认为正确说法的序号都填上）． 【答案】①④/④① 【分析】根据一次函数图象的平移规律逐个判断即可得． 【详解】解：①把向下平移4个单位所得的函数解析式为，即为，则此说法正确； ②把向上平移4个单位所得的函数解析式为，即为，则此说法错误； ③把向左平移4个单位所得的函数解析式为，即为，则此说法错误； ④把向右平移4个单位所得的函数解析式为，即为，则此说法正确； 综上，正确的说法是①④， 故答案为：①④． 【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，熟练掌握一次函数图象的平移规律是解题关键． 【变式3-2】（2023春·江苏苏州·九年级校考阶段练习）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形在第一象限，且轴，直线沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形截得的线段长为a，直线在x轴上平移的距离为b，a、b间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形的面积为___________． 【答案】8 【分析】根据函数图象中的数据可以分别求得矩形的边长，的长，从而可以求得矩形的面积． 【详解】解：如图所示，过点、分别作的平行线，交、于点、． 由图象和题意可得，，，， 则，， 矩形的面积为． 故答案为：8． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 【变式3-3】（2023秋·江苏镇江·八年级统考期末）将正比例函数的图象平移后经过点． (1)求平移后的函数表达式； (2)求平移后函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一次函数平移规律，设平移后的解析式为，将点，待定系数法求解析式即可求解； （2）根据解析式求得与坐标轴的交点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，设平移后的解析式为，将点，代入得， ， 解得：， ∴平移后的函数表达式为：； （2）解：由，令，解得， 令，解得：， 如图，设一次函数，分别与坐标轴交于点， 则 ∴平移后函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积为． 【点睛】本题考查了一次函数的平移，待定系数法求解析式，求一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，根据平移求得解析式是解题的关键． 【题型四 一次函数与三角形的面积问题】 例4. （2023春·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，． (1)求这个一次函数的解析式； (2)若这个一次函数的图象与x轴的交点为C，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的解析式； （2）利用直线解析式求得的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得的面积． 【详解】（1）解：∵一次函数（）的图象经过点，． ∴，解得：， ∴这个一次函数的解析式为：． （2）解：令，则，解得， ∴， ∵． ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟练掌握利用待定系数法求一次函数解析式的方法是解题的关键． 【变式4-1】（2023春·湖南长沙·八年级长沙麓山国际实验学校校考期中）直线与坐标轴组成的三角形的面积是 ． 【答案】 【分析】分别令和，可求出与坐标轴的交点，从而可以求解． 【详解】解：当时，； 当时，； 直线与坐标轴的交点分别为：，， 直线与坐标轴所围成的三角形面积：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点围成面积问题，掌握与坐标轴交点坐标求法是解题的关键． 【变式4-2】（2023春·江苏南通·八年级南通田家炳中学校考阶段练习）一次函数的图象由直线向下平移得到，且过点． (1)求一次函数的解析式； (2)求直线与坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平移可得，再将代入函数解析式，求出b的值即可． （2）先求出函数图象与x、y轴的交点坐标，根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）∵一次函数的图象由直线向下平移得到， ∴ ∴函数解析式为： ∵过点 ∴， ∴ ∴所求函数的解析式为： （2）在中 令，得 即图象与y轴交点为 令，得 即图象与x轴交点为 ∴ 【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数解析式、两点法确定函数图像；关键在于解出k、b值以及正确运用三角形面积公式求解． 【变式4-3】（2023春·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期中）将正比例函数的图象平移后经过点． (1)求平移后的函数表达式； (2)求平移后函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一次函数平移规律，设平移后的解析式为，将点，待定系数法求解析式即可求解； （2）根据解析式求得与坐标轴的交点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，设平移后的解析式为，将点，代入得， ， 解得：， ∴平移后的函数表达式为：； （2）解：由，令，解得， 令，解得：， 如图，设一次函数，分别与坐标轴交于点， 则 ∴平移后函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积为． 【点睛】本题考查了一次函数的平移，待定系数法求解析式，求一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，根据平移求得解析式是解题的关键． 【题型五 一次函数与三角形全等问题】 例5. （2023春·全国·八年级专题练习）直线：分别与，轴交于，两点，点的坐标为，，过点的直线交轴正半轴于点，且． (1)求点的坐标及直线的函数表达式； (2)在坐标系平面内，存在点，使以点，，为顶点的三角形与全等，画出，并求出点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为，，； (2)图见解析，点的坐标为，或，或，． 【分析】（1）将点点，代入解析式得出，继而得出点的坐标为，，根据得出，即点的坐标为，，然后待定系数法求解析式即可求解； （2）分在轴上方：和如图和点在轴上如图②两种情况，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵直线：过点，， ， ． 当时，， 点的坐标为，， 即． ：：， ． 点在轴正半轴， 点的坐标为，． 设直线的解析式为， 将，、，代入，得： ， 解得：， 直线的函数表达式为． （2）分在轴上方：和如图和点在轴上如图②两种情况考虑： 如图①：①当时， ， ． ， ，， ， 点的坐标为，； ②当时，，， ， 点的坐标为，． 如图②当时，， ， 点的坐标为，． 综上所述，点的坐标为，或，或，． 【点睛】本题考查了一次函数与几何图形，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，数形结合是解题的关键． 【变式5-1】（2023春·北京平谷·八年级统考期末）如图，直线与轴和轴分别交与 ，两点，射线于点，若点是射线上的一个动点，点是轴上的一个动点，且以为顶点的三角形与全等，则的长为 ．    【答案】 【分析】根据一次函数解析式可求出A点和B点坐标，从而求出的两条直角边，并运用勾股定理求出．根据已知可得，分别从或时，即当时，，或时，，分别求得的值，即可得出结论． 【详解】∵直线与x轴和y轴分别交与A、B两点， 当时，即， 解得：． 当时，， ∴． ∴． ∴． ∵，点C在射线上， ∴，即． ∵， ∴． 若以为顶点的三角形与全等，则或，即或． 如图1所示，当时，，      ∴； 如图2所示，当时，，      ∴． 综上所述，的长为6或． 故答案为：6或． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 【变式5-2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，把射线AB绕点A顺时针旋转90°得射线AC，点P是射线AC上一个动点，点Q是x轴上一个动点．若与全等，试确定点Q的横坐标． 【答案】7或8 【分析】根据与全等分两种情况分类讨论即可解答． 【详解】解：在直线中， 当x=0时，y=0+4=4，即， 当y=0时，0=， ∴ ，即； ∵与全等， ∴分两种情况： 当时，，如图所示， 则， ∴点Q的横坐标为：， 当时，，如图所示， 则， ∵ ， ∴点Q的横坐标为：； 综上所述：点Q的横坐标为7或8． 【点睛】本题主要考查三角形全等的应用，一次函数的应用，勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 【变式5-3】如图，直线l1：y＝﹣2x+6与过点B（﹣3，0）的直线l2交于点C（1，m），且直线l1与x轴交于点A，与y轴交于点D． (1)求直线l2的解析式； (2)若点M是直线l2上的点，过点M作MN⊥y轴于点N，要使以O、M、N为顶点的三角形与△AOD全等，求所有满足条件的点M的坐标． 【答案】(1) (2)（3，6），（-6，-3） 【分析】（1）先根据点C（1，m）在直线l1上求出m的值，再根据点C和点B求出直线l2的解析式； （2） 先分别计算出OA、OD的长度，再根据三角形全等的情况展开讨论，分别根据和两种情况进行计算即可得到答案． （1） 解：∵C（1，m）在直线l1上， ∴， ∴点C的坐标为（1，4）， 设直线的l2的解析式为, ∵点C（1，4）和点B（﹣3，0）在直线l2上， ∴， 解方程组得， ∴直线l2的解析式为：； （2） 解：直线l1上，当时，；当时， ∴，， 当点M在轴下方时，设点M的坐标为（m，n）,如下图所示， 当时，, ∵点M在直线l2上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴点M（-6，-3）满足条件， 当时，, 得， ∵， ∴点M（-9，-6）不满足题意，舍去； 当点M在轴上方时，设点M的坐标为（m，n）,如下图所示， 当时，, ∵点M在直线l2上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点M（0，-3）不满足题意，舍去； 当时，, ∵点M在直线l2上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴点M（3，6）满足条件， ∴满足条件的点M的坐标为（3，6），（-6，-3）． 【点睛】本题考查一次函数和全等三角形的性质，解题的关键是根据题意求出函数的解析式． 【题型六 一次函数与三角形存在问题】 例6. （2023春·广西南宁·八年级南宁市天桃实验学校校考阶段练习）如图，已知直线的解析式为，且与轴相交于点，直线经过点，，直线，相交于点． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)在直线上是否存在点使得的面积等于3，若存在请求出点的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）求得的坐标，然后利用三角形的面积公式即可求解； （3）设点P坐标为，过P作PQ⊥x轴，交于Q，则，求出，根据三角形面积的求法列出方程，解之可得． 【详解】（1）解：设直线的解析式是， 根据题意得：， 解得：， 则直线的解析式是； （2）在中，令，解得：． 则的坐标是． 根据题意得：， 解得：， 则的坐标是， 则， ∴； （3）存在，设点P坐标为，过P作轴，交于Q， 则， ∴， ∴， 即， 解得：或， ∴点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及函数交点坐标的求法，掌握把求交点坐标转化为解两个函数的解析式组成的方程组的方法是解题关键． 【变式6-1】（2023秋·广东梅州·八年级丰顺县丰顺中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：与轴交于点C，且点，. (1)点C的坐标为 (2)求原点O到直线的距离； (3)在x轴上是否存在一点P，使得是直角三角形?若存在，求出点P的坐标. 【答案】(1)； (2)； (3)存在，点的坐标为或 【分析】(1)令，即可求解； (2)首先可求得点A、B的坐标，根据两点间距离公式可求得的长，再根据，设原点到直线的距离为，列方程即可求解； (3)设点的坐标为，根据题意可知不为直角，分两种情况，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：令，则， 解得：， 所以点的坐标为； （2）解：代入A、两点可得：，， 解得：，， 故，， ， ， 设原点到直线的距离为， 则， 解得：， 故原点到直线的距离为； （3）解：存在， 设点的坐标为，根据题意可知不为直角， 所以当是直角三角形分两种情况： ①当时，此时点的坐标为； ②当，， 故， 解得：， 此时点的坐标为； 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 【点睛】本题考查了两点间距离公式，坐标与图形，求不规则图形的面积，直角三角形的判定，解答的关键是采用分类讨论的思想． 【变式6-2】（2023秋·辽宁沈阳·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于点B和点C，与直线相交于点，动点M在线段和射线上运动． (1)求点B和点C的坐标． (2)求的面积． (3)是否存在点M，使的面积是面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)B的坐标为，点C的坐标为 (2)12 (3)存在，点M的坐标是或或 【分析】（1）在中，令，则；令，则，从而可得答案； （2）直接利用三角形的面积公式进行计算即可； （3）设点M的坐标为，求解直线的表达式是，由，可得，当点M在线段上时，如图①，则，此时，当点M在射线上时，如图②，时，，则点的坐标是；时，，则点的坐标是．从而可得答案． 【详解】（1）解：在中，令，则；令，则． 故点B的坐标为，点C的坐标为． （2）∵，， ∴． （3）存在点M使．   理由如下： 设点M的坐标为，直线的表达式是． ∵， ∴，解得． ∴直线的表达式是． ∵， ∴． ∴． 当点M在线段上时，如图①，则，此时， ∴点M的坐标是． 当点M在射线上时，如图②，时，，则点的坐标是； 时，，则点的坐标是． 综上所述，点M的坐标是或或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，求解一次函数与坐标轴的交点坐标，坐标与图形，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 【变式6-3】（2023·河北沧州·校考一模）如图，直线l1的表达式为．且与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2经过点，且与直线l1交于点． (1)写出点D的坐标，并求出直线l2的表达式； (2)连接，求的面积； (3)直线上是否存在一点P，使得的周长最小？若不存在，请说明理由；若存在，求出点P的坐标． 【答案】(1)； (2)4 (3)存在，，理由见解析 【分析】（1）把点代入即可求得点D的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线的解析式； （2）由求得A、B的坐标，从而求得的长，然后根据三角形面积公式求得即可； （3）作点A关于直线l2的对称点，连接交直线 l2于P，连接，此时的值最小，即的周长最小，求出的坐标，然后求得直线的解析式，最后与直线的解析式联立，解方程即可解决问题． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为， ∵直线经过点，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）由直线l1的表达式为可知，， ∴， ∴； （3）存在，理由如下： 作点A关于直线的对称点，连接交直线 l2于P，连接，此时的值最小，即的周长最小， 由直线l2为可知，， 由轴对称的性质可知， ∴， ∵，， ∴ 设此时的解析式为，则有， 解得， ∴直线的解析式为， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数的性质、待定系数法求一次函数的解析式以及轴对称最短问题等，解题的关键是熟练掌握待定系数法、学会根据轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 【题型七 一次函数中折叠问题】 例7. （2023秋·山东济南·八年级统考期末）如图1，在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点．与轴交于点，直线与轴交于点 (1)填空：______，______，______； (2)如图2．点为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交轴于点． ①求线段的长度； ②当点落在轴上时，求点的坐标； ③若为直角三角形，请直接写出满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②点的坐标为；③点的坐标为或 【分析】（1）把代入，求出，得直线：，再把代入，求出，得点的坐标，然后把代入，求出； （2）①根据折叠的性质得出，勾股定理即可求解； ②过点作轴于点，作轴于点，求出，即可得出，②求出，可得，即可得答案； ③分两种情况讨论，当时，求出，得，得，得点坐标；当时，设，则，由勾股定理得：，求出，得点坐标． 【详解】（1）解：把代入， ， ， 直线：， 把代入， ， 把代入， ， ， ； 故答案为：． （2）①∵直线：令，解得， ∴点的坐标为， ∵ ∴， ∵折叠， ∴； ②如下图，过点作轴于点，作轴于点，则，， ， ， ， 点的坐标为； ③ 如下图， 当时，由翻折得， ， ， ， ， 点的坐标为； 如图， 当时， 设，则， 在中由勾股定理得： ， 解得： ， 点的坐标为， 综上，点的坐标为或． 【点睛】此题考查了一次函数，勾股定理，直角三角形的性质和判定，翻折的性质，解题的关键是作辅助线． 【变式7-1】（2023春·八年级课时练习）如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点是线段上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的处，若是轴负半轴上一动点，且是等腰三角形，则的坐标为______． 【答案】或或 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点，的坐标，利用勾股定理可求出的长度，进而可得出的长度，设，则在中，利用勾股定理即可得出关于的方程，解之即可得出的值，进而可得出点的坐标，进一步求得，然后分三种情况讨论求得点的坐标即可． 【详解】当时，， 点的坐标为； 当时，，解得：， 点的坐标为． ． 由折叠的性质可得， ． 设，则． 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， 点的坐标为， ， 当时， ∵， ∴点O是的中点， ∴； 当时，则； 当时，设，则， ，解得， 此时； 综上，点的坐标为或或； 故答案为：或或 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、折叠的性质以及勾股定理，等腰三角形的定义，在中，利用勾股定理找出关于的方程是解题的关键． 【变式7-2】（2023春·重庆北碚·八年级重庆市朝阳中学校考阶段练习）如图，直线与轴、轴分别相交于点，，点在轴上，将沿折叠，点恰好落在直线上，求点的坐标． 【答案】或 【分析】由题意可求点，点坐标，即可求得，分点在正半轴和负半轴两种情况讨论，根据勾股定理可求点坐标． 【详解】解：如图，若点在正半轴上，将沿翻折，点恰好落在直线上点处， ∵直线与轴、轴分别相交于点，， 当时，，得：， 当时，， ∴，， ∴，， ∴， ∵将沿翻折，点恰好落在直线上点处， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； 如图，若点在负半轴上，将沿翻折，点恰好落在直线上点处， ∴，，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点的坐标是或． 【点睛】本题考查一次函数图像与坐标轴的交点坐标，勾股定理，折叠的性质，运用了分类讨论的思想．熟练运用折叠的性质是解题的关键． 【变式7-3】（2023春·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点A，B的坐标； (2)在直线上是否存在点P，使是以为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若将折叠，使边落在AB上，点O与点D重合，折痕为BC，求折痕所在直线的表达式． 【答案】(1)，； (2)存在，点坐标为； (3)折痕的解析式为． 【分析】（1）利用直线解析式，容易求得、的坐标； （2）作线段的垂直平分线，交轴于点，交于点，则点即为所求，可求得点坐标，则容易求得点坐标； （3）可设，由折叠的性质可得到，，在中，由勾股定理可得到关于的方程，可求得的值，则可求得点坐标，利用待定系数法可求得直线的解析式． 【详解】（1））在中，令可得，令可求得， ，； （2）如图1，作线段的垂直平分线，交轴于点，交于点， 则，即点即为满足条件的点， ， ， 在中，当时，可得， 点坐标为； （3）如图2， 设，则， ， ， 由折叠的性质可得，，， ， 在中，由勾股定理可得，即，解得， ，， 设直线解析式为， ，解得， 折痕的解析式为． 【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及函数图象与坐标轴的交点、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、待定系数法、方程思想等知识．在（1）中注意求函数图象与坐标轴的交点的求法，在（2）中确定出点的位置是解题的关键，在（3）中求得点的坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 一、选择题 1．（2023春·福建泉州·八年级统考期末）对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．当时，随着的增大而减小 B．当时，随着的增大而增大 C．当时，图象一定经过点 D．当时，图象一定经过点 【答案】D 【分析】由题意知，当时，随着的增大而增大，进而可判断A的正误；当时，随着的增大而减小，进而可判断B的正误；当时，，当，，即图象经过点，进而可判断C的正误；当时，，当，，即图象一定经过点，进而可判断D的正误． 【详解】解：由题意知，当时，随着的增大而增大，A错误，故不符合要求； 当时，随着的增大而减小，B错误，故不符合要求； 当时，， 当，，即图象经过点，C错误，故不符合要求； 当时，，当，，即图象一定经过点，D正确，故符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 2．（2023春·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考阶段练习）在同一坐标系中，直线：和：的位置可能是(　　) A．  B．C．  D．   【答案】B 【分析】根据正比例函数和一次函数的图像与性质，对平面直角坐标系中两函数图像进行讨论即可得出答案． 【详解】A、由正比例函数图像可知，即，故由一次函数图像与y轴的交点在原点的上方，故选项A不符合题意； B、由正比例函数图像可知，即，故由一次函数图像与y轴的交点在原点的上方，但无法判断正负，因此增减都可以，故选项B符合题意； C、由正比例函数图像可知，即，故由一次函数图像与y轴的交点在原点的下方，故选项C不符合题意； D、由正比例函数图像可知，即，故由一次函数图像与y轴的交点在原点的上方，故选项D不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查的是正比例函数和一次函数的图像与性质，熟练掌握正比例函数和一次函数的图像与性质是解决本题的关键． 二、填空题 3．（2023·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，将直线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后的新直线与x轴的交点为，则m的值为___________． 【答案】 【分析】根据平移的规律求出平移后的直线解析式，然后代入，即可求出m的值． 【详解】解：将直线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到，即， ∴平移后的直线与x轴交于， ∴， 解得， 故答案为． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 4．（2023秋·福建漳州·八年级统考期末）关于一次函数，现给出以下结论： ①当时，的值随着值的增大而增大； ②将该函数图象向下平移2个单位后得到直线，则； ③若点和均在该函数图象上时，则； ④若它的图象与直线是关于轴对称，则． 其中正确的结论是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①④ 【分析】利用函数的增减性质可判断①；利用平移的性质可判断②；把两个点的坐标分别代入，解方程组消去m，可判断③；根据轴对称的性质可判断④． 【详解】解：①当时，则，故的值随着值的增大而增大；故①说法正确； ②将该函数图象向下平移2个单位后，得到， 则，， 解得，故②说法错误； ③若点和均在该函数图象上时， 则， 解得，故③说法错误； ④直线与轴交于点，与轴交于点， 依题意得，， 解得，故④说法正确； 综上，正确的说法有①④， 故答案为：①④． 【点睛】本题考查的是两条直线相交或平行问题，一次函数图象与系数的关系，数形结合解题是关键． 三、解答题 5．（2023春·江西南昌·八年级统考期末）如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．    (1)求A、B两点的坐标； (2)若在x轴上有一点P，使，求的面积． 【答案】(1)， (2)或12 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标； （2）由点A，B的坐标可得出的长，结合可得出点P的坐标，进而可得出的长，再利用三角形的面积计算公式，即可求出的面积． 【详解】（1）在中，当时，；当时，． ∴，． （2）∵，， ∴，． ∵， ∴． 当时，， ∴． 当时，， ∴． 综上所述，或12 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：（1）牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式；（2）利用三角形的面积计算公式，求出的面积． 6．（2023春·上海静安·八年级上海市回民中学校考期中）在直角坐标中，直线与平行，且经过点，将直线向上平移3个单位，得到直线 (1)求这两条直线的解析式； (2)如果直线与x轴、y轴分别交于点A，B，求的面积． 【答案】(1)， (2)16 【分析】（1）根据平移可知，利用待定系数法求出解析式即可； （2）根据解析式求出A，B两点坐标，然后求出面积即可． 【详解】（1）解：∵与平行， 设直线的解析式为：， 把点代入得：， ∴直线的解析式为：， ∴直线向上平移3个单位，得到直线的解析式为：， （2）解：令，则， 解得：， ∴， 当时，， ∴ ∴． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，求一次函数与坐标轴交点坐标，掌握一次函数图象平行时值不变是解题的关键． 7．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于B，C两点，其中． (1)求k的值； (2)若点是第一象限内直线上的一个动点，当点A运动过程中，试求的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x取值范围； (3)点A是直线上的一个动点，当点A运动到什么位置时，的面积是1． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）先确定出点B的坐标，代入函数解析式中即可求出k； （2）借助（1）得出的函数关系式，利用三角形的面积公式即可求出函数关系式； （3）分两种情况考虑，利用三角形的面积求出求出点A坐标． 【详解】（1）∵， ∴， ∵点B在直线上， ∴， ∴； （2）由（1）知，， ∴直线BC解析式为， ∵点是第一象限内的直线上的一个动点， ∴， ∴， （3）如图， 由（2）知，， ∵的面积是1； ∴， ∴， 当点A在x轴下方时，， ∴，此时， 即； 综上，点A的位置为或． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，解本题的关键是求出点A的坐标． 8．（2023春·四川广安·八年级广安中学校考阶段练习）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点是线段上的一个动点（不与，重合），连接． (1)求，两点的坐标； (2)求的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当的面积时，第一象限内是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点坐标为，点坐标为 (2) (3)或 【分析】（1）分别求出当时，y的值，当时，x的值即可得到答案； （2）如图所示，过点作轴，，先求出，，再根据三角形面积公式进行求解即可； （3）分当时，过点作轴于，过点作于，当时，如图所示，过点作轴于M，利用一线三垂直模型证明三角形全等，然后利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，，当时，， 解得：， ∴点坐标为，点坐标为； （2）解：如图所示，过点作轴， ∵点是线段上的一个动点（不与，重合）， ∴，， ∴的面积， ∴； （3）解：∵， ∴， 解得：， ∴点坐标为， 当时，过点作轴于，过点作于，   ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 当时，如图所示，过点作轴于M， 同理可证， ∴，， ∴， ∴， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了求一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，列函数关系式等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 9．（2023秋·广东佛山·八年级校考期末）如图，直线的函数解析式为，且与轴交于点，直线经过点，直线交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)求的面积； (3)在直线是否存在点，使得面积是面积的2倍？如果存在，请求出坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)存在，点或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）联立两直线解析式，求出点C的坐标，再求出点D的坐标，然后根据进行求解即可； （3）分当点在点上方时：，当点在点下方时：，两种情况求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为，将代入得：， 解得：， ∴直线的函数解析式为； （2）解：联立两直线解析式成方程组得， 解得： ∴点的坐标为， 当时，解得， ∴点的坐标为， ∴； （3）解：由题意得： ∴当点在点上方时：， 当点在点下方时：， ∴或， 当时，，此时点的坐标为， 当时，，此时点的坐标为， 综上所述：存在点或符合题意． 【点睛】本题主要考查了一次函数综合，求一次函数解析式，求直线围成的图形面积等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 10．已知一次函数y=-3x+3的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C(3,0)． (1)如图1，点D与点C关于y轴对称，点E在线段BC上且到两坐标轴的距离相等，连接DE，交y轴于点F．求点E的坐标； (2)△AOB与△FOD是否全等，请说明理由； (3)如图2，点G与点B关于x轴对称，点P在直线GC上，若△ABP是等腰三角形，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)E（，） (2)△AOB≌△FOD，理由见详解； (3)P（0，-3）或（4，1）或（，）. 【分析】（1）连接OE，过点E作EG⊥OC于点G，EH⊥OB于点H，首先求出点A，点B，点C，点D的坐标，然后根据点E到两坐标轴的距离相等，得到OE平分∠BOC，进而求出点E的坐标即可； (2)首先求出直线DE的解析式，得到点F的坐标，即可证明△AOB≌△FOD； (3)首先求出直线GC的解析式，求出AB的长，设P（m，m-3），分类讨论①当AB=AP时，②当AB=BP时，③当AP=BP时，分别求出m的值即可解答. (1) 解: 连接OE，过点E作EG⊥OC于点G，EH⊥OB于点H， 当y=0时，-3x+3=0， 解得x=1， ∴A（1，0）， 当x=0时，y=3， ∴OB=3，B（0，3）， ∵点D与点C关于y轴对称，C（3，0），OC=3， ∴D（-3，0）， ∵点E到两坐标轴的距离相等， ∴EG=EH， ∵EH⊥OC，EG⊥OC， ∴OE平分∠BOC， ∵OB=OC=3， ∴CE=BE， ∴E为BC的中点， ∴E（，）； (2) 解: △AOB≌△FOD， 设直线DE表达式为y=kx+b， 则， 解得：， ∴y=x+1， ∵F是直线DE与y轴的交点， ∴F（0，1），   ∴OF=OA=1， ∵OB=OD=3，∠AOB=∠FOD=90°， ∴△AOB≌△FOD； (3) 解:∵点G与点B关于x轴对称，B（0，3）， ∴点G（0，-3）， ∵C（3，0）， 设直线GC的解析式为：y=ax+c， ， 解得：， ∴y=x-3， AB==  ， 设P（m，m-3）， ①当AB=AP时， = 整理得：m2-4m=0，   解得：m1=0，m2=4， ∴P（0，-3）或（4，1）， ②当AB=BP时，= m2-6m+13=0, △＜0 故不存在， ③当AP=BP时， =， 解得：m=， ∴P（， ）， 综上所述P（0，-3）或（4，1）或（，）， 【点睛】此题主要考查待定系数法求一次函数，一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定，勾股定理. 11．（2023秋·山东济南·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，与y轴交于点，与直线交于点E．已知点D的坐标为，点C在A的左侧且． (1)分别求出直线和直线的表达式； (2)在直线上，是否存在一点P，使得，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在坐标轴上，是否存在一点Q，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，若点P在右侧，；若点P在左侧， (3)存在，或 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）先求出交点和，再分两种情况：①若点P在右侧，②若点P在左侧，利用三角形面积，分别求解即可； （3）分两种情况：①当时，交x轴于Q，②当时，交x轴于Q，分别 求解即可． 【详解】（1）解：将，代入直线：，得： ，解得：， ∴直线：， ∵，， ∴， 设直线：() 将，代入直线：，得： ，解得：， ∴直线：． （2）解：联立，解得：， ∴， ∴， ①若点P在右侧， ∵， ∴， ∴，解得， ∴ ②若点P在左侧， ∵S△BEP=8， ∴， ∴，解得， 当时，， ∴． （3）解：分两种情况：①当时，交x轴于Q， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，交x轴于Q， 同理， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理，得， ∴， ∴， 综上，存在，或． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，从标与图形，三解形面积，勾股定理，等腰直角 三角形，注意分类讨论思想的应用是解题的关键． 12．（2023春·八年级课时练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段上，将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，若，． (1)求直线的解析式． (2)求的值． (3)直线CD上是否存在点P使得，若存在，请直接写出P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据勾股定理可得，设，解方程求出点B的坐标，进而求出直线的解析式； （2）设，根据勾股定理可以求出长，进而求出三角形的面积比； （3）分点P在第三象限内和第一象限内两种情况解题即可． 【详解】（1）由题知，设，则． 在中，， 即：， ， ∴， 又， ∴． （2）设，则， 由折叠性质知：． 在中：， ∴， ∴． ∴， ∴，， ∴． （3），，理由如下： 如图，当点P在第三象限内时，过C作于M，过M作轴，轴于E，F， 则,， 又∵ ∴ ∴， ∵轴，轴 ∴为正方形 ∴， ∴) ∴直线解析式为：， ∵两点坐标为： ∴直线解析式为：， 联立解得：， ∴ 如图，当点P在第一象限内时，过C作于M，过M作轴，轴于E，F， 则,， 又∵ ∴ ∴， ∵轴，轴 ∴为正方形 ∴， ∴) ∴直线解析式为：， ∵两点坐标为： ∴直线解析式为：， 联立解得：， ∴ 综上所述，或 【点睛】本题考查一次函数的解析式，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是分清点所在象限，正确写出点的坐标． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$