数列讲义十七-2025届高三数学一轮复习

高中数学 2025高考--数列（一轮复习）课时十七 知识点一 等差数列通项公式的基本量计算,等比数列通项公式的基本量计算,数列不等式能成立 典例1、已知数列的首项，且满足N*）． （1）求证：数列为等比数列； （2）若＜100，求满足条件的最大正整数n． 随堂练习：已知数列和满足，，且. （1）求数列和的通项公式； （2）设数列的前项和为，求满足的正整数的值. 典例2、已知数列的前n项和为． （1）记，证明：是等差数列，并求的通项公式； （2）记数列的前n项和为，求，并求使不等式成立的最大正整数n． 随堂练习：已知数列中，，数列的前项和为满足. （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的前项和. 典例3、已知数列的前项和为，点在直线上． （1）求数列的前项和，以及数列通项公式； （2）若数列满足：，设数列的前项和为，求的最小值． 随堂练习：已知等差数列的前n项和为. （1）若数列为等差数列，且，求； （2）若，求公差d的取值范围. 知识点二 裂项相消法求和,累乘法求数列通项,利用an与sn关系求通项或项,利用等差数列通项公式求数列中的项 典例4、已知数列为无穷递增数列，且．定义： 数列：表示满足的所有i中最大的一个．数列：表示满足的所有i中最小的一个（，2，3…） （1）若数列是斐波那契数列，即，，（，2，3，…），请直接写出，的值； （2）若数列是公比为整数的等比数列，且满足且，求公比q，并求出此时，的值； （3）若数列是公差为d的等差数列，求所有可能的d，使得，都是等差数列． 随堂练习：对于数列，，…，，定义变换，将数列变换成数列，，…， ，，记，，．对于数列，，…，与，，…，，定义．若数列，，…，满足，则称数列为数列． （1）若，写出，并求； （2）对于任意给定的正整数，是否存在数列，使得若存在，写出一个数列，若不存在，说明理由： （3）若数列满足，求数列A的个数． 典例5、已知等比数列的各项均为正数，且 （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的最大项. 随堂练习：在数列{an}中，（n∈N*），. （1）求； （2）设为的前n项和，求的最小值． 典例6、已知等比数列公比为正数，其前项和为，且.数列满足：. （1）求数列的通项公式： （2）求证：. 随堂练习：定义：对于任意一个有穷数列，第一次在其每相邻的两项间都插人这两项的和，得到的新数列称之为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和称之为二阶和数列，以此类推可以得到n阶和数列，如的一阶和数列是，设它的n阶和数列各项和为． （1）试求的二阶和数列各项和与三阶和数列各项和，并猜想的通项公式（无需证明）； （2）若，求的前n项和，并证明：． 2025高考--数列（一轮复习）课时十七答案 典例1、答案： （1）证明见解析 （2） 解：（1）， ， 又， ∴数列是以为首项，为公比的等比数列． （2）由（1）可知，， ， 若，则， 令，所以在上单调递增， 且， 所以满足条件的最大正整数． 随堂练习：答案： （1），；（2）或. 详解:（1）对任意的，，则，且， 所以，数列是等比数列，且首项和公比均为， 故，， 因为， 所以，； （2）设数列的前项和为， 则， 所以，， 上式下式，得， 所以，， ， 则， 由可得， 整理可得，解得， 因为，故或. 典例2、答案： （1）证明过程见解析，； （2）；n为5． 解：（1）由，得， 即， ． 即， 又， 数列是以1为首项，2为公差的等差数列， ； （2）由（1）知． ，① ，② ①-②，得 ， ， ， 因为 所以，所以是递增数列， ， 使不等式成立的最大正整数n为5． 随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2） 解：（1）当时，，； 当时，， 则， 又满足， 数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）得：，则，； ， 则， ， . 典例3、答案：（1），， （2）-15 解：（1），则， 当时，；当时，； 而，∴，. （2），当时，，当时，， 故. 随堂练习：答案：（1）；（2）或. 解: （1）∵数列为等差数列，设其公差为， ∴， ∴， ∴当时， 当时也应成立，此时，故 此时，. （2）∵为等差数列，首项为， ∴，， ∴， ∴， 整理得，， 上述方程对有解，故， ∴. 典例4、答案： （1）, （2）,, （3） 解：（1）数列是斐波那契数列,则的项分别是 当时,则;当时,则,当时,则;当时, 则 以此类推,可知当时,表示满足的所有i中最大的一个, 所以,表示满足的所有i中最小的一个,所以 （2）因为数列是公比为整数的等比数列,故公比 当时,的项为,表示满足的所有i中最大的一个,所以, 同理;表示满足的所有i中最小的一个,所以,同理,符合题意. 当时,的项为,表示满足的所有i中最大的一个，不符合,当时,的项增长的更快速,此时,故不符合题意.综上,,, （3）由数列是公差为d的等差数列,且单调递增,所以,又因为, 设数列,的公差分别为,则 则, 当时,满足 由于是任意正整数,故可知 同理可知当时,满足 由于是任意正整数,故可知,综上可知,又因为, 所以可以是任意一个正整数.故 随堂练习：答案： （）1；；（2）不存在适合题意的数列；（3）. 解：（1）由， 可得， ， ∴； （2）∵， 由数列A为数列，所以， 对于数列，，…，中相邻的两项， 令，若，则，若，则， 记中有个，有个，则， 因为与的奇偶性相同，而与的奇偶性不同， 故不存在适合题意的数列； （3）首先证明， 对于数列，，…，，有，，…，，， ，，…，，，，，…，，， ，，…，，，，，…，，， ∵， ， ∴， 故， 其次，由数列为数列可知，， 解得， 这说明数列中任意相邻两项不同的情况有2次， 若数列中的个数为个，此时数列有个，所以数列的个数为个. 典例5、答案： （1）； （2）. 解：（1）设等比数列的公比为， 由得，，解得：， ； （2）； 当取3或4时，取得最大项. 随堂练习：答案： （1） （2）当n为偶数时，取得最小值为－242；当n为奇数时，取最小值为－243 解：（1）∵（n∈N*），① ② ②－①得，. 又∵a2＋a1＝2－44，a1＝－23， ∴a2＝－19， 同理得，a3＝－21，a4＝－17. 故a1，a3，a5，…是以为首项，2为公差的等差数列， a2，a4，a6，…是以为首项，2为公差的等差数列． 从而 （2）当n为偶数时， 故当n＝22时，Sn取得最小值为－242. 当n为奇数时， . 故当n＝21或n＝23时，Sn取得最小值－243. 综上所述：当n为偶数时，Sn取得最小值为－242；当n为奇数时，Sn取最小值为－243. 典例6、答案： （1） （2）证明见解析 解：（1） 当时，， ， 又 ，经检验符合上式， （2）. . 随堂练习：答案： （1），， （2），证明见解析 解：（1）由题意得， ， ， ， ，… ， 由等比数列的前n项和公式可得，， 所以的通项公式． （2）由于， 所以， 则， 因为，所以，所以， 又随n的增大而减小， 所以当时，取得最大值，故． ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$