数列讲义十六-2025届高三数学一轮复习

高中数学 2025高考--数列（一轮复习）课时十六 知识点一 由递推关系证明数列是等差数列,错位相减法求和 典例1、已知为数列的前项和,． （1）证明:数列为等比数列; （2）求数列的前项和． 随堂练习：已知数列中，，且满足. （1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 典例2、已知数列的前n项和为，正项等比数列的首项为，且． （1）求数列和的通项公式； （2）求使不等式成立的所有正整数n组成的集合． 随堂练习：已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为． （1）若，求； （2）若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围． 典例3、已知数列的前n项和. （1）求的通项公式． （2）的前多少项和最大？ （3）设，求数列的前n项和. 随堂练习：已知数列满足，设. （1）证明：数列为等差数列，并求的通项公式； （2）求数列的前项和的最小值. 知识点二 由递推关系证明数列是等差数列,求等差数列前n项和的最值,等比中项的应用, 利用an与sn关系求通项或项 典例4、设等比数列的公比，且满足，，，成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足：对任意正整数n，均成立，求数列的前n项和 的最大值. 随堂练习：公差非零的等差数列的前n项和为，若是，的等比中项，． （1）求； （2）数列为等差数列，，数列的公差为，数列的前n项和为，是否存在最大或者最小值？如果存在求出最大或者最小值，如果不存在请说明理由． 典例5、已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列． 随堂练习：已知数列满足：，，记数列， （1）证明数列是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）是否存在数列的不同项使之称为等差数列？若存在，请求出这样的不同项；若不存在，请说明理由． 典例6、已知数列的前项和为，，. （1）求数列的通项公式和前项和； （2）设，数列的前项和记为，证明：. 随堂练习：已知正项数列的前项和满足：. （1）求数列的通项公式； （2）令，求证：数列的前项和. 2025高考--数列（一轮复习）课时十六答案 典例1、答案：（1）证明见解析 （2） 解：（1）证明:由题知, , 解得:故, 由, 可得,, 两式相减可得: ,, 所以,, 所以,, 所以数列是以6为首项,2为公比的等比数列; （2）由(1)得数列是以6为首项,2为公比的等比数列, 所以, 故, 则, 设,其前n项和为, 则①, ②, ①-②可得: , 所以, 所以, 综上:. 随堂练习：答案： （1）证明见解析； （2） 解：（1）， 数列是以为首项，以5为公比的等比数列. ， （2） ， 即①， ②， 由①②得： ， ， 化简得：. 典例2、答案： （1）, （2） 解：（1）因为数列的前n项和为， 所以当时，； 当时，， 满足上式，故. 所以，从而,化为， 又因为数列为正项等比数列且，设公比为，且， 又，解得或（舍），从而. （2）不等式转化为，即， 记，， 当时，，从而单调递减，所以. 因此使不等式成立的所有正整数组成的集合为. 随堂练习：答案： （1） （2） 解：（1）因为， 所以， 所以，又， 所以， 所以， 所以， （2）因为，，成等比数列， 所以， ， ， 由已知方程的判别式大于等于0， 所以， 所以对于任意的恒成立， 所以对于任意的恒成立， 当时，， 当时，由，可得 当时，， 又 所以 典例3、答案：（1） （2）前16项或前17项的和最大 （3） 解：（1）因为，当时， 当时，所以， 经检验当时也成立，所以； （2）令，即，所以， 故数列的前17项大于或等于零． 又，故数列的前16项或前17项的和最大． （3）由（2）知，当时，； 当时，， 所以当时，． 当时， ． 故． 随堂练习：答案： （1）证明见解析， （2） 解：（1）因为，所以，由， 所以，且， 所以数列以为首项，以1为公差的等差数列， 所以； （2）由（1）可知，所以， 所以当或时取得最小值，且 典例4、答案：（1）；（2）49. 解:（1）由题意，等比数列满足，，，成等差数列， 可得，两式相减得，即， 代入，可得， 解得或（舍）， 所以，所以数列的通项公式为. （2）对任意正整数n，均成立， 当时，可得， 当时， 两式相减得， 由（1）知，所以当时，， 当时也满足此式，数列为等差数列， 故数列的前n项和， 所以当时，数列的前n项和的最大值为49. 随堂练习：答案： （1）60 （2）存在最大值66 解：（1）记等差数列的公差为， 由题知，整理得 因为 所以可解得 所以 （2）由（1）可知 因为数列的公差为， 所以 因为的对称轴为， 所以当时，有最大值 典例5、答案：(1) . (2)见证明 解：(1)当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1. 又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，两式相减得， 所以{an}是首项为1，公比为的等比数列，所以. (2)证明：(反证法)假设存在三项按原来顺序成等差数列， 记为ap＋1，aq＋1，ar＋1(p＜q＜r，且p，q，r∈N*)，则，所以2·2r－q＝2r－p＋1.① 又因为p＜q＜r，所以r－q，r－p∈N*. 所以①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立．所以假设不成立，原命题得证． 随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2）；（3）不存在，理由见解析． 解：（1）由已知    ，  ，            所以  是  为首项，为公比的等比数列                   （2）由（1）得  所以                         （3）假设存在  满足题意成等差数列，  代入得 ， 所以，即 ，左偶右奇不可能成立． 所以假设不成立，这样三项不存在 典例6、答案： （1）， （2）证明见解析 解：（1）由，得 两式相减可得， 因为，得 数列为3，，3，，3，，3， 即， 当为偶数时，； 当为奇数时，； （2）由 则有 所以， 随堂练习：答案： （1） （2）证明见解析 解：（1）由题意：， 当时，可得， 两式相减得到 又，是首项为，公比为的等比数列 的通项公式为. （2）由题意知， ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$