数列讲义十五-2025届高三数学一轮复习

高中数学 2025高考--数列（一轮复习）课时十五 知识点一等差数列通项公式的基本量计算,等比数列通项公式的基本量计算,数列不等式能成立（有解） 典例1、已知数列的前n项和，数列满足． （1）求证：数列是等差数列； （2）设，数列的前n项和为，求满足的n的最大值． 随堂练习：已知单调递减的等比数列满足，且是，的等差中项． （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前项和为，求满足不等式成立的所有正整数，组成的有序实数对． 典例2、数列满足，． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前20项和． 随堂练习：已知数列满足， （1）令，求，及的通项公式； （2）求数列的前2n项和. 典例3、已知的前n项和为，，且满足______，现有以下条件： ①；②；③ 请在三个条件中任选一个，补充到上述题目中的横线处，并求解下面的问题： （1）求数列的通项公式； （2）若，求的前n项和，并证明：． 随堂练习：已知等差数列与正项等比数列，满足，，. （1）求数列和的通项公式； （2）在①，②，③这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并完成求解.若______，求数列的前项和.（注：若多选，以选①评分） 知识点二 等差数列通项公式的基本量计算,裂项相消法求和,累乘法求数列通项 典例4、已知数列，，，数列为等比数列，满足，且，，成等差数列. （1）求数列和的通项公式； （2）记数列满足：，求数列的前项和. 随堂练习：已知等差数列的前项和为，数列为正项等比数列，且， ． （1）求数列和的通项公式； （2）若设的前项和为，求． 典例5、已知数列的前项和为. （1）求出的通项公式； （2）求数列前n项和最小时n的取值 随堂练习：记为公差不为0的等差数列的前n项和，已知，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）求，并求的最小值． 典例6、对于数列：，，(，)，定义“变换”：将数列变换成数列：，，，其中()，且．这种变换“记作． 继续对数列进行“变换”，得到数列：，，，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束． （1）试问：2，6，4经过不断的“变换”能否结束？若能，请依次写出经过“变换”得到的各数列；若不能，说明理由； （2）设：，，，．若：，2，()，且的各项之和为2012．求，； （3）在（2）的条件下，若数列再经过次“变换”得到的数列各项之和最小，求的最小值，并说明理由． 随堂练习：对于序列，实施变换T得序列，记作；对继续实施变换T得序列，记作．最后得到的序列只有一个数，记作． （1）若序列为1，2，3，求； （2）若序列为1，2，…，n，求； （3）若序列A和B完全一样，则称序列A与B相等，记作，若序列B为序列的一个排列，请问：是的什么条件？请说明理由． 2025高考--数列（一轮复习）课时十五答案 典例1、答案：（1）证明见解析；（2）n的最大值为4． 解:（1）证明：∵， ∴当时，，即， 当时，，则，整理得， ∵，即． 当时，，又 ∴数列是首项和公差均为1的等差数列． （2）由（1）得， ∴． ∴ ∴ 由，得，故， ∴n的最大值为4． 随堂练习：答案：（1）； （2）正整数m，n组成的有序实数对为(1，1)，(2，1)，(2，2). 解：（1）依题意，有，代入， 得，解得，所以， 设等比数列的公比为q，则， 解得或. 又单调递减，所以，，于是． （2）由（1）知，，所以． 则 因为，所以又， 所以，所以m=1，2． 当m=1时，由，解得n=1； 当m=2时，由，解得n=1，2． 综上，满足不等式的所有正整数m，n组成的有序实数对为(1，1)，(2，1)，(2，2)． 典例2、答案： （1） （2） 解：（1），两式相除得：， 当时， ， 当时， ， 综上所述，的通项公式为： （2）由（1）知： 数列的前20项和： 随堂练习：答案： （1），， （2） 解：（1）由题意得，，，，， ，，， 当时，， 又，所以是以1为首项，2为公比的等比数列，所以. （2）由（1）知，所以， 所以 . 典例3、答案： （1）； （2）；证明见解析. 解：（1）若选择条件①：因为， 当时，， 两式相减得， 所以当时，当n＝1时符合， ∴； 若选择条件②：因为， 当时， 两式相减得，， ∴是首项为2，公比为2的等比数列， ∴； 若选择条件③：∵， ∴时，， 两式相减得， 当n＝1时，，可得，， ∴时成立， ∴是首项为2，公比为2的等比数列， ∴； （2）由（1）可知， 则， 所以， 因为， 所以各项均为正数， 所以， 又因为， 所以． 随堂练习：答案： （1）， （2）见解析 解：（1）设等差数列的公差为，正项等比数列的公比为， 由已知得，则，解得， 所以，； （2）选①，则有 即. 选②，则有，设数列的前项和为， ，， 两式相减，， 解得. 选③，则由， 即. 典例4、答案： （1）， （2） 解：（1）由题意，，，，令得，又数列为等比数列， 所以，即数列为公比为等比数列. 所以由可得即， 数列是首项为，公差为的等差数列， 数列的通项公式：. 由，，成等差数列，得：，，，有. （2）由（1）知，数列的奇数项是首项为3，公差为4的等差数列， 偶数项是以首项为4，公比为4的等比数列. . 随堂练习：答案： （1）； （2） 解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， ， 或是正项等比数列， ， ． （2）由（1）知， ， ． 典例5、答案：（1）；（2）当或时，数列前n项和取得最小值. 解:（1）因为， 所以当时，； 当时，； 显然是，也满足， 所以； (2) 因为， 所以数列为等差数列，其前n项和 又，所以当或时，取得最小值. 随堂练习：答案：（1） （2），最小值为 解：（1）因为，且，，成等比数列，所以， 即，解得 即 （2） 当或时，有最小值 典例6、答案：（1）不能，理由见解析（2）a＝1006，b＝1004 （3）502，理由见解析 解:（1）数列A：2，6，4不能结束，各数列依次为4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2；…． 以下重复出现，所以不会出现所有项均为0的情形． （2）因为B的各项之和为2012，且a≥b，所以a为B的最大项， 所以|a1﹣a3|最大，即a1≥a2≥a3，或a3≥a2≥a1． 当a1≥a2≥a3时，可得 由a+b+2＝2012，得2（a1﹣a3）＝2012，即a＝1006，故b＝1004． 当a3≥a2≥a1时，同理可得 a＝1006，b＝1004． （3）方法一：由B：b，2，b+2，则B经过6次“T变换” 得到的数列分别为：b﹣2，b，2；2，b﹣2，b﹣4；b﹣4，2，b﹣6； b﹣6，b﹣8，2；2，b﹣10，b﹣8；b﹣12，2，b﹣10． 由此可见，经过6次“T变换”后得到的数列也是形如“b，2，b+2”的数列， 与数列B“结构”完全相同，但最大项减少12． 因为1006＝12×83+10， 所以，数列B经过6×83＝498次“T变换”后得到的数列为8，2，10． 接下来经过“T变换”后得到的数列分别为：6，8，2；2，6，4；4，2，2；2，0，2； 2，2，0；0，2，2；2，0，2，… 从以上分析可知，以后重复出现，所以数列各项和不会更小． 所以经过498+4＝502次“T变换”得到的数列各项和最小，k的最小值为502． 方法二：若一个数列有三项，且最小项为2，较大两项相差2，则称此数列与数列B“结构相同”． 若数列B的三项为x+2，x，2（x≥2），则无论其顺序如何， 经过“T变换”得到的数列的三项为x，x﹣2，2（不考虑顺序）． 所以与B结构相同的数列经过“T变换”得到的数列也与B结构相同， 除2外其余各项减少2，各项和减少4． 因此，数列B：1004，2，1006经过502次“T变换” 一定得到各项为2，0，2（不考虑顺序）的数列． 通过列举，不难发现各项为0，2，2的数列，无论顺序如何， 经过“T变换”得到的数列会重复出现，各项和不再减少． 所以，至少通过502次“T变换”，得到的数列各项和最小，故k的最小值为502． 随堂练习：答案： （1） （2） （3）充分不必要条件 解：（1）序列为1，2，3，，，，即8，． （2）时， 时，． 时，， 时，，， 取时，， 取时，①， 则②， ①②得， 所以． 由序列为1，2，，，可得． （3）序列为序列，2，，的一个排列，．而反之不成立． 例如取序列为：，，，2，1，满足． 因此是的充分不必要条件． ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$