数列讲义十四-2025届高三数学一轮复习

高中数学 2025高考--数列（一轮复习）课时十四 知识点一 写出等比数列的通项公式,由递推关系证明等比数列,求等比数列前n项和, 分组（并项）法求和 典例1、已知数列的前n项和分别是，若 （1）求的通项公式； （2）定义，记，求数列的前n项和． 随堂练习：已知数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）当时，求数列的前n项和为． 典例2、在①且，②且，③正项数列满足这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.问题:已知数列的前项和为，且______? （1）求数列的通项公式: （2）求证：. 随堂练习：设数列的前项和为，已知，__________. （1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明：. 从下列两个条件中任选一个作为已知，补充在上面问题的横线中进行求解（若两个都选，则按所写的第1个评分）：①数列是以为公差的等差数列；②. 典例3、在数列中，已知，()． （1）证明：数列为等比数列； （2）记，数列的前n项和为，求使得的整数n的最小值． 随堂练习：已知数列中，. （1）求证：数列是常数数列； （2）令为数列的前项和，求使得的的最小值. 知识点二 等差数列通项公式的基本量计算,裂项相消法求和,累乘法求数列通项 典例4、已知数列的前n项和为，，，． （1）求的通项公式； （2）证明：． 随堂练习：已知是数列的前n项和，，且． （1）求的通项公式； （2）证明：． 典例5、已知数列的前项和为. （1）求证：数列是等差数列； （2）求的最大值及取得最大值时的值. 随堂练习：已知正项数列的首项为1，其前项和为，满足. （1）求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）若，是的前项和，已知对于都成立，求的取值范围. 典例6、数列满足：或对任意i，j，都存在s，t，使得，其中且两两不相等. （1）若时，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列序号；①；②； ③； （2）记，若证明：； （3）若，求n的最小值. 随堂练习：若数列中的每一项都为实数，且满足，则称为为“数列”. （1）若数列为“数列”且，求的值； （2）求证：若数列为“数列”，则的项不可能全是正数，也不可能全是负数； （3）若数列为“数列”，且中不含值为的项，记前项中值为负数的项的个数为，求所有可能的取值. 2025高考--数列（一轮复习）课时十四答案 典例1、答案：（1）， （2） 解：（1）由，可得 所以是以为首项，以为公比的等比数列 所以，即 又，所以 所以 （2）满足上式，所以 由 当时，；当时， 所以，所以 当时， 当时， 综上， 随堂练习：答案： （1） （2） 解：（1）当时，，则，令，则， 又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即，从而； （2）因为， 所以 ． 典例2、答案： （1） （2）证明见解析 解：（1）选择① 当时，， ， 两式作差得：， 整理得， 所以为常数列，因此， 所以. 选择② 得， 两式相减得，即数列为隔项等差数列，且公差为， 当时，，又，则， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 综合得：； 选择③ 又，得. 当时，， 两式相减得：，即. 又因为，所以，故为公差为1的等差数列， 得. （2）证明：由（1）可得 所以 因为 所以 因此. 随堂练习：答案： （1）选择①②，都有； （2）证明见解析. 解：（1）若选择①数列是以为公差的等差数列，显然其首项为 故，故； 当时，， 当时，，满足. 故的通项公式为； 若选择② 即，整理得： 故，即数列是首项为，公差为的等差数列， 与选择①相同，故的通项公式为. （2）根据（1）中所求可得：，则 故 又，故可得. 典例3、答案： （1）证明见解析；（2）10． 解:（1）证明：由，得，从而， ∴，又， 故数列为等比数列； （2）解：由（1）得，故， ∴， ， 令，则，解得， ∵， ∴． 故使得的整数n的最小值为10； 随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2）最小值为. 解: （1）由得：，即 ，即有数列是常数数列； （2）由（1）知： 即， 当为偶数时，，显然无解； 当为奇数时，，令，解得：， 结合为奇数得：的最小值为 所以的最小值为 典例4、答案： （1） （2）证明见解析 解：（1）因为，， 所以， 所以，所以， 又，也成立， 所以的通项公式． （2）证明：由（1）知， 所以， 所以． 因为，所以，所以，所以，． 随堂练习：答案： （1） （2）证明见解析 解：（1）当时，可得． 当时，， 所以， 所以，所以． 因为，所以， 时也符合，故． （2）证明：由（1）知， 所以， 所以． 因为，所以．得证 典例5、答案： （1）证明见解析；（2）前16项或前17项和最大，最大值为. 解：（1）证明：当时，， 又当时，，满足， 故的通项公式为， ∴. 故数列是以32为首项，为公差的等差数列； （2）令，即，解得， 故数列的前16项或前17项和最大， 此时. 随堂练习：答案： （1）证明见解析， （2）或 解（1）∵，∴， ∵∴，∴， ∴，又由， ∴是以1为首项，1为公差的等差数列； 所以，∴， 当时，， 当时，， 当时，上式也符合，所以. （2），时，，，，，， ∴或5时，，∴或. 典例6、答案： （1）②③ （2）证明见详解 （3）1008 解：（1）由题可知，数列必满足：或1，对任意i，j，都存在s，t， 使得，且两两不相等， 对①，，不满足，故①不符合； 对②，当时，存在， 同理当时，存在，当时，存在，故②符合； 同理对③也满足，故满足题目条件的序列号为：②③； （2）证明：当时，设数列中1，2，3出现的频次为， 由题意知，，假设时，，（对任意）， 与已知矛盾，故，同理可证， 假设，数列可表示为：，显然，故， 经验证时，显然符合，所以，，， 数列的最短数列可表示为：，故； （3）由（2）知，数列首尾应该满足， 假设中间各出现一次，此时，显然满足或1， 对或时显然满足（）； 对，或时显然满足（）； 对，时，则可选取，满足；同理若，， 则可选取，满足； 如果，则可取， 这种情况下每个数最多被选取一次，因此也成立，故对任意i，j，都存在s，t， 使得，其中且两两不相等，故的最小值为1008 随堂练习：答案：（1） （2）证明见解析 （3） 解：（1）因为是数列，且， ，，所以， 解得，所以 （2）证明：假设数列的项都是正数，即，，， 所以，，与假设矛盾，故数列的项不可能全是正数； 假设数列的项全都是负数，则，而，与假设矛盾， 故数列的项不可能全是负数。 （3）解：由（2）可知，数列中项既有负数也有正数， 因此存在最小正整数满足，（）， 设，（），则，，，， ，，，，， 故有，即数列是周期为的数列， 由上可知，，…，这项中，，为负数， ，这两项中一个为正数，另一个为负数，其余都是正数， 因为，当时，； 当时，，，…，这项至多一项为负，且只能是， 在，，…这项中负数项的个数为，当时， 若，则，故为负数，此时，， 若，则，故为负数，此时，； 当时，比为负数，，；综上可知的可能取值为. ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$