数列讲义十三-2025届高三数学一轮复习

高中数学 2025高考--数列（一轮复习）课时十三 知识点一 等差数列通项公式的基本量计算,求等差数列前n项和,裂项相消法求和 典例1、在①，；②；③，是与的等比中项，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．已知为等差数列的前n项和，若________． （1）求； （2）记，已知数列的前n项和，求证： 随堂练习：在①是与的等比中项：②；③这三个条件中任选两个补充到下面的横线中并解答．问题：已知公差不为零的等差数列的前项和为，且满足______． （1）求；（2）若，求数列的前项和． 注：如果选择多个组合分别作答，按第一个解答计分． 典例2、在数列中，，数列的前项和为． （1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）求． 随堂练习：已知数列各项均为正数，且 （1）求的通项公式； （2）设，求． 典例3、已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＋1＝Sn－－，a1＝－1. （1）求证：{2nSn＋2n}是等差数列； （2）若{an}中，只有三项满足，求实数λ的取值范围. 随堂练习：设数列的前n项和为．数列为等比数列，且成等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，求的最小值． 知识点二 由递推关系证明数列是等差数列,求等差数列前n项和的最值,等比中项的应用, 利用an与sn关系求通项或项 典例4、已知数列的各项为正数，其前项和满足，设． （1）求证：数列是等差数列，并求的通项公式； （2）设数列的前项和为，求的最大值． 随堂练习：已知数列的前项和公式为 （1）求的通项公式； （2）求的前项和的最小值． 典例5、已知数列的前项和为，，且．数列为等比数列，． （1）求和的通项公式； （2）设 ，数列的前项和为，求的最小值． 随堂练习：已知正项数列满足，且，设. （1）求证：数列为等比数列并求的通项公式； （2）设数列的前项和为，求数列的前项和. 典例6、有以下真命题：已知等差数列，公差为d，设是数列中的任意m个项，若①，则有②. （1）当时，试写出与上述命题中的①，②两式相对应的等式； （2）若为等差数列，，且，求的通项公式. （3）试将上述真命题推广到各项为正实数的等比数列中，写出相应的真命题，并加以证明. 随堂练习：定义：对于任意一个有穷数列，第一次在其每相邻的两项间都插人这两项的和，得到的新 数列称之为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和称之为二阶和数列，以此类推可以得到n阶和数列，如的一阶和数列是，设它的n阶和数列各项和为． （1）试求的二阶和数列各项和与三阶和数列各项和，并猜想的通项公式（无需证明）； （2）若，求的前n项和，并证明：． 2025高考--数列（一轮复习）课时十三答案 典例1、答案： （1） （2）证明见解析 解：（1）选择条件①：设等差数列的公差为d， 则，解得， 故； 选择条件②：， 当时，，即， 当时，，也适合上式，故； 选择条件③：设等差数列的公差为，则， 解得、或、（不合题意），故． （2）证明：因为，所以， 故，得证. 随堂练习：答案： （1） （2） 解：（1）方法1：选①和③ ，整理得， 设等差数列的公差为，则有， 整理得,，解得， 又由，可得，解得，故，所以， 方法2：选①和② ，，所以，， 设等差数列的公差为，则有， 化简得，解得，，则， 方法3：选②和③， ，可得，， 设等差数列的公差为，则有，得到方程，解得， 故，所以等差数列的通项公式为：. （2）， 典例2、答案： （1）证明见解析， （2） 解：（1）因为，所以 即数列是以首项为，公比为的等比数列 故，即 （2） 随堂练习：答案： （1）； （2）20. 解：（1）由得：，而， 因此，即数列是首项， 公差的等差数列，， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，，则有， 所以. 典例3、答案：（1）证明见解析；（2）． 解:（1）证明：∵， ∴， ∴． ∵， 所以，是以为首项，以为公差的等差数列． （2）由（1）可知，， ∴． 当时，， ∵，所以，的通项公式为． ∴，，，，，． 当时，，即， 也就是说，数列从第项起，是递减数列． 所以，实数的取值范围是． 随堂练习：答案： （1） （2）4 解：（1）由题意得： 设数列的公比为．由，得 ，即 成等差数列 ，即，解得，或（舍去） ． （2）由，当时，，两式相减得，， 对也成立 所以 设 当n为奇数时，可递减数列，所以 当n为偶数时，为递增数列，所以 所以的最小值为4． 典例4、答案： （1）证明见解析，；（2）. 解：（1）当时，，∴ 当时，，即 ∴，∴，∴ ∴，所以是等差数列， （2），，∵，∴是等差数列 ∴，当时， 随堂练习：答案： （1）； （2）当或时，的值最小，值为. 解：（1）当时，， 当时，= 经检验，满足此式，所以 （2）由（1）可知，数列为等差数列， 设，得， 当或时，的值最小，值为. 典例5、答案： （1）；，；（2）. 解:（1） 即有， 上式对也成立，则； 为公比设为的等比数列，，． 可得，，则，即，，； （2）， 前项和为， ， 即，可得递增，则的最小值为． 随堂练习：答案： （1） （2） 解：（1）因为， 所以， 因为， 所以， 所以，且， 所以数列是以为公比，为首项的等比数列，即， 即，可得，， 所以时，， 即， 而此时时，， 所以； （2）由（1），所以， 所以 所以 . 典例6、答案: （1）答案见解析 （2） （3）答案见解析 解:（1）当时，由已知，对等差数列的任意两项，当时，有， （2）设的公差为d，由题意得：， 知， 所以，解得， 又，于是； （3）已知等比数列，公比为q，设是数列中的任意m个项， 若，则有. 证明如下：因为， 所以， 其中， 于是，命题得证. 随堂练习：答案： （1），， （2），证明见解析 解：（1）由题意得， ， ， ， ，… ， 由等比数列的前n项和公式可得，， 所以的通项公式． （2）由于， 所以， 则， 因为，所以，所以， 又随n的增大而减小， 所以当时，取得最大值，故． ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$