数列讲义十二-2025届高三数学一轮复习

高中数学 2025高考--数列（一轮复习）课时十二 知识点一 确定数列中的最大（小）项,利用an与sn关系求通项或项 典例1、数列满足，且（）． （1）求； （2）求数列的通项公式； （3）令，求数列的最大值与最小值． 随堂练习：已知数列的前项和为,且满足,数列的前项和为,且满足 ,其中N*. （1）求数列的通项公式； （2）若数列是公差不为零的等差数列. ①求实数的值. ②若≤对任意的N*恒成立,求的取值范围. 典例2、已知正项数列的前项和为，且，，. （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前项和，求证：. 随堂练习：已知数列满足 （1）证明：数列为等差数列： （2）设数列满足，求数列的前项和. 典例3、在“①，，；②，；③”三个条件中任选一个，补充到下面的横线上，并解答． 已知等差数列的前n项和为，且__________． （1）求的通项公式； （2）若，求的前n项和为，求证：． 随堂练习：已知等差数列的前项和为，数列是各项均为正数的等比数列，，. （1）求数列的通项公式； （2）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答. 问题：已知，___________，是否存在正整数，使得数列的前项和？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.） 知识点二 由递推数列研究数列的有关性质,由递推关系证明数列是等差数列,数列新定义 典例4、已知数列的首项，其中，令集合，． （1）若是数列中首次为1的项，请写出所有这样数列的前三项； （2）求证：； （3）当时，求集合中元素个数的最大值． 随堂练习：已知无穷数列满足公式，设. （1）若，求的值； （2）若，求的值； （3）给定整数，是否存在这样的实数，使数列满足： ①数列的前项都不为零； ②数列中从第项起，每一项都是零. 若存在，请将所有这样的实数从小到大排列形成数列，并写出数列的通项公式；若不存在，请说明理由. 典例5、已知数列为有限数列，满足，则称满足性质. （1）判断数列和是否具有性质，请说明理由； （2）若，公比为的等比数列，项数为12，具有性质，求的取值范围； （3）若是的一个排列符合都具有性质，求所有满足条件的数列. 随堂练习：已知数列，给出两个性质：①对于任意的，存在，当时，都有成立；②对于任意的，存在，当时，都有成立． （1）已知数列满足性质①，且，，试写出的值； （2）已知数列的通项公式为，证明：数列满足性质①； （3）若数列满足性质①②，且当时，同时满足性质①②的存在且唯一.证明：数列 是等差数列． 典例6、对于序列，实施变换T得序列，记作；对继续实施变换T得序列，记作．最后得到的序列只有一个数，记作． （1）若序列为1，2，3，求； （2）若序列为1，2，…，n，求； （3）若序列A和B完全一样，则称序列A与B相等，记作，若序列B为序列的一个排列，请问：是的什么条件？请说明理由． 随堂练习：若数列满足，则称为E数列.记 . （1）写出一个满足，且的E数列； （2）若，，证明E数列是递减数列的充要条件是； （3）对任意给定的整数，是否存在首项为0的E数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由. 2025高考--数列（一轮复习）课时十二答案 典例1、答案：（1），，；（2）； （3）数列的最大值为，最小值为. 解: （1）当时，有，所以， 当时，，所以， 当时，，所以， （2）当时，①， 又②， ②式减①式可得：，即， 由（1）知当时，上式不成立， 所以是以从第二项开始，公比为的等比数列， 所以. （3）当时，， 当时，， 当时，且递减，， 当时，且递减，， 又， 综上所述，数列的最大值为，最小值为. 随堂练习：答案：（1）；（2）①；②≤≤. 解: （1）由可得， 作差得， 化简可得， 又时 所以数列是以首项，为公比的等比数列, 所以. (2) 设数列是以首项，为公差的等差数列, 则,, 由可得, 对任意恒成立, 可得,解之得或者(舍去) 所以， （3）因为≤恒成立， ①当为偶数时，≤， 令， 则 当≥3时，；当≤2时，； 又因为， 所以 ， 所以，≤， ② 当为奇数时，≥， 令， 则， 当≥3时，；当≤2时，； 因为， 所以 ， 所以，≥， 综上所述：≤≤， 典例2、答案： （1） （2）见解析 解：（1）当时，，所以， 由， 得， 两式相减得， 又，所以， 所以数列的奇数项和偶数项都是以为公差的等差数列， 又， 所以数列是以为首项为公差的等差数列， 所以； （2）， 则， 所以， 所以. 随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2） 解：（1）方法1：由， 两边同除以得，，（）为常数， ∴数列为等差数列，首项，公差为1， 方法2：由得， ∴（）为常数， ∴数列为等差数列，首项，公差为1. 由，∴， （2）方法1：， 则. 方法2：， 则. 典例3、答案： （1） （2）证明见解析 解：（1）若选择①，因为，，，， 解得，， 设公差为d，则有，， 解得，， 所以． 若选择②，设公差为d，， 即， 结合，解得，， 所以． 若选择③，当时，； 当时，， 当时亦满足上式， 所以． （2）证明：由（1）得， 所以， 因为，（），所以， 所以． 随堂练习：答案： （1） （2）答案见解析 解：（1）设等比数列的公比为，由得：，，又， 因此有，即，解得，(舍去)，则， 所以数列的通项公式. （2）若选①：设等差数列公差为d，则，，解得， 于是得：，， 则有， 由，解得，而为正整数，则的最小值为， 所以存在正整数满足要求，的最小值为. 若选②：设等差数列公差为d，则，，解得， 于是得，， 则有， 由，解得，而为正整数，则的最小值为， 所以存在正整数满足要求，的最小值为. 若选③：设等差数列公差为d，则，，解得， 于是得：，， ， 令，得，显然数列()是递减的， 当时，，当时，， 即由得，则的最小值为 所以存在正整数满足要求，的最小值为. 典例4、答案：（1）27，9，3；8，9，3；6，2，3 （2）证明见解析 （3）21 解：（1）是数列中首次为1的项，又，； 或，即或2；同理或，当时， 即或8，当时，或1（不合题意，舍去）； 所以，满足条件的数列的前三项为： 27，9，3；或8，9，3；或6，2，3． （2）若被3除余1，则由已知可得，，； 若被3除余2，则由已知可得，，； 若被3除余0，则由已知可得，； 所以， 所以 所以，对于数列中的任意一项，若“，则”． 因为，所以． 所以数列中必存在某一项（否则会与上述结论矛盾！） 若，则，；若，则，，若，， 由递推关系易得． （3）集合中元素个数的最大值为21． 由已知递推关系可推得数列满足： 当时，总有成立，其中，，，． 下面考虑当时，数列中大于3的各项： 按逆序排列各项，构成的数列记为，由（1）可得或9， 由（2）的证明过程可知数列的项满足： ，且当是3的倍数时，若使最小，需使， 所以，满足最小的数列中，或7，且， 所以，所以数列是首项为或的公比为3的等比数列， 所以或，即或， 因为，所以，当时，的最大值是6， 所以，所以集合中元素个数的最大值为21． 随堂练习：答案：（1）（2）（3）存在这样的，，理由见解析 解：（1）因为，所以； （2）因为， （i）当时，，所以， 此时，若，则； 若，则. （ii）当时，，所以，此时，若，则； 若，则. 综上所述， ； （3）存在这样的， 因为，由（2）可知， （i）当时，，所以， （ii）当时，，所以， 以此类推，， 所以数列的通项公式为. 典例5、答案：（）1满足，不满足 （2） （3）共4个满足，分别是：和和和 解：（1）对于第一个数列有，满足题意，该数列满足性质 对于第二个数列有不满足题意，该数列不满足性质. （2）由题意可得， 两边平方得： 整理得： 当时，得， 此时关于恒成立， 所以等价于时，所以， 所以或者，所以取. 当时，得， 此时关于恒成立， 所以等价于时，所以， 所以，所以取. 当时，得. 当为奇数的时候，得，因为，故显然成立 当为偶数的时候，得，因为，故显然不成立， 故当时，矛盾，舍去. 当时，得. 当为奇数的时候，得，显然成立， 当为偶数的时候，要使恒成立， 所以等价于时，所以， 所以或者，所以取. 综上可得，. （3）设，， 因为， 故， 所以可以取或者， 若，，则， 故或（舍，因为）， 所以（舍，因为）. 若，，则， 故（舍，因为），或 所以（舍，因为）. 所以均不能同时使，都具有性质. 当时，即有， 故，故， 故有数列：满足题意. 当时，则且，故， 故有数列：满足题意. 当时，， 故，故， 故有数列：满足题意. 当时，则且， 故， 故有数列：满足题意. 故满足题意的数列只有上面四种. 随堂练习：答案： （1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 解：（1）因为数列满足性质①，且，所以，所以， 又因为，即，所以，同理可得：. （2）因为数列的通项公式为，所以，对于任意的，令，则， . 又，则，即. 又，所以， 即对于任意的. 所以，对于任意的，令，则当时，都有成立， 所以，数列满足性质①. （3）由题意，数列满足性质①②，且当时，同时满足性质①②的存在, 即对于任意的，存在，当时，都有成立， 所以，当时，， 即. 对于任意的,有， 对于任意的,有, ， 又当时，同时满足性质①②的存在且唯一, 所以，当时，, 所以，满足条件的数列是等差数列. 典例6、答案： （1） （2） （3）充分不必要条件 解：（1）序列为1，2，3，，，，即8，． （2）时， 时，． 时，， 时，，， 取时，， 取时，①， 则②， ①②得， 所以． 由序列为1，2，，，可得． （3）序列为序列，2，，的一个排列，．而反之不成立． 例如取序列为：，，，2，1，满足． 因此是的充分不必要条件． 随堂练习：答案：（1）0,1,2,1,0（或 0,1,0,1,0）（2）证明见解析；（3）不存在，理由见解析. 解：（1）（或 ） （2）必要性：因为数列是递减数列， 所以 ， 所以是首项为，公差为的等差数列， 所以； 充分性：由于，，…，， 所以，即， 因为，所以， 所以数列是递减数列. 综上，结论得证． 令， 则． （3）因为，，……,， 所以 因为，所以为偶数， 所以为偶数． 所以要使，必须使为偶数，即整除，亦即或． 当时， 数列的项满足，，时， 有，； 当时， 数列的项满足，，，时， 有，． 当，时，不能被整除， 所以对任意给定的整数,不存在数列使得，． ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$