数列讲义十一-2025届高三数学一轮复习

高中数学 2025高考--数列（一轮复习）课时十一 知识点一 利用定义求等差数列通项公式,由递推关系证明数列是等差数列,裂项相消法求和 典例1、记为数列的前项和，已知． （1）证明：是等差数列； （2）若，记，求数列的前项和． 随堂练习：数列满足，． （1）证明：数列为等差数列． （2）若，求数列的前项和． 典例2、已知数列的首项，其前n项和为，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前n项和为，且，求n. 随堂练习：已知数列的前项和，数列满足. （1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求满足的的最大值. 典例3、是数列的前项和，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列中最小的项. 随堂练习：设数列的前项和为，满足，. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的最小值及相应的n的值. 知识点二 由递推数列研究数列的有关性质,由递推关系证明数列是等差数列,数列新定义 典例4、已知数列为无穷递增数列，且．定义： 数列：表示满足的所有i中最大的一个．数列：表示满足的所有i中最小的一个（，2，3…） （1）若数列是斐波那契数列，即，，（，2，3，…），请直接写出，的值； （2）若数列是公比为整数的等比数列，且满足且，求公比q，并求出此时，的值； （3）若数列是公差为d的等差数列，求所有可能的d，使得，都是等差数列． 随堂练习：对于数列，，…，，定义变换，将数列变换成数列，，…， ，，记，，．对于数列，，…，与，，…，，定义．若数列，，…，满足，则称数列为数列． （1）若，写出，并求； （2）对于任意给定的正整数，是否存在数列，使得若存在，写出一个数列，若不存在，说明理由： （3）若数列满足，求数列A的个数． 典例5、已知数列：，，…，，其中是给定的正整数，且.令，，，，，.这里，表示括号中各数的最大值，表示括号中各数的最小值. （1）若数列：2，0，2，1，-4，2，求，的值； （2）若数列是首项为1，公比为的等比数列，且，求的值； （3）若数列是公差的等差数列，数列是数列中所有项的一个排列，求的所有可能值（用表示）. 随堂练习：已知无穷数列满足：①；②（； ；）.设为所能取到的最大值，并记数列. （1）若，写出一个符合条件的数列A的通项公式； （2）若，求的值； （3）若，求数列的前100项和. 典例6、已知为实数，数列满足. （1）当和时，分别写出数列的前5项； （2）证明：当时，存在正整数，使得； （3）当时，是否存在实数及正整数，使得数列的前项和？若存在，求出实数及正整数的值；若不存在，请说明理由. 随堂练习：已知数列满足：，且.记集合. （1）若，写出集合的所有元素； （2）若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数； （3）求集合的元素个数的最大值. 2025高考--数列（一轮复习）课时十一答案 典例1、答案：（1）证明见解析 （2） 解：（1）当且时，， ， 整理可得：，，数列是公差为的等差数列. （2）由（1）得：， ， . 随堂练习：答案： （1）见解析 （2） 解：（1）证明：因为， 所以，又， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列； （2）由（1）得， ， 则 . 典例2、答案： （1） （2） 解：（1）由得， 从而数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以； （2）由（1）得 ， 由得 又，所以. 随堂练习：答案：（1）证明见解析，；（2）的最大值为. 解:（1）. 当时，，解得； 当时，由，可得， 上述两式相减得，即， 等式的两边同时乘以，得，即， 所以，且， 所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，则， 即，； （2）由（1）可 ， 所以，， 由可得，即，. 因此，正整数的最大值为. 典例3、答案：（1）；（2）. 解: （1）对任意的，由得， 两式相减得， 因此，数列的通项公式为； （2）由（1）得，则. 当时，，即，； 当时，，即，.所以，数列的最小项为. 随堂练习：答案： （1）；（2）最小值，或9. 解: （1）∵，则， 两式相减得：，即， 验：由且知：符合， ∴. ∴数列是以1为首项，3为公比的等比数列，则. （2），则， ∴时，；时，；时，，即： ∴当或9时，数列取得最小值. 典例4、答案： （1）, （2）,, （3） 解：（1）数列是斐波那契数列,则的项分别是 当时,则;当时,则,当时,则;当时, 则 以此类推,可知当时,表示满足的所有i中最大的一个, 所以,表示满足的所有i中最小的一个,所以 （2）因为数列是公比为整数的等比数列,故公比 当时,的项为,表示满足的所有i中最大的一个,所以, 同理;表示满足的所有i中最小的一个,所以,同理,符合题意. 当时,的项为,表示满足的所有i中最大的一个，不符合,当时,的项增长的更快速,此时,故不符合题意.综上,,, （3）由数列是公差为d的等差数列,且单调递增,所以,又因为, 设数列,的公差分别为,则 则, 当时,满足 由于是任意正整数,故可知 同理可知当时,满足 由于是任意正整数,故可知,综上可知,又因为, 所以可以是任意一个正整数.故 随堂练习：答案： （）1；；（2）不存在适合题意的数列；（3）. 解：（1）由， 可得， ， ∴； （2）∵， 由数列A为数列，所以， 对于数列，，…，中相邻的两项， 令，若，则，若，则， 记中有个，有个，则， 因为与的奇偶性相同，而与的奇偶性不同， 故不存在适合题意的数列； （3）首先证明， 对于数列，，…，，有，，…，，， ，，…，，，，，…，，， ，，…，，，，，…，，， ∵， ， ∴， 故， 其次，由数列为数列可知，， 解得， 这说明数列中任意相邻两项不同的情况有2次， 若数列中的个数为个，此时数列有个，所以数列的个数为个. 典例5、答案： （1），； （2）； （3）所有可能值为. 解：（1）由题设，，，，则， ，，，则， 所以，. （2）若数列任意两项均不相等， 当时； 当且时，， 又，， 此时； 综上，，故，不合要求； 要使，即存在且使，即， 又，则， 当，则，不合要求； 当，则，满足题设； 综上，. （3）由题设数列单调递增且， 由（2）知：， 根据题设定义，存在且，， 则， 由比数列中个项大，，同理， 所以； 又至少比数列中一项小，，同理， 所以； 综上，. 令数列，下证各值均可取到， ⅰ、当，而数列递增， ，且， 此时，，， 则； ⅱ、当时，，则， 当且时，令，则， 所以，， 此时； ⅲ、给定， 令()且()， 则()，()， 又数列递增，， ()，()， 所以， 此时且， 故， 综上，. 随堂练习：答案： （1）； （2）； （3）. 解：（1）； （2） 因为，所以，所以或. 因此. 当时， 且同时成立，此时. 当时， 且同时成立，此时矛盾. 综上，. （3）因为， 所以. 所以. 由知，. 事实上，当时， 与同时成立， 所以，从而. 猜想数列：1，2，4，5，7，8，， 即数列由不能被3整除的正整数从小到大排列组成，且满足数A：的两条性质. 下面用数学归纳法证明. ①当时结论成立. ②假设时结论成立，则当时， 当时，此时， 由于； ； 上面各式均成立，此时有. 当时，此时， 由于； ； 上面各式均成立，此时有. 综上，数列是由不能被3整除的正整数从小到大排列组成. 数列的前100项和为：. 典例6、答案： （1）当时，当时， （2）证明见解析； （3）存在，与， 解：（1）当时， 当时， 当时，， 在数列中直到第一个小于等于的项出现之前， 数列是以为首项，为公差的递减的等差数列 即 当足够大时，总可以找到，则存在正整数，使得 （i）若，令，则存在正整数，使得 （ii）若，，则 令，则存在正整数，使得 综上所述，则存在正整数，使得. （3）①当时， 当时， 当时， 令，而此时为奇数，成立， 又不成立，所以存在正整数，使得. ②当时， 所以数列的周期为， 当时， 当时， 当时， 当时， 所以 所以或者是偶数，或者不是整数，即不存在正整数，使得 ③当时， ，当时， 综上所述，当与，时，. 随堂练习：答案： （1） （2）见解析 （3）5 解：（1）若，则，，， ，故中的项的大小从第3项开始周期变化，且周期为2. 故. （2）设， 若，则，因互质，故为3的倍数； 若，则即，因互质， 故为3的倍数， 依次类推，有均为3的倍数. 当时，我们用数学归纳法证明：也是3的倍数. 当时，若，则，故为3的倍数； 若，则，故为3的倍数， 设当时，是3的倍数即为3的倍数， 若，则，故为3的倍数； 若，则，因为3的倍数，故为3的倍数， 故当时，是3的倍数也成立， 由数学归纳法可得是3的倍数成立， 综上，的所有元素都是3的倍数. （3）当，则，，，，故的元素个数为5； 当，则，故的元素个数为4； 当，则，故的元素个数为5； 当，则，故的元素个数为5； 当，则，故的元素个数为4； 当，则，故的元素个数为5； 当，则，故的元素个数为5； 当，则，故的元素个数为4； 当，则，故的元素个数为5； 当，则，故的元素个数为5； 当，则，故的元素个数为4； 当，则，故的元素个数为5； 当，则，故的元素个数为1； 当时，的元素个数不超过为5， 综上，的元素个数的最大值为5. ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$