数列讲义十-2025届高三数学一轮复习

高中数学 2025高考--数列（一轮复习）课时十 知识点一 利用定义求等差数列通项公式,裂项相消法求和,利用an与sn关系求通项或项 典例1、已知数列是等差数列，其前n项和为，，，数列满足( 且)，. （1）求和的通项公式； （2）求数列的前n项和. 随堂练习：已知等差数列的各项均为正数，其前n项和为，且满足，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，且，求数列的前n项的和. 典例2、设是公差不为0的等差数列，，是，的等比中项. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 随堂练习：已知数列各项均为正数，且. （1）求的通项公式； （2）记数列的前项和为，求的取值范围. 典例3、已知数列的前项和，且，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的最小项的值. 随堂练习：已知数列的前项和． （1）证明：数列是等差数列； （2）设，试问：数列是否有最大项、最小项，若有，分别指出第几项最大、最小；若没有，试说明理由． 知识点二 由递推数列研究数列的有关性质,由递推关系证明数列是等差数列,数列新定义 典例4、已知为有穷数列．若对任意的,都有（规定）,则称具有性质．设． （1）判断数列是否具有性质？若具有性质,写出对应的集合; （2）若具有性质,证明:; （3）给定正整数,对所有具有性质的数列,求中元素个数的最小值． 随堂练习：已知数列满足，，数列的前项和记为. （1）写出的最大值和最小值； （2）若，求的值； （3）是否存在数列，使得？如果存在，写出此时的值；如果不存在，说明理由. 典例5、对于数列，若存在正数，使得对任意都成立，则称数列为“拟等比数列”． （1）已知，，且，若数列和满足：，且，； ①若，求的取值范围； ②求证：数列是“拟等比数列”； （2）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，，，且是“拟等比数列”，求的取值范围（请用、表示）． 随堂练习：已知是由正整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，最小值记为，令 ，并将数列称为的“生成数列”． （1）若，求数列的前项和； （2）设数列的“生成数列”为，求证：； （3）若是等比数列，证明：存在正整数，当时， 是等比数列． 典例6、从一个无穷数列中抽出无穷多项，依原来的顺序组成一个新的无穷数列，若新数列是递增数列，则称之为的一个无穷递增子列．已知数列是正实数组成的无穷数列，且满足． （1）若，，写出数列前项的所有可能情况； （2）求证：数列存在无穷递增子列； （3）求证：对于任意实数，都存在，使得． 随堂练习：给定正整数m，数列，且.对数列A进行T 操作，得到数列. （1）若，，，，求数列； （2）若m为偶数，，且，求数列各项和的最大值； （3）若m为奇数，探索“数列为常数列”的充要条件，并给出证明. 2025高考--数列（一轮复习）课时十答案 典例1、答案： （1），； （2）. 解：（1）设等差数列公差为d， ∵，∴， ∵公差，∴. 由得，即， ∴数列是首项为，公比为2的等比数列，∴； （2）∵，∴， 随堂练习：答案： （1）；（2）. 解: （1）设数列的首项为，公差为，且. 则由题意，得， 解之得或（舍）， ∴. （2）由 得：；；；； 以上等式左右相加得， 又，∴， 当时，也满足上式， . ∴ . 典例2、答案： （1） （2） 解：（1）设的公差为，因为，是，的等比中项， 所以，所以. 因为，所以，故. （2）因为， 所以. 随堂练习：答案：（1） （2） 解：（1）因为，所以 所以， 因为各项均为正数，， 所以， 所以数列是首项为4，公差为4的等差数列， ， 所以数列的通项公式为. （2）因为 所以， 则， 因为，故， 所以，又，所以， 所以的取值范围为. 典例3、答案：（1）；（2）. 解: （1），，则， 即， 当时，； 当时，； 经检验适合， （2）由（1）知： ，， ， 当时，， 当时，；当时，； 又，，当时，有最小值. 随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2）第1595项最小，无最大项 解：（1）因为数列的前项和， 当时，， 当时，， 因为当时也满足，故. 故为常数，故是等差数列 （2）由（1），故， 则 ， 因为，故令可解得或， 即，，， 因为，， 故数列有最小项为第1595项，又随着的增大一直增大无最大值， 故数列第1595项最小，无最大项 典例4、答案：（1）不具有性质,具有性质, （2）证明见解析 （3） 解：（1）解:由题知, 即 因为, 所以不具有性质, 由于, 即 因为 故具有性质, 因为 故; （2）“”等价于“证明两个元素至少有一个在中”, 假设两个元素均不在中, 则有 不妨设, 若, 则由, 可得, 与矛盾, 故, 同理, 从而, 所以, 与具有性质矛盾, 所以假设不成立,即; （3）设 规定时,, 时,, 则, 所以, 考虑数列, , 由题设可知,他们均具有性质, 设中元素个数最小值为, 所以, 所以, 由(2)知,从而, 当时,令, 当时,令, 此时均有, 所以中元素个数的最小值为. 随堂练习：答案：（1），； （2）0； （3）不存在，理由见解析. 解：（1）因为，， 所以，解得或， 当时，由，解得或， 当时，由，解得， 所以或或， 所以最大值为，最小值为. （2）当时，，则或， 此时由知，不满足，舍去； 当时，，则或， 满足，不满足，舍去； 当时，由，得或， 由知满足题意，当时，不满足题意， 综上， 或，或， 所以或或， 故. （3）由，可得为整数，， 所以， 则， 所以， 若存在数列，使得，则， 又为整数，所以方程无解， 故不存在数列，使得. 典例5、答案：（1）①；②证明见解析 （2） 解：（1）①因为，，且，，，所以，的取值范围是； ②由题意可得， 则，即， 假设当时，， 则当时，，即， 所以，对任意的，， 所以，，， 即存在，使得， 所以，数列是“拟等比数列”. （2）因为，，， 即，所以， 即，且有， 因为，则，所以，， 又因为数列是“拟等比数列”，故存在，使得，且数列为单调递减数列. ①当时，此时， 所以，， 因为，则， 因为数列在时单调递减，故， 而； ②当时，，则， 由，则， 因为数列在时单调递减，故. 由①②可得，即的取值范围是. 随堂练习：答案：（1）； （2）证明见解析； （3）证明见解析. 解：（1）因为，所以． 所以， 所以， ， 所以， 因为， 所以数列是等比数列， 所以数列的前项和为：； （2）由题意可知，， 所以， 所以．所以 ， 所以， 由“生成数列”的定义可得， 所以． 累加可得. （3）由题意知．由（2）可知． ① 当时，得，即， 所以， 所以. 即为公比等于1的等比数列， ②当时，令，则. 当时，显然． 若，则，与矛盾, 所以，即. 取，当时， ，显然是等比数列, 综上，存在正整数，使得时，是等比数列. 典例6、答案： （1）、、、或、、、或、、、（2）证明见解析 （3）证明见解析 解：（1）由已知，即，可得或. 当时，由，即，因为，可得； 当时，由，即，因为，可得或. 因此，若，， 写出数列前项的所有可能情况为：、、、或、、、或、、、. （2）证明：对于数列中的任意一项， 由已知得，或，即或． 若，则由可得； 若，则，此时，即． 设集合，、，且， ，，，，，， 则数列是数列一个无穷递增子列． （3）证明：考察数列和． ①当或时，显然成立； ②当时，设，由（2）可知． 如果，那么，或，于是总有， 此时； 如果，那么，或，于是总有， 此时． 综上，当且时总有． 所以， 所以，，，， 叠加得，． 令，解得， 即存在，（其中表示不超过的最大整数）， 使得． 又因为是的子列，令，则． 由①②可知，对于任意实数，都存在，使得． 随堂练习：答案： （1） （2） （3），证明见解析 解：（1）由题意时，，，，由，知， 所以，，，， 故. （2）记数列的所有项和为S， 因为，且，所以， 则，故. 当，或，时取到等号， 所以当，或，时， S取到最大值，为. （3） “数列为常数列”的充要条件是（） 证明如下：先证充分性：当（）时，， 所以为常数列； 再证必要性：当为常数列时，记， 设中有x个，则必有个， 将数列的所有项相加得：，由，且m为奇数， 所以， 所以，由得：，所以， 所以. ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$