数列讲义九-2025届高三数学一轮复习

高中数学 2025高考--数列（一轮复习）课时九 知识点一 根据规律填写数列中的某项,数列求和的其他方法,数列新定义 典例1、对于项数为m（且）的有穷正整数数列，记，即为中的最小值，设由组成的数列称为的“新型数列”. （1）若数列为2019，2020，2019，2018，2017，请写出的“新型数列”的所有项； （2）若数列满足，且其对应的“新型数列”项数，求的所有项的和； （3）若数列的各项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求符合条件的及其对应的“新型数列”. 随堂练习：设数列（）的各项均为正整数，且.若对任意，存 在正整数使得，则称数列具有性质. （1）判断数列与数列是否具有性质；（只需写出结论） （2）若数列具有性质，且，，，求的最小值； （3）若集合，且（任意，）. 求证：存在，使得从中可以选取若干元素（可重复选取）组成一个具有性质的数列. 典例2、已知数列：，，…，满足：（，2，…，，），从中选取第项、第项、…、第项（，）称数列，，…，为的长度为的子列.记为所有子列的个数.例如：0，0，1，其. （1）设数列：1，1，0，0，写出的长度为3的全部子列，并求； （2）设数列：，，…，，：，，…，，：，，…，，判断，，的大小，并说明理由； （3）对于给定的正整数，（），若数列：，，…，满足：，求的最小值. 随堂练习：若项数为且的有穷数列满足：，则称数列具 有“性质”． （1）判断下列数列是否具有“性质”，并说明理由； ①1，2，4，3；②2，4，8，16． （2）设，2，，，若数列具有“性质”，且各项互不相同．求证：“数列为等差数列”的充要条件是“数列为常数列”； （3）已知数列具有“性质”．若存在数列，使得数列是连续个正整数1，2，，的一个排列，且，求的所有可能的值． 知识点二 裂项相消法求和,利用an与sn关系求通项或项 典例3、已知数列{an}和{bn}，a1＝2，，， （1）证明：是等比数列； （2）若，求数列的前n项和Sn. 随堂练习：已知数列的前n项和为，其中，满足． （1）证明数列为等比数列； （2）求数列的前n项和． 典例4、对于无穷数列和函数，若，则称是数列的母函数． （1）定义在R上的函数满足：对任意，，都有，且；又数列满足． （Ⅰ）求证：是数列的母函数； （Ⅱ）求数列的前n项和． （2）已知是数列的母函数，且．若数列的前n项和为，求证：． 随堂练习：已知数列 （1）令，求证：数列是等比数列； （2）若，求数列的前项和． 典例5、若数列的前n项和为，. （1）求数列的通项公式； （2）已知数列满足，其前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 随堂练习：已知数列的前项和为，，数列满足，. （1）求数列和的通项公式； （2）设数列满足：，，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 典例6、已知数列的前项和为，，数列满足，. （1）求数列和的通项公式； （2）设数列满足：，，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 随堂练习：已知数列满足：，，，且；等比数列满足：， ，，且． （1）求数列、的通项公式； （2）设数列的前n项和为，若不等式对任意都成立，求实数的取值范围． 2025高考--数列（一轮复习）课时九答案 典例1、答案：（1）数列为2019，2019，2019，2018，2017（2）（3）满足题意的数列：.所以对应的“新型数列”分别为：. 解：（1）数列为2019，2019，2019，2018，2017； （2）由已知得：当时，关于n递减；当时，关于n递减， 又时，关于n递减. ，. 又，. 共21项且各项分别与中各项相同， 其和为 . （3）先不妨设数列单调递增， 当时，，， ，此时无解，不满足题意； 当时，由 得， ，又，，代入原式得. 当时，， 而，矛盾， 所以不存在满足题意的数列. 综上，满足题意的数列：. 所以对应的“新型数列”分别为：. 随堂练习：答案（1）数列不具有性质；数列具有性质（2）的最小值为（3）证明见解析 解: （1）数列不具有性质；数列具有性质. （2）由题可知，，，，， 所以. 若，因为且，所以. 同理， 因为数列各项均为正整数，所以.所以数列前三项为. 因为数列具有性质，只可能为之一，而又因为， 所以. 同理，有. 此时数列为. 但数列中不存在使得，所以该数列不具有性质. 所以. 当时，取.（构造数列不唯一） 经验证，此数列具有性质. 所以，的最小值为. （3）反证法：假设结论不成立，即对任意都有：若正整数，则. 否则，存在满足：存在，使得，此时，从中取出： 当时，是一个具有性质的数列； 当时，是一个具有性质的数列； 当时，是一个具有性质的数列. （i）由题意可知，这个集合中至少有一个集合的元素个数不少于个， 不妨设此集合为，从中取出个数，记为，且. 令集合. 由假设，对任意，，所以. （ii）在中至少有一个集合包含中的至少个元素，不妨设这个集合为， 从中取出个数，记为，且. 令集合. 由假设.对任意，存在使得. 所以对任意，， 由假设，所以，所以，所以. （iii）在中至少有一个集合包含中的至少个元素，不妨设这个集合为， 从中取出个数，记为，且. 令集合. 由假设.对任意，存在使得. 所以对任意，， 同样，由假设可得，所以，所以. （iv）类似地，在中至少有一个集合包含中的至少个元素，不妨设这个集合为， 从中取出个数，记为，且， 则. （v）同样，在中至少有一个集合包含中的至少个元素，不妨设这个集合为， 从中取出个数，记为，且，同理可得. （vi）由假设可得. 同上可知，， 而又因为，所以，矛盾.所以假设不成立. 所以原命题得证. 典例2、答案：（1）6 （2） （3） 解：（1）由的定义以及， 可得：的长度为3的子列为：，有2个， 的长度为的子列有个，的长度为的子列有个， 所以. （2） 理由如下： 若是的一个子列， 则为的一个子列. 若与是的两个不同子列， 则与也是的两个不同子列. 所以. 同理， 所以. 同理 所以有 （3）由已知可得，数列中恰有个1，个0. 令， 下证：. 由于， 所以的子列中含有个0，个1 的子列有且仅有1 个， 设为：. 因为数列的含有个0，个1的子列至少有一个， 所以. 数列中， 不含有0的子列有个， 含有1个0的子列有k个， 含有2个0的子列有个，， 含有个0的子列有个， 所以. 所以的最小值为. 随堂练习：答案： （1）数列1，2，4，3不具有“性质M”；数列2，4，8，16具有“性质M” （2）证明见解析 （3）或5 解：（1），该数列不具有“性质”； ，该数列具有“性质”； （2）证明：充分性，若数列是常数列，则， 即，或 又数列且各项互不相同，，数列为等差数列； 必要性，若数列为等差数列，则，即，数列为常数列； （3）数列是连续个正整数1，2，，的一个排列，当时，， ，不符合题意； 当时，数列3，2，4，1满足，，符合题意；当时， 数列2，3，4，5，1满足，符合题意； 当时，令，2，，，则， 且，的取值有以下三种可能 ①，②，③， 当时，， 由（2）知，，，是公差为1或的等差数列， 若公差为1时，由得或，，不合题意，不合题意； 若公差为，同上述方法可得不符合题意； 当满足②，③时，同理可证不符合题意， 故：或5． 典例3、答案：（1）证明见解析 （2） 解：（1）∵，， ∴，， 又，，解得，， ∴是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）知，则， ∴， ∴ . 随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2）． 解: （1）由可得， 因为，所以 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列 （2）根据（1）可得：， 所以， 所以， 所以． 典例4、答案： （1）（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）； （2）证明见解析. 解：（1）（Ⅰ）由题知， 且． 是数列的母函数； （Ⅱ）由（Ⅰ）知：是首项和公差均为2的等差数列，故． ① ② 两式相减得： ； （2）由题知：，．， ，从而是以为首项， 为公比的等比数列． 又． 故当时， ． 随堂练习：答案： （1）见解析 （2） 解：（1）证明：因为，所以，即， 又， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列； （2）由（1）得， ， 则， ， 两式相减得， 所以． 典例5、答案： （1）；（2）. 解：（1）因为，所以， 当，时， 所以， 所以数列为等比数列，首项为，公比为2， 所以，则； （2）因为，所以， 由（1）， 所以恒成立， 当n为偶数时，恒成立，所以， 设，由于， 所以，当时，， 所以， 当n为奇数时，，若n=1，则有， 若，则有， 令，由于， 所以，综上，. 随堂练习：答案：（1），；（2）. 解:（1）当时，，∴， 当时，由 得，即， ∴数列是公差为2的等差数列， ∵，∴. 由条件得，， ∴，即数列是公比为2的等比数列， ∴. （2），设数列的前项和为，则， ∴， ∴，， ∴， 由得， 累加得， 即， ∴， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∴. 典例6、答案： （1），；（2）. 详解:（1）当时，，∴， 当时，由 得：，即， ∴数列是公差为2的等差数列， ∵，∴. 由条件得，， ∴，即数列是公比为2的等比数列， ∴. （2），设数列的前项和为，则， ∴， ∴，， ∴， 由得， 累加得， 即， ∴， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∴. 随堂练习：答案：（1）（），（）， （2） 解：（1）由两边同除得：， 两边同除得：， 则， 所以 ，（） 所以，又符合， 故（）， （2）由得：，解得：， 所以（）. ∵， ∴ ① ∴ ② 由①-②得：， ∴. 则，由得： ， 因为 所以当为偶数时，；当为奇数时，. 故 所以，即， 故的取值范围是. ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$