数列讲义七-2025届高三数学一轮复习

高中数学 2025高考--数列（一轮复习）课时七 知识点一 累加法求数列通项,由递推关系证明等比数列,求等比数列前n项和 典例1、已知数列{an}，{bn}满足a1=b1=1，是公差为1的等差数列，是公差为2的等差数列． （1）若b2=2，求{an}，{bn}的通项公式； （2）若，，证明：． 随堂练习：已知数列满足． （1）求的通项公式； （2）若数列的前项和为，求数列的前项和． 典例2、已知等差数列各项均不为零，为其前项和，点在函数的图像上. （1）求的通项公式； （2）若数列满足，求的前项和； （3）若数列满足，求的前项和的最大值、最小值. 随堂练习：已知数列的前项和为，满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 典例3、设数列的前n项积为，且. （1）求证数列是等差数列； （2）设，求数列的前n项和. 随堂练习：记为数列的前项和，已知． （1）证明：是等差数列； （2）若，记，求数列的前项和． 知识点二 裂项相消法求和,利用an与sn关系求通项或项 典例4、已知数列{}的前n项和满足：． （1）求数列{}的前3项； （2）求证：数列是等比数列； （3）求数列的前n项和． 随堂练习：已知为等差数列，为等比数列，． （1）求和的通项公式； （2）记的前项和为，求证：； （3）对任意的正整数，设求数列的前项和． 典例5、已知等比数列的公比是的等差中项．等差数列满足 ． （1）求数列的通项公式； （2）将数列与数列的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求此新数列的前50项和； （3），求数列的前项和． 随堂练习：已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和． 典例6、已知数列，，为数列的前项和，. （1）求数列的通项公式； （2）证明为等差数列，并求数列的前项和. 随堂练习：已知数列满足，，且，. （1）求数列的通项公式； （2）记在区间上，的项数为，求数列的前m项和. 2025高考--数列（一轮复习）课时七答案 典例1、答案： （1）； （2）证明见解析 解：（1）因为是公差为1的等差数列， 所以， 即，且， 所以， 累加得， 所以， 则； （2）因为， 累加得， 所以， 则， 则， 令， 且， 所以，且，所以， 所以， 且， 从而， 所以， 当时，时，， 所以． 随堂练习：答案： （1）. （2）. 解：（1）由题意数列满足， 则 . （2）由（1）可得， 故， 所以， 故 典例2、答案：（） （2） （3）最大值为，最小值为 解：（1）因为点在函数的图像上，所以， 又数列是等差数列，所以， 即所以， ； （2）解法1：， ==， 解法2：， ① ， ② ①-② 得 ， ； （3） 记的前n项和为， 则=， 当n为奇数时随着n的增大而减小，可得， 当n为偶数时随着n的增大而增大，可得， 所以的最大值为，最小值为. 随堂练习：答案： （1）； （2）. 解：（1）因为，所以， 两式相减得， 即，即， 又，，故， 因此，数列是每项都是1的常数列，从而. （2）因为，所以， 从而， 因此. 典例3、答案：（1）证明见解析； （2）. 解：（1）因为数列的前n项积为，且， ∴当n=1时，，则，. 当n≥2时，，∴， 所以是以为首项，为公差的等差数列； （2）由（1）知数列，则由得， 所以， 所以. 随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2） 解：（1）当且时，， 整理可得：，， 数列是公差为的等差数列. （2）由（1）得：， ， 典例4、答案： （1）；（2）证明见解析； （3）. 解：（1）当时，有：； 当时，有：； 当时，有：； 综上可知； （2）由已知得：时，， 化简得： 上式可化为： 故数列{}是以为首项，公比为2的等比数列. （3）由（2）知，∴， ∴ 当n为偶数时，= 令， ① ② 则①②得 ， ∴，=， 所以. 当n为奇数时，， ， 所以. 综上，. 随堂练习：答案：（1），；（2）证明见解析；（3）. 解: (1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为q. 由，，可得d=1. 从而的通项公式为. 由， 又q≠0，可得，解得q=2， 从而的通项公式为. (2)证明：由(Ⅰ)可得， 故，， 从而， 所以. (3)当n为奇数时，， 当n为偶数时，， 对任意的正整数n，有， 和 ① 由①得 ② 由①②得， 由于， 从而得：. 因此，. 所以，数列的前2n项和为. 典例5、答案： （1），； （2）； （3）． 解：（1）依题有,因为，解得： ．数列是等差数列,设其公差为,，解得：. （2）数列与数列都是递增数列, , ,, 新数列的前50项和为:. （3）∵， 设 , ， ， 两式相减有 , ∴. ∴ . . 随堂练习：答案： （1） （2） 解：（1）设等差数列的公差为，则，解得：， . （2）由（1）得：， 典例6、答案： （1） （2）证明见解析， 解：（1）当， 所以， 当， 即， 所以 所以； （2）当， 所以， 因为， 所以， 所以是， 所以， 所以， 令， 则=-1+， ， . 随堂练习：答案： （1），； （2）前m项和为，. 解：（1）由题意知：为等差数列，设其公差为d， 由，得，又， ∴，则. （2）由题及（1）得，， ∴. ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$