数列讲义六-2025届高三数学一轮复习

高中数学 2025高考--数列（一轮复习）课时六 知识点一 等差数列通项公式的基本量计算,写出等比数列的通项公式,求等比数列前n项和, 分组（并项）法求和 典例1、已知等比数列的前n项和为，且满足，数列满足：，． （1）求数列，的通项公式； （2）设数列的通项，求数列的前n项和． 随堂练习：已知正项数列的前n项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）将数列和数列中所有的项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列，求的前50项和． 典例2、已知数列的前项和满足，，． （1）求的通项公式； （2）数列，，满足，，且，求数列的前项和． 随堂练习：已知数列，前n项和为，对任意的正整数n，都有恒成立． （1）求数列的通项公式； （2）已知关于n的不等式…对一切恒成立，求实数a的取值范围； （3）已知 ，数列的前n项和为，试比较与的大小并证明． 典例3、已知数列的前n项和为，已知，，． （1）求数列的通项公式； （2）证明：． 随堂练习：已知各项都是正数的数列的前项和为，， （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足：，，数列的前项和，求证：； （3）若对任意恒成立，求的取值范围. 知识点二 累加法求数列通项,含绝对值的等差数列前n项和,由递推关系证明等比数列 典例4、在等比数列中，，公比，且，又有4是和的等比中项． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前21项和． 随堂练习：在数列中，，，且满足. （1）求数列的通项公式; （2）设是数列的前项和，求. 典例5、在①数列的前n项和；②且，，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解： （1）已知数列满足__________，求的通项公式； （2）已知正项等比数列满足，，求数列的前n项和． 随堂练习：已知为等差数列的前项和，且，___________.在①，，成等比数列，②，③数列为等差数列，这三个条件中任选一个填入横线，使得条件完整，并解答： （1）求； （2）若，求数列的前项和. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 典例6、数列满足，且（）． （1）求； （2）求数列的通项公式； （3）令，求数列的最大值与最小值． 随堂练习：已知数列的前项和为,且满足,数列的前项和为,且满足 ,其中N*. （1）求数列的通项公式； （2）若数列是公差不为零的等差数列. ①求实数的值. ②若≤对任意的N*恒成立,求的取值范围. 2025高考--数列（一轮复习）课时六答案 典例1、答案： （1） （2） 解：（1）设数列的公比为q， 因为，即，得，解得或， 当时，，不合题意，舍去，所以， 由，解得，所以， 对于，因为①， 当时，，则， 当时，②， 由①－②得，即， 又，也适合上式，故，， 采用累乘法求通项得， 所以． （2）由（1）可得：，则， 则数列的前n项和， ①当为偶数，时， 采用分组求和：， ， 所以； ②当为奇数，且时，为偶数，由（1）中结论得， 此时， 当时，，也适合上式， 所以. 综上所述，． 随堂练习：答案：（1） （2）2150 解：（1）依题意， 当时，，解得， 由， 当时，有， 作差得：， 所以， 因为， 所以， 所以数列是首项为3，公差为2的等差数列， 所以. （2）由（1）得，， 又，同时， 所以 所以 ． 所以的前50项和为2150． 典例2、答案： （1）； （2） 解：（1）由题意知，， 两式相减得，， 故，， 两式相减得， 即，可知数列为等差数列， 又，则，解得， 又因为，所以，等差数列的公差，故． （2）由题易知，又因为， 所以， 由累乘法可得：，，，， 所以，，因为，所以，， 当时，也符合，所以，，则， ． 随堂练习：答案：（1）；（2）；（3），证明见解析． 解:（1）由题意，因为2Sn=（n+1）an， 当n≥2时，2Sn-1=nan-1， 两式相减2an=（n+1）an-nan-1，可得（n-1）an=nan-1（n≥2）， 又a1=1≠0，则an≠0，所以， 可得， 累乘得n≥2时，， n=1时，a1=1也满足上式， 所以数列的通项公式为an=n． （2）设， 则= =， 所以f（n）在n≥3，n∈N*上单调递减， 所以，即． （3）， 则Tn=c1+c2+c3+…+cn= = 所以． 典例3、答案：（1）；（2）证明见解析. 解:（1）因为，所以， 故，即， 又因为，所以， 故为首项为2，公差为2的等差数列，即，即. （2）由（1）得，当时，， 所以 ，故得证. 随堂练习：答案：（1）；（2）证明见解析；（3）. 解:（1）时，，解得或（舍去） 当时， 化简得： ， 数列是以为首项，为公差的等差数列，. （2）证明：， ， ， 数列的前项和 （3）由已知条件参数分离可得（） 当且仅当即时，有最大值， . 典例4、答案： （1） （2） 解：（1）因为，可得，即， 又因为，所以， 因为4是和的等比中项，所以， 即与是方程的两个根，且， 所以，即，解得， 所以数列的通项公式为. （2）由，可得，则， 则数列的前项和为， 当时，，所以； 当时，， 所以. 随堂练习：答案：（1）； （2）. 解：（1）由可得是等差数列，且公差， 所以. （2）由，可得的前项和， 当时，， ， 当时，，此时， 所以 ， 综上所述： 典例5、答案： （1）； （2）. 解：（1）若选①：数列的前n项和. 当时，， 当时，，上式仍成立， ∴的通项公式为． 若选②：且，. 由可得，所以是和的等差中项， 所以是等差数列. 设公差为，则由，可得，所以. 所以的通项公式为． （2）设的公比为. 由（1）知， 又，所以， 即，又，所以， 所以，的通项公式为. 则， 所以 ． 随堂练习：答案：（1） （2） 解：（1）设等差数列的公差为 选择①：由题意得， 故，解得， 所以. 选择②：由题意得，即 解得， 所以. 选择③：由题意得， 故，解得， 所以. （2）由当为奇数时，，得数列的前项中奇数项的和为 ， 由当为偶数时，， 得数列的前项中偶数项的和为： ， 故. 典例6、答案：（1），，；（2）； （3）数列的最大值为，最小值为. 解: （1）当时，有，所以， 当时，，所以， 当时，，所以， （2）当时，①， 又②， ②式减①式可得：，即， 由（1）知当时，上式不成立， 所以是以从第二项开始，公比为的等比数列， 所以. （3）当时，， 当时，， 当时，且递减，， 当时，且递减，， 又， 综上所述，数列的最大值为，最小值为. 随堂练习：答案：（1）；（2）①；②≤≤. 解: （1）由可得， 作差得， 化简可得， 又时 所以数列是以首项，为公比的等比数列, 所以. (2) 设数列是以首项，为公差的等差数列, 则,, 由可得, 对任意恒成立, 可得,解之得或者(舍去) 所以， （3）因为≤恒成立， ①当为偶数时，≤， 令， 则 当≥3时，；当≤2时，； 又因为， 所以 ， 所以，≤， ② 当为奇数时，≥， 令， 则， 当≥3时，；当≤2时，； 因为， 所以 ， 所以，≥， 综上所述：≤≤， ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$