数列专练-2025届高三数学一轮复习

高中数学 2025高考--数列（一轮复习）课时五 知识点一 等差数列通项公式的基本量计算,裂项相消法求和,累乘法求数列通项 典例1、已知数列的前项和为，，且．数列为等比数列，． （1）求和的通项公式； （2）设 ，数列的前项和为，求的最小值． 随堂练习：已知正项数列满足，且，设. （1）求证：数列为等比数列并求的通项公式； （2）设数列的前项和为，求数列的前项和. 典例2、已知数列的前n项和为，，，． （1）求的通项公式； （2）证明：． 随堂练习：已知是数列的前n项和，，且． （1）求的通项公式； （2）证明：． 典例3、已知数列，，，数列为等比数列，满足，且，，成等差数列. （1）求数列和的通项公式； （2）记数列满足：，求数列的前项和. 随堂练习：已知等差数列的前项和为，数列为正项等比数列，且， ． （1）求数列和的通项公式； （2）若设的前项和为，求． 知识点二 由递推关系证明数列是等差数列,由递推关系证明等比数列,裂项相消法求和 典例4、在①是与的等比中项：②；③这三个条件中任选两个补充到下面的横线中并解答． 问题：已知公差不为零的等差数列的前项和为，且满足______． （1）求； （2）若，求数列的前项和． 注：如果选择多个组合分别作答，按第一个解答计分． 随堂练习：设首项为2的数列的前n项和为，前n项积为，且满足______________． 条件①：；条件②：；条件③：． 请在以上三个条件中，选择一个补充在上面的横线处，并解答以下问题： （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．） （1）求数列的通项公式；（2）求证：数列的前n项和． 参考公式：． 典例5、是数列的前项和，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列中最小的项. 随堂练习：设数列的前项和为，满足，. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的最小值及相应的n的值. 典例6、已知是数列的前项和，且. （1）求的通项公式； （2）若，求. 随堂练习：已知等差数列的公差为，数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）请直接写出的结果. 2025高考--数列（一轮复习）课时五答案 典例1、答案： （1）；，；（2）. 解:（1） 即有， 上式对也成立，则； 为公比设为的等比数列，，． 可得，，则，即，，； （2）， 前项和为， ， 即，可得递增，则的最小值为． 随堂练习：答案： （1） （2） 解：（1）因为， 所以， 因为， 所以， 所以，且， 所以数列是以为公比，为首项的等比数列，即， 即，可得，， 所以时，， 即， 而此时时，， 所以； （2）由（1），所以， 所以 所以 . 典例2、答案： （1） （2）证明见解析 解：（1）因为，， 所以， 所以，所以， 又，也成立， 所以的通项公式． （2）证明：由（1）知， 所以， 所以． 因为，所以，所以，所以，． 随堂练习：答案： （1） （2）证明见解析 解：（1）当时，可得． 当时，， 所以， 所以，所以． 因为，所以， 时也符合，故． （2）证明：由（1）知， 所以， 所以． 因为，所以．得证 典例3、答案： （1）， （2） 解：（1）由题意，，，，令得，又数列为等比数列， 所以，即数列为公比为等比数列. 所以由可得即， 数列是首项为，公差为的等差数列， 数列的通项公式：. 由，，成等差数列，得：，，，有. （2）由（1）知，数列的奇数项是首项为3，公差为4的等差数列， 偶数项是以首项为4，公比为4的等比数列. . 随堂练习：答案： （1）； （2） 解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， ， 或是正项等比数列， ， ． （2）由（1）知， ， ． 典例4、答案： （1） （2） 解：（1）方法1：选①和③ ，整理得， 设等差数列的公差为， 则有：， 整理得,，解得， 又由，可得，解得，故，所以， 方法2：选①和② ，，所以，， 设等差数列的公差为，则有， 化简得，解得，，则， 方法3：选②和③， ，可得，， 设等差数列的公差为，则有，得到方程，解得， 故，所以等差数列的通项公式为：. （2）， 随堂练习：答案： （1）； （2）证明见解析. 解：（1）若选择条件①：因为，所以，又， 所以数列是首项为2，公差为1的等差数列． 所以，所以． 若选择条件②：因为，所以． 当时，，整理得，， 所以， 累乘得，， 当时，，符合上式， 所以． 若选择条件③：因为，所以，即， 所以，所以数列为常数列， 又，所以，即． （2）由（1）知：，结合参考公式 可得 所以 所以 . 典例5、答案：（1）；（2）. 解: （1）对任意的，由得， 两式相减得， 因此，数列的通项公式为； （2）由（1）得，则. 当时，，即，； 当时，，即，.所以，数列的最小项为. 随堂练习：答案： （1）；（2）最小值，或9. 解: （1）∵，则， 两式相减得：，即， 验：由且知：符合， ∴. ∴数列是以1为首项，3为公比的等比数列，则. （2），则， ∴时，；时，；时，，即： ∴当或9时，数列取得最小值. 典例6、答案： （1） （2） 解：（1） 当时，， 当时，， 也符合上式，所以， （2）因为，所以时，；时，， 当时，， 当时， . 综上： 随堂练习：答案： （1） （2） （3） 解：（1）为等差数列，， 得到公差，进而得到， （2）， 所以 令，得，又， ，整理得， ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$