数列讲义四-2025届高三数学一轮复习

高中数学 2025高考--数列（一轮复习）课时四 知识点一 由Sn求通项公式,裂项相消法求和 典例1、已知数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）若，求证：数列的前项和． 随堂练习：已知等差数列的前项和为，公差为1，且满足．数列是首项为2的等比 数列，公比不为1，且、、成等差数列，其前项和为． （1）求数列和的通项公式； （2）若，求正整数的值； （3）记，求数列的前项和． 典例2、已知数列的前项和为，且满足， （1）求数列的通项公式； （2）-若数列的前项和为，求证： 随堂练习：已知数列的前项和，其中． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，，求数列的前项和； （3）若存在，使得成立，求实数的最小值． 典例3、已知数列是等差数列，记为的前n项和，是等比数列，． （1）求； （2）记，求数列的前2n项和． 随堂练习：已知数列中，，当时，，记． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前n项和为，证明：． 知识点二 确定数列中的最大（小）项,利用an与sn关系求通项或项 典例4、已知数列的前项和，且，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的最小项的值. 随堂练习：已知数列，，且对任意，都有. （1）设，判断数是否为等差数列或等比数列； （2）若，，求数列的前项的和. 典例5、已知数列满足. （1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）若__________，求数列的前项和. （在①；②；③这三个条件中选择一个补充在第（2）问中，并对其求解） 随堂练习：已知数列为公差不为0的等差数列，，且，，成等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前n项和． 典例6、已知在前n项和为的等差数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前20项和． 随堂练习：已知数列的前n项和为，其中，满足． （1）证明数列为等比数列； （2）求数列的前n项和． 2025高考--数列（一轮复习）课时四答案 典例1、答案：（1） （2）证明见解析 解：（1）当时，． 当时，， 则， 当时，满足上式，则． （2）由（1）可得， 则． ∵∴ 所以. 随堂练习：答案：（1），； （2）4； （3）. 解：（1）依题意，，解得，则， 设数列的公比为q，因，，成等差数列，则， 有，而，解得，， 所以数列和的通项公式分别为：，. （2）由（1）知，，，， 依题意，，整理得，而，解得， 所以正整数n的值是4. （3）由（1）知， 令数列的前n项和为，数列的前n项和为， 则， 于是得， 两式相减得：， 因此，， ， 数列的前项和. 典例2、答案： （1） （2）证明见解析 解：（1）由已知，时，， 与已知条件作差得： 所以， 所以,n=1成立 （2）证明：因为， 所 .得证. 随堂练习：答案： （1） （2） （3） 解：（1）当时，， 当时，， 两式相减并化简得（）， 当时，上式也符合， 所以. （2）数列满足，， 则，， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 所以， 设数列满足，且前项和为， ,, 两式相减得， 所以. 设数列满足，则的前项和， 所以. （3）依题意，存在，使得成立， ，则只需求的最小值. ， 当或时，取得最小值为. 所以的最小值为. 典例3、答案： （1） （2） 解：（1）由题意得，所以①， 又是等比数列， 所以， 因为，所以②， 又，故由①②联立解得， 又是等差数列，所以 为定值，即为定值， 故为等比数列，首项，公比， 所以的通项公式为． （2）由（1）得， 所以， 即是以1为首项，4为公差的等差数列， 令，则， 记的前n项和为， 所以， 数列数列的前2n项和为． 随堂练习：答案： （1） （2）证明见解析 解：（1）由题意得， 所以，即． 当时， ． 当时，也符合． 综上，． （2）证明：由（1）得， 当时； 当时，， 故当时， ． 综上，． 典例4、答案：（1）；（2）. 解: （1），，则， 即， 当时，； 当时，； 经检验适合， （2）由（1）知： ，， ， 当时，， 当时，；当时，； 又，，当时，有最小值. 随堂练习：答案：（1）答案见解析；（2）. 解:（1）由，得，， 所以，数列是等差数列. 当的公差为零时，，数列是等差数列，不是等比数列； 当的公差不为零时，，数列既是等差数列也是等比数列； （2）若，由（1）知， 所以数列是等差数列，且首项为，公差为，. 则，. . 典例5、答案： （1） （2）答案见解析 解：（1）∵，则，即 故数列是首项和公差都为2的等差数列， ∴，即 （2）选①： ∵， ∴. 选②： ∵，则有： 当时，； 当时，； ∴. 选③： ∵， ∴. 随堂练习：答案： （1） （2） 解：（1）∵，，成等差数列， ∴， ∴， 设数列的公差为， ∴， ∴， ∵，解得：， ∵， ∴，， ∴； （2）∵， ∴数列的前n项和为． 典例6、答案： （1）； （2）. 解：（1）由，则， 由，则， 所以，即，故， 则. （2）由（1）知：，可得，即，故时， 所以. 随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2）． 解: （1）由可得， 因为，所以 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列 （2）根据（1）可得：， 所以， 所以， 所以． ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$