数列讲义三-2025届高三数学一轮复习

高中数学 2025高考--数列（一轮复习）课时三 知识点一 等差数列通项公式的基本量计算,等比数列通项公式的基本量计算,错位相减法求和, 分组（并项）法求和 典例1、已知数列的前项和为，，. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）若数列，，求前项和. 随堂练习：已知数列的前项和为，且． 1、求的通项公式； 2、设数列的前项和为，证明：． 典例2、已知等差数列的公差，它的前项和为，若=70，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）中的第2项，第4项，第8项，…，第项，按原来的顺序排成一个新数列，求的前n项和. （3）已知数列，，若数列的前项和为，求证：. 随堂练习：已知为等差数列，. （1）求的通项公式； （2）若为的前项和，求. 典例3、设数列的前项和为，，，数列中，，，，…，，…是首项、公差均为2的等差数列. （1）求数列、的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 随堂练习：已知公差不为零的等差数列的前项和为，且满足，，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 知识点二 判断等差数列,写出等比数列的通项公式,求等比数列前n项和,分组（并项）法求和 典例4、已知正项数列的前n项和为，且，数列满足． （1）求数列的前n项和，并证明，，是等差数列； （2）设，求数列的前n项和． 随堂练习：已知数列的前项和． （1）证明：数列是等差数列； （2）设，试问：数列是否有最大项、最小项，若有，分别指出第几项最大、最小；若没有，试说明理由． 典例5、已知数列的前项和为，，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 随堂练习：已知数列的首项为1，前项和为，且满足______. ①，；②；③. 从上述三个条件中选一个填在横线上，并解决以下问题： （1）求； （2）求数列的前项和. 典例6、已知数列{an}和{bn}，a1＝2，，， （1）证明：是等比数列； （2）若，求数列的前n项和Sn. 随堂练习：已知等差数列的前项和为，，，． （1）求的通项公式 （2）设，求数列的前项之和． 2025高考--数列（一轮复习）课时三答案 典例1、答案：（1） （2） （3） 解：（1）当时，，可得， 当时，由可得， 上述两个等式作差得，可得， 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，故. （2），所以，， 所以，， 上述两个等式作差得， 因此，. （3）由题意可得，， 所以， . 随堂练习：答案： （1） （2）证明见解析 解：（1）由题意，当时，， 当时，由得， 两式相减，得，又， 故数列的通项公式为. （2）依题意，得， 则， 所以. 典例2、答案： （）1（） （2） （3）证明见解析. 解：（1）解：因为数列是等差数列， 所以，． 依题意，有，即 解得，． 所以数列的通项公式为（）． （2）由题意：， ∴ （3）证明：由（1）可得．所以， ． 因为，所以． 因为，所以数列是递增数列． 所以．所以． 随堂练习：答案：（1）； （2）. 解：（1）∵. ∴， ∴， ∴； 当时，满足上式， 所以； （2）由（1）可得， ∴. 典例3、答案： （1），. （2） 解：（1）当时，由可得：； 当时，由①，② 则得： 所以. 因为，，所以数列为等比数列，所以. 因为，，，…，，…是首项、公差均为2的等差数列， 所以，，，……， 累加得：， 所以.n=1成立 综上所述：，. （2） 所以数列的前项和 所以. 随堂练习：答案： （1） （2） 解：（1）设公差为，则，即， 因为，，成等比数列，所以， 即，整理得， 因为所以，代入，解得， 所以. （2）, 所以 . 典例4、答案：（1），证明见解析； （2）． 解：（1）①，， 当时，，∴或(舍)， 当时，②， ①－②：，∴， ∵，∴， ∴是以2为首项，2为公差的等差数列，∴，， ∴数列是首项为－2，公比为2的等比数列， ∴． （2）∵， ∴，，成等差数列； ， 当n为偶数时， ． 当n为奇数时， ． 综上可知． 随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2）第1595项最小，无最大项 解：（1）因为数列的前项和， 当时，， 当时，， 因为当时也满足，故. 故为常数，故是等差数列 （2）由（1），故， 则 ， 因为，故令可解得或， 即，，， 因为，， 故数列有最小项为第1595项，又随着的增大一直增大无最大值， 故数列第1595项最小，无最大项 典例5、答案： （1）， （2） 解：（1）由题意，当时，， 当时，由， 可得， 两式相减， 可得， 化简整理，得， 也满足上式， 数列是以2为首项，2为公差的等差数列， ，． （2）由（1），可得， 则 ． 随堂练习：答案： （1） （2） 解：（1）选① 因为，所以当为奇数时，； 同理，当为偶数时，. 所以. 选② 因为，（*）所以当时，，（**） （*）-（**），得，即， 所以数列是首项为1的常数列， 所以. 选③ 因为，所以， 所以数列是首项为的常数列， 所以，所以当时，. 当时，也符合上式.所以. （2）由（1）得，， 所以 典例6、答案：（1）证明见解析 （2） 解：（1）∵，， ∴，， 又，，解得，， ∴是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）知，则， ∴， ∴ . 随堂练习：答案： （1） （2） 解：（1）设等差数列的公差为， 则由已知可得：，解得， 所以. （2）因为，， 所以. ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$