数列讲义二-2025届高三数学一轮复习

2025高考--数列（一轮复习）课时二

知识点一  根据规律填写数列中的某项,数列求和的其他方法,数列新定义  

典例1、对于项数为的有穷数列，设为中的最大值，称数列是的控制数列.例如数列3，5，4，7的控制数列是3，5，5，7.

（1）若各项均为正整数的数列的控制数列是2，3，4，6，6，写出所有的；

（2）设是的控制数列，满足（为常数，）.证明：.

（3）考虑正整数的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列.是否存在数列，使它的控制数列为等差数列？若存在，求出满足条件的数列的个数；若不存在，请说明理由.

 

 

 

 

 

 

 

随堂练习：给定整数()，设集合，记集合．

（1）若，求集合；

（2）若构成以为首项，()为公差的等差数列，求证：集合中的元素个数为；

（3）若构成以为首项，为公比的等比数列，求集合中元素的个数及所有元素之和．

 

 

 

 

 

 

 

 

典例2、设数集满足：①任意，有；②任意x，，有或，则称数集具有性质.

（1）判断数集和是否具有性质，并说明理由；

（2）若数集且具有性质.

（i）当时，求证：，，…，是等差数列；

（ii）当，，…，不是等差数列时，求的最大值.

 

 

 

 

 

 

随堂练习：已知项数为的有穷数列满足如下两个性质，则称数列具有性质P；

①；②对任意的、，与至少有一个是数列中的项．

（1）分别判断数列、、、和、、、是否具有性质，并说明理由；

（2）若数列具有性质，求证：；

（3）若数列具有性质，且不是等比数列，求的值．

 

 

 

 

 

 

 

 

知识点二   由递推关系证明数列是等差数列,错位相减法求和  

典例3、已知为数列的前项和,．

（1）证明:数列为等比数列;

（2）求数列的前项和．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

随堂练习：已知数列中，，且满足.

（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.