数列讲义二-2025届高三数学一轮复习

高中数学 2025高考--数列（一轮复习）课时二 知识点一 根据规律填写数列中的某项,数列求和的其他方法,数列新定义 典例1、对于项数为的有穷数列，设为中的最大值，称数列是的控制数列.例如数列3，5，4，7的控制数列是3，5，5，7. （1）若各项均为正整数的数列的控制数列是2，3，4，6，6，写出所有的； （2）设是的控制数列，满足（为常数，）.证明：. （3）考虑正整数的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列.是否存在数列，使它的控制数列为等差数列？若存在，求出满足条件的数列的个数；若不存在，请说明理由. 随堂练习：给定整数()，设集合，记集合． （1）若，求集合； （2）若构成以为首项，()为公差的等差数列，求证：集合中的元素个数为； （3）若构成以为首项，为公比的等比数列，求集合中元素的个数及所有元素之和． 典例2、设数集满足：①任意，有；②任意x，，有或，则称数集具有性质. （1）判断数集和是否具有性质，并说明理由； （2）若数集且具有性质. （i）当时，求证：，，…，是等差数列； （ii）当，，…，不是等差数列时，求的最大值. 随堂练习：已知项数为的有穷数列满足如下两个性质，则称数列具有性质P； ①；②对任意的、，与至少有一个是数列中的项． （1）分别判断数列、、、和、、、是否具有性质，并说明理由； （2）若数列具有性质，求证：； （3）若数列具有性质，且不是等比数列，求的值． 知识点二 由递推关系证明数列是等差数列,错位相减法求和 典例3、已知为数列的前项和,． （1）证明:数列为等比数列; （2）求数列的前项和． 随堂练习：已知数列中，，且满足. （1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 典例4、已知数列的前项和为，满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 随堂练习：设数列的前n项积为，且. （1）求证数列是等差数列； （2）设，求数列的前n项和. 典例5、设等差数列的前n项和为，数列是首项为1公比为的等比数列，其前n项和为，且，对任意恒成立. （1）求数列，的通项公式； （2）设，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 随堂练习：已知数列的前项和为，且满足．设 ，数列的前项和为． （1）证明：数列是等比数列； （2）设，若对任意的恒成立，求实数的取值范围． 典例6、已知数列中，，且满足． （1）求的值； （2）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； （3）若恒成立，求实数的取值范围． 随堂练习：已知等差数列中，公差，，是与的等比中项，设数列的前项和为，满足. （1）求数列与的通项公式； （2）设，数列的前项和为，若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 2025高考--数列（一轮复习）课时二答案 典例1、答案： （1）答案见解析； （2）证明见解析； （3）。 解：（1）由题意，，，，， 所以数列有六种可能：；；；；；． （2）因为，，所以， 所以控制数列是不减的数列， 是的控制数列，满足，是常数，所以， 即数列也是不减的数列，， 那么若时都有，则， 若，则，若，则， 又，由数学归纳法思想可得对，都有； （3）设的控制数列是，由（2）知是不减的数列，必有一项等于， 当是数列中间某项时，不可能是等差数列， 所以或， 若，则（），是等差数列， 此时只要，是的任意排列均可．共个， ，而时，数列中必有，否则不可能是等差数列， 由此有，即就是，只有一种排列， 综上，的个数是． 随堂练习：答案：（1）（2）见解析（3） 解:（1）因为， 当时， ∴． (2) 因为构成以为首项，()为公差的等差数列， 所以有()，以及()． 此时，集合中的元素有以下大小关系：． 因此，集合中含有个元素． (3)由题设，． 设集合，． ①先证中的元素个数为，即从集合中任取两个元素，它们的和互不相同． 不妨设，于是． 显然． 假设，可得，即． 因为，，所以，又， 于是，等式不成立． 因此，． 同理可证． ②再证． 不妨设，于是． 显然，． 假设，可得，即， 因为，所以，又，于是，等式不成立． 因此，． 由①②，得，且． 此时，集合中的元素个数为． 集合中所有元素的和为． 典例2、答案： （1）数集不具有性质，数集具有性质，证明见解析 （2）（i）证明见解析；（ii）4 解：（1）证明：对于数集，，，所以数集不具有性质， 对于数集，任意，，所以数集具有性质. （2）（i）当时，数集具有性质， ，所以，即，因为， 则，又因为，所以， 则，因为， 所以得，，， 因为，所以，则， 又因为，所以或，因为， 所以(舍去)，即，， 所以，即当时，，，…，是等差数列. （ii）若数集且具有性质， 按照(1)推导的方式得出一般结论，具体如下：因为， 所以，即， 因为， 所以①，所以，， 因为， 所以，即， 因为， 根据， 分两种情况： 第一种情况为，，…，， 第二种情况为，， 先考虑第二种情况，与题意矛盾， ，与题意矛盾， 所以只能为第一种情况，可得②， 由①-②，得， 即， 即当时，，，…，是等差数列， 当时，，所以，即， 由前面得出，所以，， 当成立时，，，，不是等差数列， 所以的最大值为4. 随堂练习：答案：（1）数列、、、不具有性质，数列、、、不具有性质，见解析 （2）证明见解析 （3） 解：（1）对于数列、、、，因为，， 所以，数列、、、不具有性质； 对于数列、、、，当时，，， 所以，数列、、、不具有性质. （2）证明：因为， 因为，则为数列中的项，所以，， 设且，因为，则不是数列中的项， 所以，为数列中的项， 因为， 所以，，，，， 上述等式全部相乘可得，因此，. （3）解：当时，由（2）可知， 由题意可得，这与数列是等比数列矛盾； 当时，由（1）可知，数列、、、具有性质； 当时，由（2）可知，，① 当时，，所以，不是数列中的项， 因为，， 所以，，，，，所以，， 因为，所以，，， 所以，，，所以，，② 由①②可得，这与数列不是等比数列矛盾，不合题意. 综上所述，. 典例3、答案：（1）证明见解析 （2） 解：（1）证明:由题知, , 解得:故, 由, 可得,, 两式相减可得: ,, 所以,, 所以,, 所以数列是以6为首项,2为公比的等比数列; （2）由(1)得数列是以6为首项,2为公比的等比数列, 所以, 故, 则, 设,其前n项和为, 则①, ②, ①-②可得: , 所以, 所以, 综上:. 随堂练习：答案： （1）证明见解析； （2） 解：（1）， 数列是以为首项，以5为公比的等比数列. ， （2） ， 即①， ②， 由①②得： ， ， 化简得：. 典例4、答案： （1）； （2）. 解：（1）因为，所以， 两式相减得， 即，即， 又，，故， 因此，数列是每项都是1的常数列，从而. （2）因为，所以， 从而， 因此. 随堂练习：答案：（1）证明见解析； （2）. 解：（1）因为数列的前n项积为，且， ∴当n=1时，，则，. 当n≥2时，，∴， 所以是以为首项，为公差的等差数列； （2）由（1）知数列，则由得， 所以， 所以. 典例5、答案： （1）， （2） 解：（1）设等差数列的首项为，公差为则 由，得即 由①得，由②得，由③得， 所以数列的通项公式为， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，，所以， ① ② ②-①得： 化简得：， 又因为，即 即， （i）当时，，所以； （ii）当时，， 令，则 当时，，所以单调递减； 当时，，所以单调递增； 当时，取得最小值为 ，即, 所以的取值范围是. 随堂练习：答案： （1）证明见解析；（2）. 解：（1）因为，① 所以，② ②-①得，． 所以， 又， 即． 在①中，令得，， 又，所以． 所以，即． 所以， 故数列是以为首项，为公比的等比数列． （2）由（1）可得，， 所以， 所以时，． 当时，适合上式， 所以． 所以， 所以． 令，得，即恒成立． 令，则． 当时，， 所以，解得， 故实数的取值范围为． 典例6、答案：（1） （2）证明见解析； （3） 解：（1）由题意得： （2）为常数 数列是首项为2，公差为1的等差数列 （3） 令， 当时，，递增 当时，，递减 当或n=3时，有最大值 随堂练习：答案： （1）， （2） 解：（1）∵ 则，解得或（舍去） ∴. 又∵， 当时，，则， 当时，，则，即， 则数列是以首项，公比为的等比数列， ∴. （2）， ， 两式相减得： ∴ ∵对任意的恒成立，即对任意的恒成立 ①当是奇数时，任意的'恒成立 ∴对任意的恒成立 ②当是偶数时，对任意的恒成立 ∴对任意的恒成立 令，对任意的恒成立 ∴为递增数列 ①当是奇数时，则，即 ②当是偶数时，则 ∴. ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$