数列讲义一-2025届高三数学一轮复习

高中数学 2025高考--数列（一轮复习）课时一 知识点一 等差数列通项公式的基本量计算,等比数列通项公式的基本量计算,错位相减法求和, 分组（并项）法求和 典例1、已知数列中，． （1）证明：数列和数列都为等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前n项和． 随堂练习：在数列中，， （1）设，求证：； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前项和. 典例2、设数列满足，且．等差数列的公差d大于0．已知，且成等比数列． （1）求证：数列为等差数列，并求的通项公式； （2）求数列的前n项和． 随堂练习：已知等差数列满足，，数列满足，． （1）求，的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 典例3、在等差数列中，已知，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前n项和； （3）记，数列的前n项和为，若对任意的，，都有，求正整数k的最小值． 随堂练习：已知数列中，，，，数列的前n项和为Sn. （1）求的通项公式； （2）已知， （i）求数列前n项和Tn； （ii）证明：当时，. 知识点二 等比中项的应用,裂项相消法求和,分组（并项）法求和,等差数列通项公式的基本量计算 典例4、已知等差数列是单调递增数列，，且，，成等比数列，是数列的前项和. （1）求数列的通项公式； （2）设，是数列的前项和，求. 随堂练习：已知数列的前项和为，，，． （1）求； （2）设是数列的前项和，求． 典例5、已知数列{}满足 （1）求证：数列是等差数列； （2）记，求数列{·}的前2022项和； 随堂练习：已知数列满足，，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 典例6、设各项均为正数的数列的前n项和为，满足对任意，都． （1）求证：数列为等差数列； （2）若，求数列的前n项和． 随堂练习：设数列满足，且. （1）求证：数列为等差数列，并求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 2025高考--数列（一轮复习）课时一答案 典例1、答案： （1）证明见解析. （2） （3）. 解：（1）由得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. 由得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）得， 则， 所以 ， 也符合上式， 所以. （3）， 令， ， 两式相减得 ， 所以. 所以. 随堂练习：答案：（1）证明见解析； （2）； （3）. 解：（1）由条件可知：，， ， ，； （2）由第（1）问可知，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 以上各式相加，得， ，，，即； （3）由第（1）、（2）问知，，，则， 设数列的通项公式，前项和为， ， 两式相减，得， ， 数列的前项和. 典例2、答案：（1）证明见解析， （2） 解：（1）证明：因为， 所以， 又， 所以数列是以4为首项，2为公差的等差数列， 则， 当则 ，n=1成立 所以； （2）由，得， 又成等比数列，使用， 即，解得（舍去）， 所以， 则， 所以. 随堂练习：答案：（1），； （2）. 解：（1）设数列的公差为，由题可得，解得， 故； 因为满足，， 故当时，， 故，符合该式，所以； （2）由题可得，设的前项和为， 则， 故 则 即，故. 故数列的前项和为. 典例3、答案：（1） （2） （3）9 解：（1）设公差为，则，解得， 所以； （2）由题意，所以， ； （3）由（1）， ，， 相减得， ，由，得， 令，则， 设， 则， 当时，， 当时，，即， 当时，， ，，， 所以当时，，当时，， 当时，递减，当时，递增， ，，， 因此当时，，当时，， 所以满足的的最小值是9，即的最大值是9． 随堂练习：答案： （1） （2）（i）Tn；（ii）证明见解析 解：（1）由题意可知，数列的奇数项构成的数列是首项为1，公差为4的等差数列， 偶数项构成的数列是首项为2，公差为4的等差数列. 当n为奇数时，； 当n为偶数时， （2）（i）， ， ； （ii）， ，则； （时等号成立） 当时， 设， ； 综上，当时，. 典例4、答案： （1）； （2）. 解：（1）设的公差为，则 ∴，∵，∴， ∴的通项公式为. （2）由（1）得， . 随堂练习：答案： （1）； （2）. 解：（1）由题，可得， 又知，所以数列是首项为1，公差为的等差数列， 所以，即． （2）由（1）可得， ∴． 典例5、答案： （1）证明见解析 （2） 解：（1）依题设可得 ∴数列{}是以为首项，以1为公差的等差数列， ∴， ∴ （2）由（1）可得， ∴， ∴ 随堂练习：答案： （1） （2）当时，；当时， 解：（1）证明：，变形为：，， ∴数列是等比数列，首项为6，公比为3. ∴， 变形为：，， ∴， ∴ （2）由（1）得， ∴当时，数列的前项和 . 当时，数列的前项和 . 典例6、答案：（1）证明见解析； （2）. 解：（1）证明：当时，，，所以. 当时，有，， 两式相减得， 所以，则， 两式相减得，即， 因为数列各项均为正数，所以有， 又时，则，即，整理可得， 解得或（舍去）， 所以，满足. 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列. （2）由（1）可得，，所以. 所以，当为偶数时，. 当为偶数时， ； 当为奇数时，. 综上所述，. 随堂练习：答案： （1）证明见解析，; （2） . 解：（1）由已知得， 即， 是以 4 为首项， 2 为公差的等差数列. ， 当时，, 当时，也满足上式，所以; （2）, 当为偶数时， 当为奇数时， , 所以 . ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$