精品解析：湖南省衡阳市耒阳市正源学校2023-2024学年七年级下学期竞赛试卷数学试题 （A卷）

2024年上学期初一年级数学竞赛试卷（A卷） 分值：150分 时量：120分钟 一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分） 1. 下列为的算术平方根的是（ ） A. 3 B. 9 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键； 先求出，再根据算术平方根的定义解答即可． 【详解】 ， 的算术平方根的是3， 故选：A. 2. 下列各式：①，②③④其中正确的个数为（ ） A. 0 个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查单项式乘单项式、幂的乘方、积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 由题意根据单项式乘单项式、幂的乘方、积的乘方逐一判断可得答案． 【详解】解：①，选项计算错误； ②选项计算错误； ③，选项计算错误； ④，选项计算错误； 综上所述：中正确的个数为0. 故选：A． 3. 下列四个多项式，能因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键，利用分解因式的基本方法进行判断，进而得出答案． 【详解】解：A、不能因式分解，不符合题意； B、不能因式分解，不符合题意； C、不能因式分解，不符合题意； D、能因式分解，符合题意； 故选：D． 4. 对于任何整数 ，多项式都能（ ） A. 被8整除 B. 被 整除 C. 被整除 D. 被整除 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的应用，通过因式分解判断整除性． 利用平方差公式将多项式分解因式，并化简，根据结果判断整除性． 【详解】解：原式 因为是整数，所以和也是整数． 因此，原式一定能被整除． 故选：A． 5. 已知：BD＝CB，AB平分∠DBC，则图中有（ ）对全等三角形． A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 【答案】B 【解析】 【分析】先利用SAS证明， 再依次证明，从而可得结论． 【详解】解： AB平分∠DBC， ， ，， ， ，， ， ， ， ，， ． ∴图中一共有3对全等三角形，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，灵活的选用全等的判定方法是解本题的关键． 6. 如图，在 中，，平分，平分，，则图中的等腰三角形的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线性质，角平分线性质，等腰三角形判定，进行角的等量代换是正确解答本题的关键．根据等腰三角形的判定，结合平行线性质，角平分线性质，可确定 ，，，，是等腰三角形，即可解题． 【详解】解： ， ，即 为等腰三角形； 平分， ， ， ，， ，为等腰三角形； 为等腰三角形； 平分， ， 同理可证，为等腰三角形； ， ， 为等腰三角形； 综上所述，图中的等腰三角形的个数是5个， 故选：D． 7. 如果三角形三条边的垂直平分线的交点落在三角形的边上，这个三角形一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记三种三角形三边垂直平分线的交点的位置是解题的关键．根据三种三角形三边垂直平分线上的交点的位置解答即可． 【详解】解：∵锐角三角形三边垂直平分线的交点在三角形的内部，钝角三角形三边垂直平分线的交点在三角形的外部，直角三角形三边垂直平分线的交点在三角形的斜边上， ∴该三角形是直角三角形． 故选：B． 8. 下列说法中，正确的是（ ） A. 每一个命题都有逆命题 B. 假命题的逆命题一定是假命题 C. 每一个定理都有逆定理 D. 假命题没有逆命题 【答案】A 【解析】 【详解】试题解析：A. 每一个命题都有逆命题，正确； B. 假命题的逆命题不一定是假命题，故错误； C. 定理的逆命题不一定正确，故错误； D. 所有的命题都有逆命题，故错误. 故选A. 9. 的三边长分别为a，b、c，下列条件：①；②；③；④，其中能判断 是直角三角形的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理和三角形内角和定理的应用．通过分析各条件中角的关系或边的比例，判断是否为直角三角形． 【详解】①由，代入内角和，得，化简得，故，为直角三角形，符合条件； ②设，，，则，解得，最大角，不满足条件； ③由展开得，即，根据勾股定理逆定理，为直角三角形，符合条件； ④设，，，则，满足勾股定理，为直角三角形，符合条件． 综上，符合条件的有①、③、④，共3个． 故选C． 10. 如图：已知△ABC为直角三角形，分别以直角边AC、BC为直径作半圆AmC和BnC，以AB为直径作半圆ACB，记两个月牙形阴影部分的面积之和为，△ABC的面积为，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理得到，求出两个月牙形阴影部分的面积之和为，从而得到结论． 【详解】解：在Rt△ABC中， ∵， ∴ ， ∵． ∴． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用、圆面积公式等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 11. 如图，在 中，， 平分，于 ，有下列结论：；；；平分；，其中正确的有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，由角平分线的性质可以判断；证明可以判断；由同角的余角相等可以判断；由，根据全等三角形的性质可以判断；利用三角形面积和角平分线的性质可以判断；熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵ 平分，， ∴，故正确； 由得， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； 由得：， ∴， ∴ 平分，故正确； 由， ∵， ∴， ∴，故正确， 综上正确，共 个， 故选：A． 12. 如图，△ABC的面积为1cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（ ） A. 0.4 cm2 B. 0.5 cm2 C. 0.6 cm2 D. 0.7 cm2 【答案】B 【解析】 【详解】解：延长AP交BC于E， ∵AP垂直∠ABC的平分线BP于P， ∴∠ABP=∠EBP， 又知BP=BP，∠APB=∠BPE=90°， ∴△ABP≌△BEP， ∴， ∴△APC和△CPE等底同高， ， ∴， 故选：B． 二、填空题（共8小题，每小4分，满分 32分） 13. 已知，，则______． 【答案】50 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法的逆用及幂的乘方的逆用可直接进行求解． 【详解】解：∵3m=5，9n=10， ∴3m=5，32n=10， ∴32n+m=32n⋅3m =10×5=50； 故答案为：50． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法逆用及幂的乘方的逆用，熟练掌握同底数幂的乘法逆用及幂的乘方的逆用是解题的关键． 14. 若的三边长为a，b，c，且满足 ，则这个三角形为_________________． 【答案】直角三角形 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，绝对值，偶次方的非负性，勾股定理的逆定理等知识点，能求出a、b、c的值是解此题的关键． 先根据算术平方根，绝对值，偶次方的非负性求出a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴，，， 即， 所以， 所以 是直角三角形． 15. 从1到100之间所有自然数的平方根的和为_____________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了平方根的定义，根据一个正数的平方根有两个，并且这两个平方根互为相反数求解即可． 【详解】一个正数的平方根有两个，并且这两个平方根互为相反数，1到100之间的数都为正数，一个非负数的两个平方根的和为0． 则：1到100之间所有的自然数的平方根的和为0． 故答案为∶0． 16. 若为最大的负整数，则a的值应为_______ 【答案】±5 【解析】 【分析】根据原式的值为最大的负整数-1得=-1；然后利用立方根的定义求出a的值即可. 【详解】解：由题意可得：=-1 即9-2|a|=-1 解得：a=±5. 【点睛】本题只要根据立方根的定义即可作答，关键是知道最大的负整数是几； 17. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________． 【答案】5或 【解析】 【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论． 【详解】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时， 第三边的长为：； ②长为3、4的边都是直角边时， 第三边的长为：； ∴第三边的长为：或5， 故答案为：或5． 18. 已知在整数范围内可以分解因式，则整数a的值有_________个 【答案】8 【解析】 【分析】此题考查因式分解—十字相乘法，解题关键在于理解．把分成两个整数的积，则等于这两个数的和，进而得到答案． 【详解】解：当时，， 当时，， 同理可求：，，， 综上所述： 的取值是、、或，共8个． 故答案为：8． 19. 如图，是 的高线， 与相交于点F．若，且 的面积为12，则 的长度为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】利用证明，得，再根据三角形面积可得 的长，从而可得答案． 【详解】解：，是 的高线， ， ， ， 在 和中， ， ， ， 的面积为12， ，即 ， ， ， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 20. 如图，在和中，，，与相交于点 ，与相交于点 ， 与相交于点 ，．有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查的是三角形全等的判定，全等三角形的性质的应用，所以熟悉三角形全等的判定方法并应用，熟悉全等三角形的性质并应用是关键． 先证明与全等，再证明即可得到答案． 【详解】解：， ， 在与 中， ，故①正确， 在与 中， ()，故④正确， ，故③正确． 因为条件不足，无法证明②； 故答案为：①③④． 三、解答题（共7题，满分70分） 21. 计算 （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3）5151 【解析】 【分析】此题考查了实数的运算，包括算术平方根，立方根，绝对值、整式混合运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． （1）首先根据算术平方根，立方根，绝对值的定义化简，然后计算加减，即可求解； （2）根据整式的混合运算法则求解即可， （3）先变形，然后根据平方差公式因式分解，再计算求和即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ． 22. 在有理数范围分解因式 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】此题考查的是因式分解，掌握利用提公因式法和公式法因式分解是解决此题的关键． （1）利用提公因式法因式分解即可； （2）把看着一个整体，利用完全平方公式因式分解即可； （3）设，先计算，再分解关于a的多项式，然后代入还原继续因式分解即可； （4）利用分组分解法，利用两次完全平方公式因式分解即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 【小问3详解】 设， 则原式， ， ∴原式 【小问4详解】 ， . 23. 已知a，b，c均为正数，且满足 ，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次方程组的特殊解法，解题关键是利用完全平方公式分解因式得出． 根据由得，再将看着一个整体求解即可． 【详解】解：， 由得：， 设，则， 解得，， ∵已知a，b，c均为正数， ∴ 24. 如图所示，已知和两点 、 ，求作一点 ，使得点 到的两边距离相等且. 【答案】详见解析 【解析】 【分析】要使点 到的两边距离相等，则 应在的角平分线上，要使，则点P在 的垂直平分线上，那么满足题设的点 就是 的垂直平分线与的角平分线的交点. 【详解】要使点 到的两边距离相等，则 应在的角平分线上，要使，则点P在 的垂直平分线上，那么满足题设的点 就是 的垂直平分线与的角平分线的交点， 作的角平分线，再作线段 的垂直平分线交OC于点 ，如图所示： 【点睛】本题是对角平分线的性质和垂直平分线性质的考查，熟练掌握角平分线的性质和垂直平分线性质是解决本题的关键. 25. 已知：△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC，求证：AB+BD=CD． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先在线段DC上取一点E，使DE=DB，连接AE，利用∠B=2∠C，求证△ACE是等腰三角形，然后利用等量代换即可求证结论． 【详解】解：证明：在线段DC上取一点E，使DE=DB，连接AE， ∵AD⊥BC， ∴AD垂直平分BE， ∴AB=AE，BD=DE， ∴∠AEB=∠B， ∵∠B=2∠C， ∴∠AEB=2∠C， ∴∠EAC=∠AEB-∠C=2∠C-∠C=∠C， ∴AE=CE， ∴CE=AE=AB， ∴DC=DE+CE=AB+BD， ∴AB+BD=DC． 【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，证明此题的关键是在线段DC上取一点E，使DE=DB，连接AE，这也是此题的突破点． 26. 证明：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半． 【答案】 解：已知：如图，在 中， ， 是斜边 上的中线， 求证：； 证明：如图，延长 到E，使，连接， ∵ 是斜边 上的中线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴直角三角形斜边的中线等于斜边的一半． 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，矩形的判定与性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，矩形的判定与性质是解题的关键． 作出图形，然后写出已知、求证；如图，延长 到E，使，连接，证明四边形是矩形，则，，进而结论得证． 【详解】略 27. 如图1，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，点F是AB上一点，作等腰Rt△FCP，且∠PCF=90°，连结AP． （1）求证：△CFB≌△CPA； （2）求证：AP2+AF2=PF2； （3）如图2，在AF上取点E，使∠ECF=45°，求证：AE2+BF2=EF2． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由△ABC和△PCF都是等腰直角三角形，易得AC=BC，PC=FC，∠ACP=∠BCF可得结论； (2) 由（1）可得∠PAC=∠B=45°，可得∠PAF=∠PAC+∠BAC=45°+45°=90°，AP2+AF2=PF2； （3）连结PE，可证得△PCE≌△FCE（SAS），可得EF=EP，∠PCE=∠ECF=45°，由（2）知可得∠PAF=90°，PA=BF，AP2+AE2=PE2，AE2+BF2=EF2. 【详解】解： （1）证明：∵△ABC和△PCF都是等腰直角三角形， ∴AC=BC，PC=FC，∠ACB=PCF=90°， ∴∠ACB-∠ACF=∠PCF-∠ACF， ∴∠ACP=∠BCF， 在△CFB与△CPA中 ∴△CFB≌△CPA（SAS） （2）证明：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠B=∠BAC=45°， 由（1）△CFB≌△CPA，∴∠PAC=∠B=45°， ∴∠PAF=∠PAC+∠BAC=45°+45°=90°， ∴AP2+AF2=PF2 （3）证明：连结PE， ∵∠ACE+∠BCF=∠ACB-∠ECF=90°-45°=45°， ∵∠BCF=∠ACP， ∴∠PCE=∠PCA+∠ACE=45°， 在△PCE与△FCE中 ∴△PCE≌△FCE（SAS）， ∴EF=EP，∠PCE=∠ECF=45° 由（2）知∴∠PAF=90°，PA=BF， ∴AP2+AE2=PE2； ∴AE2+BF2=EF2 ． 【点睛】本题考查三角形全等及勾股定理等知识，综合性大，需综合运用所学知识求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年上学期初一年级数学竞赛试卷（A卷） 分值：150分 时量：120分钟 一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分） 1. 下列为的算术平方根的是（ ） A. 3 B. 9 C. D. 2. 下列各式：①，②③④其中正确的个数为（ ） A. 0 个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 3. 下列四个多项式，能因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 对于任何整数，多项式都能（ ） A. 被8整除 B. 被整除 C. 被整除 D. 被整除 5. 已知：BD＝CB，AB平分∠DBC，则图中有（ ）对全等三角形． A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 6. 如图，在 中，，平分，平分，，则图中的等腰三角形的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 如果三角形三条边的垂直平分线的交点落在三角形的边上，这个三角形一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 8. 下列说法中，正确的是（ ） A. 每一个命题都有逆命题 B. 假命题的逆命题一定是假命题 C. 每一个定理都有逆定理 D. 假命题没有逆命题 9. 的三边长分别为a，b、c，下列条件：①；②；③；④，其中能判断 是直角三角形的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图：已知△ABC为直角三角形，分别以直角边AC、BC为直径作半圆AmC和BnC，以AB为直径作半圆ACB，记两个月牙形阴影部分的面积之和为，△ABC的面积为，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 11. 如图，在 中，， 平分，于 ，有下列结论：；；；平分；，其中正确的有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 12. 如图，△ABC的面积为1cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（ ） A. 0.4 cm2 B. 0.5 cm2 C. 0.6 cm2 D. 0.7 cm2 二、填空题（共8小题，每小4分，满分 32分） 13. 已知，，则______． 14. 若的三边长为a，b，c，且满足 ，则这个三角形为_________________． 15. 从1到100之间所有自然数的平方根的和为_____________． 16. 若为最大的负整数，则a的值应为_______ 17. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________． 18. 已知在整数范围内可以分解因式，则整数a的值有_________个 19. 如图，是 的高线， 与相交于点F．若，且 的面积为12，则 的长度为_______． 20. 如图，在和中，，，与相交于点 ，与相交于点 ， 与相交于点，．有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是________． 三、解答题（共7题，满分70分） 21. 计算 （1） （2） （3） 22. 在有理数范围分解因式 （1） （2） （3） （4） 23. 已知a，b，c均为正数，且满足 ，求的值． 24. 如图所示，已知和两点 、，求作一点，使得点到的两边距离相等且. 25. 已知：△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC，求证：AB+BD=CD． 26. 证明：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半． 27. 如图1，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，点F是AB上一点，作等腰Rt△FCP，且∠PCF=90°，连结AP． （1）求证：△CFB≌△CPA； （2）求证：AP2+AF2=PF2； （3）如图2，在AF上取点E，使∠ECF=45°，求证：AE2+BF2=EF2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $