专题1.5 探索三角形全等的条件（ASA与AAS）（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题1.5 探索三角形全等的条件（ASA与AAS） （知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】三角形全等的判定方法——角边角（ASA） （1）基本事实：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. （2）书写格式： 如图，在△ABC和△中， 【知识点二】三角形全等的判定方法——角角边（AAS） （1）基本事实：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） （2）三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 【知识点三】判定方法的选择 （1）选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS （2）如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】用ASA和AAS证明三角形全等 【例1】（24-25八年级上·全国·假期作业）已知：点B、E、C、F在一条直线上，．求证：．    【变式1】（23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图，点在外部，点在的边上，交于点，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·河南周口·期中）如图，在中，是边上的高，是边上的高，且交于点F，若，则线段的长为 ． 【题型2】用ASA和AAS证明三角形全等与三角形全等性质综合求值 【例2】（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，点在线段上运动（不与、重合），连接，作，交线段于． （1）当时， ， ； （2）当等于多少时，，请说明理由． 【变式1】（23-24七年级下·重庆·期中）如图，在中，平分，过点作的垂线，交于点，交于点，若面积为的面积为，则的面积为（    ）． A．3 B．4 C． D． 【变式2】（23-24七年级下·上海黄浦·期末）如图，在四边形中，，，．过点作，垂足为点．若，，则四边形的面积是 ． 【题型3】添加条件证明三角形全等 【例3】（2024·广东阳江·一模）问题情境：在数学探究活动中，老师给出了如图所示的图形及下面三个等式：①，②，③，若以其中两个等式作为已知条件，能否得到余下一个等式成立？ 解决方案：探究与全等． 问题解决： （1）当选择①②作为已知条件时，与全等吗？ _________（填“全等”或“不全等”），依据是_________； （2）当选择_________两个等式作为已知条件时，不能说明，但补充一个条件例如_________也可以证明，请写出过程． 【变式1】（2024·浙江杭州·一模）如图，点、点分别在线段，上，线段与交于点，且满足．下列添加的条件中不能推得的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·陕西渭南·二模）如图，在和中，点D在上，，，请你再添加一个条件：______，使得，并说明理由． 【题型4】灵活运用SSS、SAS、ASA、AAS证明三角形全等 【例4】（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）【初步探索】 （1）如图1：在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______ ． 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）已知在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，请直接写出的度数． 【变式1】（23-24七年级下·全国·课后作业）下列条件能判定的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2】（2024七年级下·上海·专题练习）如图，点、分别在、上，与相交于点，连接，如果，，那么图中的全等三角形共有 对． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2023·重庆·中考真题）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．      【例2】（2020·贵州毕节·中考真题）如图，在一个宽度为长的小巷内，一个梯子的长为，梯子的底端位于上的点，将该梯子的顶端放于巷子一侧墙上的点处，点到的距离为，梯子的倾斜角为；将该梯子的顶端放于另一侧墙上的点处，点到的距离为，且此时梯子的倾斜角为，则的长等于（    ） A． B． C． D． 2、拓展延伸 【例1】（23-24八年级下·山东青岛·期中）如图， ，，．求证：．    以下是合作小组三名同学关于此题的讨论： 小丽说：“我可以根据全等三角形的判定定理‘’证明两个三角形全等，从而得到．” 小颖说：“我可以根据直角三角形全等的判定定理‘’证明两个三角形全等，从而得到．” 小雨说：“我可以根据三角形的面积相等，来证明．” 看了他们的讨论，你一定也有了自己的主意，请写出你的证明． 【例2】如图，在中，，，，点D为的中点，如果点P在线段上以6厘米/秒的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由C点向A点运动.当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动.    （1）用含有t的代数式表示，则________； （2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由； （3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，那么当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.5 探索三角形全等的条件（ASA与AAS） （知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】三角形全等的判定方法——角边角（ASA） （1）基本事实：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. （2）书写格式： 如图，在△ABC和△中， 【知识点二】三角形全等的判定方法——角角边（AAS） （1）基本事实：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） （2）三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 【知识点三】判定方法的选择 （1）选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS （2）如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】用ASA和AAS证明三角形全等 【例1】（24-25八年级上·全国·假期作业）已知：点B、E、C、F在一条直线上，．求证：．    【分析】此题考查了全等三角形的判定，由平行线的性质得到，，由线段之间的关系得到，即可证明． 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 【变式1】（23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图，点在外部，点在的边上，交于点，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键． 根据已知条件，得到，，从而得到，，利用全等三角形的判定方法，得到，由此得到答案． 解：根据题意得： ， ，， ，， 在和中， ， ， 故选：． 【变式2】（23-24八年级上·河南周口·期中）如图，在中，是边上的高，是边上的高，且交于点F，若，则线段的长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，利用证明，得，，即可得出答案． 解：是边上的高，是边上的高， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：6． 【题型2】用ASA和AAS证明三角形全等与三角形全等性质综合求值 【例2】（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，点在线段上运动（不与、重合），连接，作，交线段于． （1）当时， ， ； （2）当等于多少时，，请说明理由． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题主要考查三角形综合题，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强． （）利用邻补角的性质和三角形内角和定理解题； （）当时，利用，，求出，再利用，即可得出． （1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：当时，，理由如下： ， ， 又， ， ， 在和中， ， ． 【变式1】（23-24七年级下·重庆·期中）如图，在中，平分，过点作的垂线，交于点，交于点，若面积为的面积为，则的面积为（    ）． A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，中线平分三角形的面积，利用平分，点作的垂线，得到，则的面积等于的面积为，的面积等于的面积，即可解答，证明是解题的关键． 解：平分，过点作的垂线， ,， 在与中， ， ， ， 则的面积等于的面积为， ， 故选：C． 【变式2】（23-24七年级下·上海黄浦·期末）如图，在四边形中，，，．过点作，垂足为点．若，，则四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角全等模型是解题的关键．根据垂直可得，从而可得，，进而可得，然后利用证明，从而可得，，进而可得，最后根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答． 解∶， 四边形的面积的面积的面积 故答案为：． 【题型3】添加条件证明三角形全等 【例3】（2024·广东阳江·一模）问题情境：在数学探究活动中，老师给出了如图所示的图形及下面三个等式：①，②，③，若以其中两个等式作为已知条件，能否得到余下一个等式成立？ 解决方案：探究与全等． 问题解决： （1）当选择①②作为已知条件时，与全等吗？ _________（填“全等”或“不全等”），依据是_________； （2）当选择_________两个等式作为已知条件时，不能说明，但补充一个条件例如_________也可以证明，请写出过程． 【答案】(1)全等； (2)当选择②③作为已知条件时，不能说明，补充条件，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定： （1）利用即可证明； （2）当选择①③作为已知条件时，可以利用证明；当选择②③作已知条件时，不能说明，据此根据全等三角形的判定定理补充条件证明即可． （1）解：当选择①②作为已知条件时， 在和中， ， ∴， 故答案为：全等；； （2）解；当选择①③作为已知条件时，可以利用证明；当选择②③作为已知条件时，不能说明，补充条件，证明如下： 在和中， ， ∴； 【变式1】（2024·浙江杭州·一模）如图，点、点分别在线段，上，线段与交于点，且满足．下列添加的条件中不能推得的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定．利用全等三角形的判定方法一一判断即可． 解：A、若添加，能证明，故不符合题意； B、若添加，连接，先证得出，利用证明，故不符合题意； C、若添加，可得出，则可利用证明，故不符合题意； D、若添加，则不能证明，故符合题意； 故选：D． 【变式2】（2024·陕西渭南·二模）如图，在和中，点D在上，，，请你再添加一个条件：______，使得，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定条件，判定三角形全等的定理有：，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． 根据已知条件可推知，两个三角形有一组角、一组边分别对应相等，只需要再添加一组对应角相等，构成或即可证得两三角形全等（也可添加条件，构成）． 解：添加的条件是：． 理由：∵， ∴，即． 在和中，，，， ∴． 注：答案不唯一，添加或均可． 【题型4】灵活运用SSS、SAS、ASA、AAS证明三角形全等 【例4】（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）【初步探索】 （1）如图1：在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______ ． 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）已知在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，请直接写出的度数． 【答案】（1），理由见解析；（2）仍然成立，理由见解析；（3） 【分析】（1）延长到点G，使，连接，可判定≌，进而得出，，再判定≌，可得出，据此得出结论； （2）延长到点G，使，连接，先判定≌，进而得出，，再判定≌，可得出； （3）在延长线上取一点G，使得，连接，先判定≌，再判定≌，得出，最后根据，推导得到，利用，推导出的度数，即可得出结论． 解：（1），理由如下： 如图1，延长到点G，使，连接， 在和中， ， ≌， ，， ，， ， 在和中， ， ≌， 故答案为：； （2）上述结论仍然成立，理由如下： 如图2，延长到点G，使，连接， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， 在和中， ， ≌， ； （3）如图3，在延长线上取一点G，使得，连接， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ，， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， 即， ，， ， 【点拨】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． 【变式1】（23-24七年级下·全国·课后作业）下列条件能判定的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 解：选项A，，，，不是两边及其夹角，不能判断三角形全等； 选项B，，，，不是两边及其夹角，不能判断三角形全等； 选项C，，，，、不是对应边，不能判断三角形全等； 选项D，当，，时，符合“”，所以． 故选：D． 【变式2】（2024七年级下·上海·专题练习）如图，点、分别在、上，与相交于点，连接，如果，，那么图中的全等三角形共有 对． 【答案】5 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定方法；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．已知，，先根据“”证明，则，，再证明，即可根据“”证明，得，，然后根据“”证明，同样方法可得，，从而可判断图中的全等三角形共有5对． 解：在和中， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， 在和中， ， ， 在和中， ， ， 综上所述，图中的全等三角形共有5对． 故答案为：5． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2023·重庆·中考真题）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．      【答案】3 【分析】证明，得到，即可得解． 解： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中： ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质．利用同角的余角相等和等腰三角形的两腰相等证明三角形全等是解题的关键． 【例2】（2020·贵州毕节·中考真题）如图，在一个宽度为长的小巷内，一个梯子的长为，梯子的底端位于上的点，将该梯子的顶端放于巷子一侧墙上的点处，点到的距离为，梯子的倾斜角为；将该梯子的顶端放于另一侧墙上的点处，点到的距离为，且此时梯子的倾斜角为，则的长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点C作CE⊥AD于点E，证明≌即可解决问题． 【详解】过点C作CE⊥AD于点E，则CE//AB， ，且PD=PC， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， 在和中， ， ∴≌， ， 故选：D． 【点拨】此题主要考查了全等三角形的应用，作辅助线CE是解答此题的关键． 2、拓展延伸 【例1】（23-24八年级下·山东青岛·期中）如图， ，，．求证：．    以下是合作小组三名同学关于此题的讨论： 小丽说：“我可以根据全等三角形的判定定理‘’证明两个三角形全等，从而得到．” 小颖说：“我可以根据直角三角形全等的判定定理‘’证明两个三角形全等，从而得到．” 小雨说：“我可以根据三角形的面积相等，来证明．” 看了他们的讨论，你一定也有了自己的主意，请写出你的证明． 【分析】本题目考查了三角形全等的判定方法，解题关键是熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键； ①根据垂线的知识可得，在结合证明，最后根据全等三角形的性质得出结论；②连接，根据直角三角形的，证明，即可得出结论；③连接，证明，可得，再结合三角形面积计算方法即可得出结论；④连接，证明，得，，在利用证明，得出结论． 解：小丽方法： ，， ． 在和中， ，． ，即． 小颖方法： 连接． ，，， ． 在和中， ． ． 小雨方法： 连接． ， ． 在和中， ， ， ．即． 又，， ， ， ．    方法4：连接，     ，， ． 在和中， ，， ， 在和中， ， ． 【例2】如图，在中，，，，点D为的中点，如果点P在线段上以6厘米/秒的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由C点向A点运动.当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动.    （1）用含有t的代数式表示，则________； （2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由； （3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，那么当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？ 【答案】(1) (2)不全等 (3) 【分析】（1）求出，即可求出答案； （2）求出，根据全等三角形的判定推出即可； （3）根据全等三角形应满足的条件探究相关边之间的关系，根据路程、时间、速度之间的关系，先求出点P运动的时长，再求得点Q的运动速度． （1）解：由题意知，则， 故答案为：； （2）解：不全等，理由如下： 由题意知，经过1秒后，，，， ，点D为的中点， ， 可知和中，，，， 与不全等； （3）解：∵， ∴， 又∵，， ∴，， ∴点P点Q运动的时间， ∴， 即当点Q的运动速度为时，能够使与全等． 【点拨】本题考查列代数式、全等三角形的判定和性质的应用，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理和性质定理． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$