第03讲 集合的基本运算（5大知识点+13大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假新高一数学衔接讲义（人教A版2019必修第一册）

第03讲 集合的基本运算（5大知识点+13大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 交集的概念及运算 题型二 根据交集结果求集合或参数 题型三 并集的概念及运算 题型四 根据并集结果求集合或参数 题型五 补集的概念及运算 题型六 根据补集运算确定集合或参数 题型七 交并补混合运算 题型八 集合的应用 题型九 根据交并补混合运算确定集合或参数 题型十 根据并集结果求集合元素个数 题型十一 容斥原理的应用 题型十二 集合新定义 题型十三 利用Venn图求集合 知识点01：并集 一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：. 并集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 对并集概念的理解 (1)仍是一个集合,由所有属于集合或属于集合的元素组成. (2)并集符号语言中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互斥的,“或”包括下列三种情况:①,且;②,且;③,且.可用下图所示形象地表示. 知识点02：交集 一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：. 交集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 对交集概念的理解 (1)仍是一个集合,由所有属于集合且属于集合的元素组成. (2)对于“”,包含以下两层意思:①中的任一元素都是与的公共元素;②与的公共元素都属于,这就是文字定义中“所有”二字的含义,如,,则,而不是或或. (3)并不是任意两个集合总有公共元素,当集合与集合没有公共元素时,不能说集合与集合没有交集,而是. (4)当时,和同时成立. 知识点03：全集与补集 全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合. 补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即. 补集的性质： , , . 知识点04：德摩根律 (1) (2) 知识点05：容斥原理 一般地，对任意两个有限集, 进一步的： 【典型例题一 交集的概念及运算】 1．（23-24高二下·浙江温州·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·高考真题）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·上海金山·期末）已知集合，则 . 4．（2024·上海·三模）已知，，则 . 5．（23-24高一上·河北·阶段练习）已知集合，.写出集合的所有子集，并指出其中的真子集. 【典型例题二 根据交集结果求集合或参数】 1．（2024·山东·模拟预测）已知集合，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·河北邢台·二模）已知集合，，若中有2个元素，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）设，，若，则的取值范围是 ． 4．（23-24高一上·上海杨浦·开学考试）设集合，且，则实数的取值范围是 . 5．（23-24高一上·广东东莞·期末）已知集合，． (1)当时，求； (2)若时，求实数m的取值范围． 【典型例题三 并集的概念及运算】 1．（2024·甘肃兰州·三模）设集合，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·北京西城·三模）设集合，，则集合（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高三上·甘肃定西·阶段练习）设集合，则 ． 4．（2024·河南洛阳·模拟预测）已知集合，则 . 5．（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）设集合，； (1)当时，求， (2)若，求的取值范围. 【典型例题四 根据并集结果求集合或参数】 1．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）集合满足：，，则的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知集合，，若中恰有三个元素，则由a的取值组成的集合为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·湖南长沙·三模）已知集合，，若，则 ． 4．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知集合满足则实数的值为 ． 5．（23-24高一上·重庆·期末）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求a的取值范围． 【典型例题五 补集的概念及运算】 1．（23-24高二下·云南曲靖·阶段练习）已知全集，，，则可以是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·北京通州·三模）已知为整数集，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·湖南·模拟预测）已知全集，集合，则 ． 4．（2024·贵州贵阳·一模）已知集合，则 ． 5．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，. (1)求及； (2)求. 【典型例题六 根据补集运算确定集合或参数】 1．（2024·河南郑州·二模）已知全集，集合A满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·福建宁德·期末）设全集，集合，则的值为（    ） A． B．和 C． D． 3．（23-24高一上·辽宁大连·阶段练习）设全集为，，，则 ． 4．（22-23高二下·山东滨州·期末）已知全集，集合，且，则 ． 5．（2023·山东·模拟预测）设全集，，，求的值． 【典型例题七 交并补混合运算】 1．（2024·天津滨海新·三模）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·山东青岛·期中）设集合，则（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·上海·开学考试）已知，，则可用列举法表示为 . 4．（22-23高二下·陕西咸阳·阶段练习）若集合，则 ． 5．（23-24高一上·新疆喀什·期末）设全集为，，. (1)求； (2)若,,求实数的取值范围． 【典型例题八 集合的应用】 1．（23-24高一上·浙江宁波·期中）学校开运动会，设是参加100米跑的同学}，是参加200米跑的同学}，是参加400米跑的同学}．学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛．请你用集合的运算说明这项规定（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·安徽·阶段练习）某校高一（3）班有50名学生，春季运动会上，有15名学生参加了田赛项目，有20名学生参加了径赛项目，已知田赛和径赛都参加的有12名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为（    ） A．27 B．23 C．15 D．7 3．（23-24高一上·湖南衡阳·期中）某年级先后进行了数学、物理竞赛，其中有65人参加了数学竞赛，有51人参加了物理竞赛，有12人同时参加了数学、物理竞赛，则参加了竞赛的总人数为 人. 4．（22-23高一上·江西赣州·期中）为丰富学生课余生活，拓宽学生视野，某校积极开展社团活动，高一（1）班参加社团的学生有21人，参加社团的学生有18人，两个社团都参加的有7人，另外还有3个人既不参加社团也不参加社团，那么高一（1）班总共有学生人数为 ． 5．（23-24高一上·北京·期中）已知集合, （1）若，求实数a的取值范围； （2）若，求实数a的取值范围． 【典型例题九 根据交并补混合运算确定集合或参数】 1．（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知全集中有m个元素，中有n个元素，若非空，则的元素个数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·云南昆明·期中）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）若已知A∩{﹣1，0，1}＝{0，1}，且A∪{﹣2，0，2}＝{﹣2，0，1，2}，则满足上述条件的集合A共有 个． 4．（23-24高一上·广西桂林·阶段练习）设全集，集合，且，则实数的取值范围是 ． 5．（22-23高一上·四川宜宾·阶段练习）已知全集，，，且． (1)求集合，； (2)若集合，求实数的值． 【典型例题十 根据并集结果求集合元素个数】 1．（23-24高一上·福建泉州·期中）集合中有3个元素，集合中有7个元素，则集合的子集个数最多为（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 2．（2023·宁夏银川·三模）已知集合，，则中的元素个数为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）已知集合，则满足的集合的个数是 个． 4．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）满足的集合共有 个 5．（22-23高一上·河南安阳·阶段练习）设集合，． (1)若，求，； (2)设，若集合C有8个子集，求a的取值集合． 【典型例题十一 容斥原理的应用】 1．（23-24高一上·湖南张家界·期末）学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人。两次运动会中，这个班总共参赛的同学有（    ） A．20人 B．17人 C．15人 D．12人 2．（23-24高一上·河北沧州·期中）某校为了丰富校园文化，培养学生能力，增强学生自我认知，组建了形式多样的学生社团．已知该校某班共有29名学生参加书法、篮球两个社团，这29名学生每人至少参加这两个社团中的一个社团，其中有22名学生参加书法社团，16名学生参加篮球社团，则两个社团都参加的学生人数为（    ） A．9 B．7 C．13 D．6 3．（23-24高一上·北京·阶段练习）学校举办运动会，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则只参加游泳比赛的人数是 ，只参加田径一项比赛的人数是 . 4．（23-24高一上·河南驻马店·阶段练习）为了坚持“五育”并举，全面发展素质教育，某学校在课余时间提供了多种社团供学生们选择，每位同学都可以选择多种社团，其中选择舞蹈社团或园艺社团的同学有90人，选择舞蹈社团的同学有55人，选择园艺社团的同学有60人，则同时选择舞蹈社团和园艺社团的同学人数是 . 5．（23-24高一·湖南·课后作业）为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支“测绘队”，需要24人参加测量，20人参加计算，16人参加绘图．测绘队的成员中很多同学是多面手，有8人既参加了测量又参加了计算，有6人既参加了测量又参加了绘图，有4人既参加了计算又参加了绘图，另有几人三项工作都参加了．试问这支测绘队至少有多少人？ 【典型例题十二 集合新定义】 1．（23-24高二下·全国·期末）设集合，集合，定义，则中元素个数是（    ） A．7 B．10 C． D． 2．（22-23高一下·江西赣州·期中）定义运算：.若集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024高三·江苏·专题练习）定义集合运算：，集合，则集合所有元素之和为 ． 4．（23-24高三上·广东·学业考试）定义集合且，若，，则＝ ． 5．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）集合，全集，定义且为集合的“差集”.求： (1) (2) (3) 【典型例题十三 利用Venn图求集合】 1．（2024·重庆·模拟预测）已知集合，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·模拟预测）已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）设集合，，则如图中阴影部分表示的集合是 .    4．（23-24高一上·江苏常州·阶段练习）若集合，，，则如图中的阴影部分表示的集合为 ．    5．（23-24高一上·四川成都·期中）已知全集，集合. (1)求； (2)求如图阴影部分表示的集合. 【变式训练1 交集的概念及运算】 1．（2024·青海海南·二模）设集合，且，则集合可以为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·内蒙古·三模）若集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知集合，，则 ． 4．（23-24高二下·江西·阶段练习）若，，则 ． 5．（23-24高一上·浙江·阶段练习）已知集合. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【变式训练2 根据交集结果求集合或参数】 1．（2024·福建泉州·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 2．（2024·湖北荆州·三模）已知集合，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·广东惠州·阶段练习）已知集合，若为单元素集，则的最小值为 ． 4．（2024·辽宁·二模）已知集合，，若，则实数m的取值范围为 ． 5．（23-24高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）设集合，集合或． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【变式训练3 并集的概念及运算】 1．（2023高二下·浙江·学业考试）已知集合，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·青海海东·阶段练习）设集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二下·河南焦作·阶段练习）集合，，若，则 ， . 4．（23-24高一上·天津滨海新·期末）已知集合或，，其中. （ⅰ）当时， ； （ⅱ）若，则实数的取值范围为 . 5．（23-24高一上·湖南株洲·期中）已知集合，集合. (1)当时，求 (2)若，求的取值范围. 【变式训练4 根据并集结果求集合或参数】 1．（23-24高一下·广东·期末）集合满足，，，则集合中的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2024·辽宁·模拟预测）已知集合，若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．1或3 3．（2024·山东聊城·三模）已知集合，且，则实数的值为 ． 4．（2024·海南海口·二模）已知集合，，若，则的取值范围是 . 5．（23-24高一上·广东梅州·期末）已知集合. (1)若，求实数的值及集合； (2)若且，求实数和满足的关系式. 【变式训练5 补集的概念及运算】 1．（浙江省宁波市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二下·北京延庆·期末）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·河南驻马店·一模）设全集，集合，则 . 4．（24-25高一上·全国·课后作业）填空：（1）被9除余2的所有整数组成的集合可表示为 ； （2）不等式组的解集为A，则 ； （3）已知集合，，则 ； （4）满足的集合B的个数是 ； （5）已知集合或，，则与的关系是 ． 5．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知全集，集合或. (1)求; (2)若，求实数的取值范围. 【变式训练6 根据补集运算确定集合或参数】 1．（23-24高三上·辽宁沈阳·期末）已知，均为集合的子集， ，，，则（     ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·模拟预测）设全集，集合．若，则的值分别为（    ） A．3，2 B．4，3 C．3，2或5，3 D．5，2或5，3 3．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）设全集，则集合 ． 4．（2023高一·全国·专题练习）设全集，集合，．则实数的值为 ． 5．（2023高一·江苏·专题练习）已知集合，，.求： (1)集合； (2)集合； (3)集合，. 【变式训练7 交并补混合运算】 1．（23-24高二下·天津蓟州·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2024·四川遂宁·二模）已知集合，，，则 ． 4．（22-23高一下·湖南张家界·开学考试）已知全集，集合，，则 5．（23-24高一上·江西上饶·期末）已知集合，，. (1)求，； (2)若，求的取值范围. 【变式训练8 集合的应用】 1．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）某校高一（4）班学生47人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，三项都参加的人数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（23-24高一上·浙江温州·阶段练习）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出40种商品，第二天售出30种商品，第三天售出20种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店这三天售出的商品最少种数为（    ） A．83 B．70 C．67 D．60 3．（23-24高一上·山西朔州·期中）深圳科学高中先后举办了多个学科的课余活动.已知高一(1)班有50名同学，其中30名同学参加了数学活动，26名同学参加了物理活动，16名同学同时参加了数学，物理两个学科的活动，则这个班既没有参加数学活动，也没有参加物理活动的同学人数是 . 4．（22-23高一上·河南平顶山·阶段练习）某社团有100名社员，他们至少参加了A，B，C三项活动中的一项.得知参加A活动的有51人，参加B活动的有60人，参加C活动的有50人，数据如图，则图中 ； ； .    5．（23-24高一上·广东深圳·期末）立德中学高一年级某学生社团开展了“使用移动支付平台——支付宝与微信支付的对比分析”的课题研究．随机调查了名市民，结果显示：使用支付宝的有人，使用微信支付的有人，两种都使用的有人． (1)只使用支付宝不使用微信支付的有多少人？ (2)两种移动支付方式都不使用的有多少人？（要有合理的说明过程） 【变式训练9 根据交并补混合运算确定集合或参数】 1．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知全集，若，则实数的值为（    ） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 2．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 3．（23-24高一上·山东青岛·期中）设集合，，全集，且，则实数m的取值范围为 ； 4．（2023高一·江苏·专题练习）设集合，，若，则实数m的取值范围是 . 5．（23-24高一上·浙江·期中）已知全集，集合，. (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围. 【变式训练10 根据并集结果求集合元素个数】 1．（23-24高一上·吉林通化·阶段练习）某班有名学生，有围棋爱好者人，足球爱好者人，同时爱好这两项的最多人数为，最少人数为，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）对于集合A，B，我们把叫做集合A与B的差集，当，则两个非空集合A，B的关系表达最准确的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）若集合，，，则集合中的元素个数是 . 4．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）某班有46名学生，有围棋爱好者22人，足球爱好者27人，同时爱好这两项的最多人数为，最少人数为，则 . 5．（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）若集合 (1)用列举法表示集合. (2)若，求实数的值. 1．（2024高二上·福建·学业考试）集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·浙江衢州·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·天津·三模）设全集，集合，，则=（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·福建福州·期中）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 5．（2024·安徽·三模）已知集合，，则图中所示的阴影部分的集合可以表示为（    ）    A． B． C． D． 6．（2024·上海·三模）已知集合，，则 7．（2024·上海·三模）已知集合，，若，则 ． 8．（2024·河北沧州·二模）已知集合，若，则的取值范围为 . 9．（2024·全国·模拟预测）设集合，．若，则 ． 10．（2024·上海崇明·二模）若集合，或，则 ． 11．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合，，全集，且， (1)求集合； (2)求. 12．（23-24高一上·湖南益阳·期末）已知全集，集合，． (1)求； (2)若，求实数a的取值范围． 13．（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知集合，. (1)求及； (2)求. 14．（23-24高一上·北京·期中）已知集合 ，集合 ． (1)当 时，求 ，， ; (2)若 ，求实数 的取值范围； 15．（23-24高一上·四川乐山·期中）记全集，已知集合，． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 集合的基本运算（5大知识点+13大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 交集的概念及运算 题型二 根据交集结果求集合或参数 题型三 并集的概念及运算 题型四 根据并集结果求集合或参数 题型五 补集的概念及运算 题型六 根据补集运算确定集合或参数 题型七 交并补混合运算 题型八 集合的应用 题型九 根据交并补混合运算确定集合或参数 题型十 根据并集结果求集合元素个数 题型十一 容斥原理的应用 题型十二 集合新定义 题型十三 利用Venn图求集合 知识点01：并集 一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：. 并集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 对并集概念的理解 (1)仍是一个集合,由所有属于集合或属于集合的元素组成. (2)并集符号语言中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互斥的,“或”包括下列三种情况:①,且;②,且;③,且.可用下图所示形象地表示. 知识点02：交集 一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：. 交集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 对交集概念的理解 (1)仍是一个集合,由所有属于集合且属于集合的元素组成. (2)对于“”,包含以下两层意思:①中的任一元素都是与的公共元素;②与的公共元素都属于,这就是文字定义中“所有”二字的含义,如,,则,而不是或或. (3)并不是任意两个集合总有公共元素,当集合与集合没有公共元素时,不能说集合与集合没有交集,而是. (4)当时,和同时成立. 知识点03：全集与补集 全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合. 补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即. 补集的性质： , , . 知识点04：德摩根律 (1) (2) 知识点05：容斥原理 一般地，对任意两个有限集, 进一步的： 【典型例题一 交集的概念及运算】 1．（23-24高二下·浙江温州·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集定义直接计算即可. 【详解】由题，又， 故， 故选：C. 2．（2024·全国·高考真题）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算. 【详解】依题意得，对于集合中的元素，满足， 则可能的取值为，即， 于是. 故选：C 3．（23-24高一下·上海金山·期末）已知集合，则 . 【答案】 【分析】根据题意结合交集运算求解即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 4．（2024·上海·三模）已知，，则 . 【答案】 【分析】利用交集的定义易求结论. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 5．（23-24高一上·河北·阶段练习）已知集合，.写出集合的所有子集，并指出其中的真子集. 【答案】见解析 【分析】由集合求出集合，再根据子集定义写出集合的所有子集及真子集. 【详解】解：因为集合，， 所以集合， 子集：； 真子集：. 【典型例题二 根据交集结果求集合或参数】 1．（2024·山东·模拟预测）已知集合，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，则集合中最小元素应在集合中，即可得到的取值范围. 【详解】由题意，再由，所以集合中最小元素应在集合中， 所以，即的取值范围是. 故选：B. 2．（2024·河北邢台·二模）已知集合，，若中有2个元素，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】若条件满足，设出2个元素以后可推知，从而确定的值，再证明，最后验证时条件满足即可得到答案. 【详解】一方面，若中有2个元素，则由知. 由，结合，知只可能分别是. 所以，，得； 另一方面，若，则，所以有2个元素. 综上，的取值范围是. 故选：A. 3．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）设，，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据交集的结果直接得到. 【详解】因为，且， 所以，即的取值范围是. 故答案为： 4．（23-24高一上·上海杨浦·开学考试）设集合，且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据交集结果得到包含关系，从而得到数的取值范围. 【详解】因为，所以， 故. 故答案为： 5．（23-24高一上·广东东莞·期末）已知集合，． (1)当时，求； (2)若时，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，转换为与的公共解问题，计算可求得； （2）若，原问题等价于方程无解，解方程即可求得m的范围. 【详解】（1）集合，， 当时，， 由方程组，解得：或， 所以 （2）若，即为：与无公共解， 原问题等价于方程：无解， 则，解得：. 所以实数m的取值范围. 【典型例题三 并集的概念及运算】 1．（2024·甘肃兰州·三模）设集合，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合交集、并集概念计算即可. 【详解】因为集合，若，则， 即集合，所以. 故选：A 2．（2024·北京西城·三模）设集合，，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解不等式求集合，再求并集即可. 【详解】由得到，故， 又，所以. 故选：A. 3．（22-23高三上·甘肃定西·阶段练习）设集合，则 ． 【答案】 【分析】根据并集的定义直接求解即可 【详解】因为， 所以． 故答案为： 4．（2024·河南洛阳·模拟预测）已知集合，则 . 【答案】． 【分析】根据并集的概念与运算即可求解. 【详解】由题意知，， 所以. 故答案为： 5．（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）设集合，； (1)当时，求， (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用交集和并集的概念进行求解； （2）分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【详解】（1）当时，，； . （2）因为， 当时，，解得， 当时，，解得， 综上，的取值范围是. 【典型例题四 根据并集结果求集合或参数】 1．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）集合满足：，，则的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据交集、并集的结果分析集合的元素，即可判断. 【详解】因为，所以，，，， 又， 所以可能属于集合，也可能不属于集合， 所以集合或， 所以符合题意的集合有个. 故选：B 2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知集合，，若中恰有三个元素，则由a的取值组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】中恰有三个元素，则两集合中有一个相同元素，分类讨论列方程求解并检验即可. 【详解】因为中恰有三个元素，所以或或， 结合集合中元素的互异性，解得或或（舍去）或. 故选：D． 3．（2024·湖南长沙·三模）已知集合，，若，则 ． 【答案】2 【分析】由得，令、、求出集合B，即可求解. 【详解】由，得. 当时，，不满足元素的互异性，舍去； 当时，，满足，符合题意； 当时，，不满足，舍去. 综上，. 故答案为：2 4．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知集合满足则实数的值为 ． 【答案】1或或0 【分析】根据并集结果得到等式，依次求解并确定是否符合要求即可. 【详解】因为，所以或或， 若，解得或，当时出现两个1，矛盾；当时符合要求； 若，解得或，经验证都符合要求； 若，解得或者，由上知不符合，经验证时符合， 所以或或或 故答案为：1或或0 5．（23-24高一上·重庆·期末）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解出集合A中的不等式，将代入集合B中不等式，求两个集合的交集； （2）由得集合A和集合B之间的关系，求出参数的取值范围. 【详解】（1）， 当时，，所以. （2）因为，所以，显然集合B非空， 所以，得. 【典型例题五 补集的概念及运算】 1．（23-24高二下·云南曲靖·阶段练习）已知全集，，，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系及补集的定义求解即得. 【详解】依题意，，因此中不能有元素1，2，3，选项ABC不满足，D符合题意. 故选：D 2．（2024·北京通州·三模）已知为整数集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求出结果. 【详解】因为，所以， 故选：A. 3．（2024·湖南·模拟预测）已知全集，集合，则 ． 【答案】 【分析】根据集合的运算即可求解. 【详解】由已知，又， 所以． 故答案为： 4．（2024·贵州贵阳·一模）已知集合，则 ． 【答案】 【分析】利用补集、交集的定义直接求解即得. 【详解】由集合，得或，而， 所以. 故答案为： 5．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，. (1)求及； (2)求. 【答案】(1)， (2) 【分析】利用交集，并集及补集运算直接求解. 【详解】（1）集合，, 故， （2）. 【典型例题六 根据补集运算确定集合或参数】 1．（2024·河南郑州·二模）已知全集，集合A满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全集和集合在全集中的补集易得集合，逐一判断选项即可. 【详解】由，，可得或 则，，，，故B项正确，A,C,D项均是错误的. 故选：B. 2．（22-23高一上·福建宁德·期末）设全集，集合，则的值为（    ） A． B．和 C． D． 【答案】C 【分析】利用补集的定义即可求解. 【详解】由题知，因为， 所以，，. 故选：C 3．（23-24高一上·辽宁大连·阶段练习）设全集为，，，则 ． 【答案】 【分析】利用补集的运算可得答案. 【详解】因为，，所以. 故答案为： 4．（22-23高二下·山东滨州·期末）已知全集，集合，且，则 ． 【答案】 【分析】依题意可得且，再分类讨论得到方程组，解答即可. 【详解】因为全集，集合，且， 所以且， 所以或， 当时，解得， 当时，方程组无解，故舍去. 综上可得. 故答案为： 5．（2023·山东·模拟预测）设全集，，，求的值． 【答案】6 【分析】由补集的概念列式求解． 【详解】解：∵全集，，， ∴∴． 【典型例题七 交并补混合运算】 1．（2024·天津滨海新·三模）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合补集和交集的运算法则即可计算求解. 【详解】， ∴， 又， ∴. 故选：B. 2．（23-24高二下·山东青岛·期中）设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据补集的定义与运算求出，结合交集的概念与运算即可求解. 【详解】由题意知，，又， 所以. 故选：A 3．（23-24高二下·上海·开学考试）已知，，则可用列举法表示为 . 【答案】/ 【分析】根据补集和交集的运算法则求解即得. 【详解】因为，以实数集为全集，则， 且，则. 故答案为：. 4．（22-23高二下·陕西咸阳·阶段练习）若集合，则 ． 【答案】 【分析】结合补集与交集的定义计算即可得. 【详解】由，故， 则. 故答案为：. 5．（23-24高一上·新疆喀什·期末）设全集为，，. (1)求； (2)若,,求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用集合运算即可求解； （2）由得到，借助集合的包含关系即可求解. 【详解】（1）全集为R， ， ， 所以 . （2）， 因为 ， 所以 ， 由题意知   ， 解得 ， 所以实数的取值范围是. 【典型例题八 集合的应用】 1．（23-24高一上·浙江宁波·期中）学校开运动会，设是参加100米跑的同学}，是参加200米跑的同学}，是参加400米跑的同学}．学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛．请你用集合的运算说明这项规定（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交集的含义求解即可. 【详解】学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛， 故没有同学参加三项比赛，即. 故选：D 2．（23-24高一上·安徽·阶段练习）某校高一（3）班有50名学生，春季运动会上，有15名学生参加了田赛项目，有20名学生参加了径赛项目，已知田赛和径赛都参加的有12名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为（    ） A．27 B．23 C．15 D．7 【答案】A 【分析】由题意，求出参加田赛或径赛的同学人数，即可求解． 【详解】设高一（3）班50名学生组成的集合为U ，参加田赛项目的学生组成的集合为A，参加径赛项目的学生组成的集合为 由题意集合A有15个元素，B有20个元素，中有12个元素， 所以有个元素， 所以该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为 故选：A 3．（23-24高一上·湖南衡阳·期中）某年级先后进行了数学、物理竞赛，其中有65人参加了数学竞赛，有51人参加了物理竞赛，有12人同时参加了数学、物理竞赛，则参加了竞赛的总人数为 人. 【答案】 【分析】根据题意，结合集合的思想，即可求解. 【详解】根据题意，参加竞赛总人数为人. 故答案为： 4．（22-23高一上·江西赣州·期中）为丰富学生课余生活，拓宽学生视野，某校积极开展社团活动，高一（1）班参加社团的学生有21人，参加社团的学生有18人，两个社团都参加的有7人，另外还有3个人既不参加社团也不参加社团，那么高一（1）班总共有学生人数为 ． 【答案】35 【分析】求出只参加社团和只参加社团的人数，即可求出高一（1）班总共有学生人数. 【详解】由题意， 高一（1）班参加社团的学生有21人，参加社团的学生有18人，两个社团都参加的有7人， ∴只参加社团的学生有（人）， 只参加社团的学生有（人）， ∵另外还有3个人既不参加社团也不参加社团， ∴高一（1）班总共有学生人数为：（人） 故答案为：. 5．（23-24高一上·北京·期中）已知集合, （1）若，求实数a的取值范围； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）求出集合或，由，列出不等式组，能求出实数a的取值范围． （2）由，得到，由此能求出实数a的取值范围． 【详解】解：（1）∵集合， 或，， ∴，解得 ∴实数a的取值范围是 （2） 或， 解得或． ∴实数a的取值范围是或 【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．将集合的运算转化成子集问题需注意，若则有，进而转化为不等式范围问题. 【典型例题九 根据交并补混合运算确定集合或参数】 1．（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知全集中有m个元素，中有n个元素，若非空，则的元素个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的交集、并集运算求解. 【详解】由题意可得，, 所以， 因为全集中有m个元素，中有n个元素， 且非空，所以的元素个数为， 故选:D. 2．（23-24高一上·云南昆明·期中）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合并补运算即可求得. 【详解】，，所以， 所以， 故选：B. 3．（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）若已知A∩{﹣1，0，1}＝{0，1}，且A∪{﹣2，0，2}＝{﹣2，0，1，2}，则满足上述条件的集合A共有 个． 【答案】4 【分析】利用交集和交集的性质，列举出满足条件的集合A，由此能求出结果． 【详解】解：∵A∩{﹣1，0，1}＝{0，1}，且A∪{﹣2，0，2}＝{﹣2，0，1，2} ∴满足条件的集合A有： A＝{0，1}，A＝{﹣2，0，1}，A＝{0，1，2}，A＝{﹣2，0，1，2} ∴满足上述条件的集合A共有4个． 故答案为：4． 4．（23-24高一上·广西桂林·阶段练习）设全集，集合，且，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据集合的运算结果，结合数轴进行计算即可得解. 【详解】， 又， ， ． 故答案为：. 5．（22-23高一上·四川宜宾·阶段练习）已知全集，，，且． (1)求集合，； (2)若集合，求实数的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由得，，将2代入等式，解出a，b的值，得M，N； （2）由的结果列出方程组，解得m的值. 【详解】（1）因为，所以，且， 又因为，所以，得，， 因为，所以，得，， 综上，，. （2）由（1）得， 所以，得. 【典型例题十 根据并集结果求集合元素个数】 1．（23-24高一上·福建泉州·期中）集合中有3个元素，集合中有7个元素，则集合的子集个数最多为（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 【答案】D 【分析】根据交集和并集分析可得集合的元素个数最多有7个，进而求子集个数的最大值. 【详解】设集合分别有个元素， 由题意可知：，即， 可知：当且仅当时，取到最大值7， 即集合的元素个数最多有7个，所以集合的子集个数最多为个. 故选：D. 2．（2023·宁夏银川·三模）已知集合，，则中的元素个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据并集定义可得，由此可得元素个数. 【详解】，，共个元素. 故选：B. 3．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）已知集合，则满足的集合的个数是 个． 【答案】8 【分析】根据题意可知，中至少包含元素，即可知根据集合的个数即为的子集个数． 【详解】因为，，所以中至少包含元素，故集合可看成是的子集与集合的并集，即集合的个数即为的子集个数8． 故答案为：8． 4．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）满足的集合共有 个 【答案】4. 【分析】由题知：集合中一定含有元素，列出所有可能的集合即可. 【详解】因为， 所以集合有：，，，. 故答案为： 【点睛】本题主要考查满足条件的集合的个数求法，解题时需认真审题，注意并集的性质的合理应用，属于简单题. 5．（22-23高一上·河南安阳·阶段练习）设集合，． (1)若，求，； (2)设，若集合C有8个子集，求a的取值集合． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）解方程得、，应用集合的交并运算求结果； （2）由题设集合C有3个元素，讨论、满足题设情况下的取值，即可得结果. 【详解】（1）由题设，， 所以，. （2）由，且集合C有8个子集，故集合C有3个元素， 当时，此时或满足题设； 当时，满足题设； 综上，. 【典型例题十一 容斥原理的应用】 1．（23-24高一上·湖南张家界·期末）学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人。两次运动会中，这个班总共参赛的同学有（    ） A．20人 B．17人 C．15人 D．12人 【答案】B 【分析】利用容斥原理可得. 【详解】设参加田径运动的同学构成集合，参加球类运动会的同学构成集合， 则参加田径运动的同学人数， 参加球类运动会的同学人数， 两次运动会都参赛的同学人数， 则两次运动会中，这个班总共参赛的同学人数为 . 故选：B. 2．（23-24高一上·河北沧州·期中）某校为了丰富校园文化，培养学生能力，增强学生自我认知，组建了形式多样的学生社团．已知该校某班共有29名学生参加书法、篮球两个社团，这29名学生每人至少参加这两个社团中的一个社团，其中有22名学生参加书法社团，16名学生参加篮球社团，则两个社团都参加的学生人数为（    ） A．9 B．7 C．13 D．6 【答案】A 【分析】利用集合交集的性质进行运算. 【详解】设两个社团都参加的学生人数为，则，解得． 故选：A. 3．（23-24高一上·北京·阶段练习）学校举办运动会，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则只参加游泳比赛的人数是 ，只参加田径一项比赛的人数是 . 【答案】 9 2 【分析】结合韦恩图，利用集合的基本运算求解. 【详解】如图所示： 设U={参加比赛的学生}，A={参加游泳比赛的学生}，B={参加田径比赛的学生}，C={参加球类比赛的学生}， 依题意，，， 于是，解得， 所以只参加游泳比赛的人数为， 只参加田径比赛的人数. 故答案为：9，2 4．（23-24高一上·河南驻马店·阶段练习）为了坚持“五育”并举，全面发展素质教育，某学校在课余时间提供了多种社团供学生们选择，每位同学都可以选择多种社团，其中选择舞蹈社团或园艺社团的同学有90人，选择舞蹈社团的同学有55人，选择园艺社团的同学有60人，则同时选择舞蹈社团和园艺社团的同学人数是 . 【答案】 【分析】根据题意结合图即可得解. 【详解】由题意同时选择舞蹈社团和园艺社团的同学人数为人. 故答案为：. 5．（23-24高一·湖南·课后作业）为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支“测绘队”，需要24人参加测量，20人参加计算，16人参加绘图．测绘队的成员中很多同学是多面手，有8人既参加了测量又参加了计算，有6人既参加了测量又参加了绘图，有4人既参加了计算又参加了绘图，另有几人三项工作都参加了．试问这支测绘队至少有多少人？ 【答案】44 【分析】借助韦恩图分析可解. 【详解】记集合是参加测量的学生，是参加计算的学生， 是参加绘图的学生，则由已知可得如下韦恩图. 所以 已知，故这支测绘队至少有44人. 【典型例题十二 集合新定义】 1．（23-24高二下·全国·期末）设集合，集合，定义，则中元素个数是（    ） A．7 B．10 C． D． 【答案】B 【分析】根据交集和并集的定义求得，再根据的定义求解即可. 【详解】集合，集合 ， ， 共有10个元素. 故选：B． 2．（22-23高一下·江西赣州·期中）定义运算：.若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用集合的新定义和交集运算即可. 【详解】由题意得， 所以. 故选：C. 3．（2024高三·江苏·专题练习）定义集合运算：，集合，则集合所有元素之和为 ． 【答案】18 【分析】根据给定定义，求出集合，再求和即得. 【详解】依题意，当或时，；当时，； 当时，，因此集合， 所以集合所有元素的和为 故答案为： 4．（23-24高三上·广东·学业考试）定义集合且，若，，则＝ ． 【答案】 【分析】根据集合定义得到答案. 【详解】由题意得. 故答案为： 5．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）集合，全集，定义且为集合的“差集”.求： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据补集概念求出答案； （2）先求出，进而求出； （3）根据题意得到和，求出答案. 【详解】（1），故； （2），故； （3），，故. 【典型例题十三 利用Venn图求集合】 1．（2024·重庆·模拟预测）已知集合，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图可知阴影部分表示的集合为，先求出集合，再求两集合交集即可. 【详解】由图可知阴影部分表示的集合为， 由，得，所以， 因为， 所以， 故选：B 2．（2024·全国·模拟预测）已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据Venn图可知图中阴影部分表示的集合为，结合交集与补集运算的概念与运算即可求解. 【详解】由题意，图中阴影部分表示的集合为， 因为，所以， 又，所以题图中阴影部分表示的集合为. 故选：B． 3．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）设集合，，则如图中阴影部分表示的集合是 .    【答案】 【分析】易知图中阴影的部分表示为集合，结合并集的定义和运算即可求解. 【详解】由题意知，图中阴影的部分表示为集合， 又， 所以. 故答案为： 4．（23-24高一上·江苏常州·阶段练习）若集合，，，则如图中的阴影部分表示的集合为 ．    【答案】/ 【分析】根据给定的韦恩图，利用补集、交集定义求解即得. 【详解】由集合，，得，而， 所以图中的阴影部分表示的集合. 故答案为： 5．（23-24高一上·四川成都·期中）已知全集，集合. (1)求； (2)求如图阴影部分表示的集合. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出集合B，然后求并集； （2）根据韦恩图表达出集合关系，然后利用几何运算求出结果. 【详解】（1）由,得 由，得； （2）或 得阴影部分为. 【变式训练1 交集的概念及运算】 1．（2024·青海海南·二模）设集合，且，则集合可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合交集的定义，依次判断求解. 【详解】对于A，，此时，不合题意； 对于B，，符合题意； 对于C，，不合题意； 对于D，，不合题意. 故选：B 2．（2024·内蒙古·三模）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求解集合，再求交集. 【详解】依题意得，且,则. 故选：B 3．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知集合，，则 ． 【答案】 【分析】借助交集定义计算即可得. 【详解】由，可得、，则. 故答案为：. 4．（23-24高二下·江西·阶段练习）若，，则 ． 【答案】 【分析】先确定集合B中的元素，再结合集合的交集运算，即可求解． 【详解】当时，，当时，，，， 所以． 故答案为： 5．（23-24高一上·浙江·阶段练习）已知集合. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入可得，由交集运算即可求得出结果； （2）根据集合间的包含关系即可求得. 【详解】（1）由可得， 由可得； （2）若可得，解得， 所以实数的取值范围是. 【变式训练2 根据交集结果求集合或参数】 1．（2024·福建泉州·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 【答案】C 【分析】化简可得，，，由求出，，即可求． 【详解】，， 若， 则，， 故． 故选：C. 2．（2024·湖北荆州·三模）已知集合，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出集合，再根据，求得的取值范围. 【详解】由题意知，又且， 故，即的取值范围为. 故选：D. 3．（23-24高二下·广东惠州·阶段练习）已知集合，若为单元素集，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据为单元素集，所以，即可求解. 【详解】因为，且为单元素集，所以， 所以的最小值为． 故答案为：． 4．（2024·辽宁·二模）已知集合，，若，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据交集的结果，根据端点值的大小，列式求解. 【详解】因为，所以，则． 故答案为：． 5．（23-24高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）设集合，集合或． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或. 【分析】（1）根据交集不等于空集，得到不等式，求出答案； （2）根据交集结果得到，进而得到不等式，求出答案. 【详解】（1）因为，所以或，解得或； （2）因为，所以， 故或， 解得或. 【变式训练3 并集的概念及运算】 1．（2023高二下·浙江·学业考试）已知集合，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交集、并集的定义求出，，再根据元素与集合的关系、集合与集合的关系判断即可. 【详解】因为，， 所以，， 所以，，，故A、B、C正确，D错误； 故选：D 2．（23-24高一上·青海海东·阶段练习）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出集合，再由并集的定义求解即可. 【详解】因为集合， 所以. 故选：A. 3．（22-23高二下·河南焦作·阶段练习）集合，，若，则 ， . 【答案】 1 0 【分析】根据一元二次方程韦达定理以及集合并集的定义求得结果. 【详解】因为，，， 设方程的两根为， 则， 因为， 所以的两根为， 所以， 所以集合中一定有元素0， 所以， 故答案为：；. 4．（23-24高一上·天津滨海新·期末）已知集合或，，其中. （ⅰ）当时， ； （ⅱ）若，则实数的取值范围为 . 【答案】 或 【分析】根据并集的定义，结合交集的运算性质进行求解即可. 【详解】（ⅰ）当时，集合或，， 所以或； （ⅱ）因为，所以， 于是有或，即或， 因此实数的取值范围为， 故答案为：或； 5．（23-24高一上·湖南株洲·期中）已知集合，集合. (1)当时，求 (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据集合的并运算即可求解， （2）根据集合间的关系，分类讨论为空集和非空集两种情况即可求解. 【详解】（1）当时，， 所以. （2）当时，，解得. 当时，或 解得， 综上，或. 所以的取值范围是或. 【变式训练4 根据并集结果求集合或参数】 1．（23-24高一下·广东·期末）集合满足，，，则集合中的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据题意，结合集合的交集、并集的概念及运算，即可求解. 【详解】由集合满足, 因为，可得， 又因为，可得， 因为，所以，即集合中的元素个数为4． 故选：B. 2．（2024·辽宁·模拟预测）已知集合，若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．1或3 【答案】C 【分析】由题意可求出B中可能的元素，讨论a的取值，验证是否符合题意，即可得答案. 【详解】由题意知：对于集合B，当时，；当时，； 当时，； 又，故，则， 若，则，此时， 不满足； 若，此时，满足， 故， 故选：C 3．（2024·山东聊城·三模）已知集合，且，则实数的值为 ． 【答案】3 【分析】由集合的包含关系，有或，解出的值代入检验可得答案. 【详解】，则，有或，解得或或， 其中时，与集合中元素的互异性矛盾，舍去， 所以实数的值为3. 故答案为：3 4．（2024·海南海口·二模）已知集合，，若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】结合并集定义可得，将中所有元素代入计算即可得. 【详解】由，则， 故有，解得，即. 故答案为：. 5．（23-24高一上·广东梅州·期末）已知集合. (1)若，求实数的值及集合； (2)若且，求实数和满足的关系式. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）直接将代入集合计算即可； （2）求出集合中元素，代入集合计算即可. 【详解】（1）若， 则， 所以， 解得， 所以， 综上：，； （2）若，则，此时， 又，所以， 即， 所以， 所以实数和满足的关系式为. 【变式训练5 补集的概念及运算】 1．（浙江省宁波市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用集合的交集和补集做题即可. 【详解】，则. 故选：C. 2．（22-23高二下·北京延庆·期末）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意求集合，根据集合间的运算以及包含关系逐项分析判断. 【详解】由题意可得：，或. 可得，故B错误； 可得或，可知集合不是集合的子集，故AC错误； 可得，故D正确. 故选：D. 3．（2023·河南驻马店·一模）设全集，集合，则 . 【答案】 【分析】根据题意，求得，结合集合的交集和补集运算，即可求解. 【详解】由题意，全集， 因为，可得，所以. 故答案为：. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）填空：（1）被9除余2的所有整数组成的集合可表示为 ； （2）不等式组的解集为A，则 ； （3）已知集合，，则 ； （4）满足的集合B的个数是 ； （5）已知集合或，，则与的关系是 ． 【答案】 或 4 是的真子集 【分析】 （1）根据数的分类直接写出集合；（2）根据不等式组写出集合，然后由补集的定义可得结果；（3）由并集的定义写出，然后根据补集的运算可得结果；（4）由题意分析集合的范围，写出可能取值；（5）求解补集，可得出集合之间的关系. 【详解】（1）被9除余2的所有整数组成的集合可表示为； （2）不等式组的解集为，则或； （3）或，则； （4），则且，所以集合可能是，所以集合有4个； （5）因为全集为，所以，，所以是的真子集. 5．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知全集，集合或. (1)求; (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，再利用交集运算求解； （2）根据题意得，求得的取值范围. 【详解】（1）由题意得，， . （2），， . 【变式训练6 根据补集运算确定集合或参数】 1．（23-24高三上·辽宁沈阳·期末）已知，均为集合的子集， ，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，先求出，再由，，可得集合. 【详解】，均为集合的子集，，则， ，，则. 故选：B 2．（2023·全国·模拟预测）设全集，集合．若，则的值分别为（    ） A．3，2 B．4，3 C．3，2或5，3 D．5，2或5，3 【答案】D 【分析】根据集合关系得到，且，再得到，且，，，，分类讨论得到的值. 【详解】因为，所以，且． 由题意得，，且，，，． 若，则，不满足，不符合题意； 若，则，此时，符合题意； 若，则，此时，，符合题意． 故选：D． 3．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）设全集，则集合 ． 【答案】 【分析】依题意可得，即可求出，从而求出，即可得解. 【详解】因为，所以，则，解得， 所以， 又，所以. 故答案为： 4．（2023高一·全国·专题练习）设全集，集合，．则实数的值为 ． 【答案】 【分析】根据补集的运算即可求解. 【详解】∵，∴且，∴． 故答案为： 5．（2023高一·江苏·专题练习）已知集合，，.求： (1)集合； (2)集合； (3)集合，. 【答案】(1)或. (2)或. (3)，或. 【分析】（1）由补集的定义求解即可； （2）由补集和交集的定义求解即可； （3）由交集和并集的定义求解即可. 【详解】（1）借助数轴可得    ∴或. （2）∵，    ∴＝或.    或. （3），    或. 【变式训练7 交并补混合运算】 1．（23-24高二下·天津蓟州·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解不等式求出集合B，根据补集与解集的定义写出. 【详解】集合, , 或, 故选： 2．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求，再根据并集运算求解. 【详解】由题意可得：，所以. 故选：C. 3．（2024·四川遂宁·二模）已知集合，，，则 ． 【答案】 【分析】借助集合交并补的概念计算即可得. 【详解】由，，故， 故. 故答案为：. 4．（22-23高一下·湖南张家界·开学考试）已知全集，集合，，则 【答案】 【分析】根据集合的交集和补集运算求解. 【详解】由题意可知：，所以. 故答案为：. 5．（23-24高一上·江西上饶·期末）已知集合，，. (1)求，； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）根据并集、补集、交集的知识求得正确答案. （2）根据列不等式，从而求得的取值范围. 【详解】（1）依题意，集合，， 所以，或， 所以或. （2）由于，若， 则. 【变式训练8 集合的应用】 1．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）某校高一（4）班学生47人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，三项都参加的人数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据题意设参加各类活动的学生的集合，找出各类运动的人数，然后结合题意列方程求解即可 【详解】设参加足球队的学生组成集合，参加排球队的学生组成集合，参加游泳队的学生组成集合，则 ，， 设三项都参加的人数为，则， 因为 所以由， 得，解得， 即三项都参加的人数为5人， 故选：D 2．（23-24高一上·浙江温州·阶段练习）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出40种商品，第二天售出30种商品，第三天售出20种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店这三天售出的商品最少种数为（    ） A．83 B．70 C．67 D．60 【答案】C 【分析】由题意可以得到第一天售出但第二天未售出的商品种数，同理得到第二天售出但第一天未售出的商品种数，进而得到前两天共售出的商品的种数，根据第三天售出但第二天未售出的商品种数，当这些商品都在第一天售或第二天售出时，三天售出的商品种数最少. 【详解】由题意，第一天售出40种商品，第二天售出30种商品，前两天都售出的商品有3种， 所以第一天售出但第二天未售出的商品有40-3=37种，第二天售出但第一天未售出的商品有30-3=27种，所以前两天共售出的商品有40+27=67种， 第三天售出20种商品，后两天都售出的商品有4种，得第三天售出但第二天未售出的商品有20-4=16种，当这16种商品都在第一天售出时，三天售出的商品种数最少，有67种. 故选：C 3．（23-24高一上·山西朔州·期中）深圳科学高中先后举办了多个学科的课余活动.已知高一(1)班有50名同学，其中30名同学参加了数学活动，26名同学参加了物理活动，16名同学同时参加了数学，物理两个学科的活动，则这个班既没有参加数学活动，也没有参加物理活动的同学人数是 . 【答案】10 【分析】先分别求出只参加数学活动和只参加物理活动的人数，然后画出韦恩图，利用韦恩图的性质求解即可. 【详解】由题意得只参加数学活动的学生数为人， 只参加物理活动的学生数为，如图所示的韦恩图， 则由图可知既没有参加数学活动，也没有参加物理活动的同学人数为 人， 故答案为：10 4．（22-23高一上·河南平顶山·阶段练习）某社团有100名社员，他们至少参加了A，B，C三项活动中的一项.得知参加A活动的有51人，参加B活动的有60人，参加C活动的有50人，数据如图，则图中 ； ； .    【答案】 9 8 10 【分析】根据题意结合图形列方程组求解即可. 【详解】由题意得 ，则，解得， 故答案为：9，8，10 5．（23-24高一上·广东深圳·期末）立德中学高一年级某学生社团开展了“使用移动支付平台——支付宝与微信支付的对比分析”的课题研究．随机调查了名市民，结果显示：使用支付宝的有人，使用微信支付的有人，两种都使用的有人． (1)只使用支付宝不使用微信支付的有多少人？ (2)两种移动支付方式都不使用的有多少人？（要有合理的说明过程） 【答案】(1)158人 (2)59人 【分析】（1）由题意“使用支付宝”的去掉“两种支付方式都使用”的即为“只使用支付宝不使用微信支付”的人. （2）由题意分别得出“只使用微信支付不使用支付宝”， “只使用支付宝不使用微信支付” “两种支付方式都使用”，由总人数减去“至少使用一种移动支付方式”即可的结果. 【详解】（1）因为“使用支付宝”的有人，“两种支付方式都使用”的有人， 所以“只使用支付宝不使用微信支付”的有（人）. （2）同理，“只使用微信支付不使用支付宝”的有（人）， 所以，“至少使用一种移动支付方式”的有（人）， 故“两种移动支付方式都不使用”有（人）. 【变式训练9 根据交并补混合运算确定集合或参数】 1．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知全集，若，则实数的值为（    ） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 【答案】D 【分析】求出A中方程的解确定A，再由A的补集与B的交集为空集，确定A与B的包含关系进行分类讨论，即可确定m的值. 【详解】因为方程的判别式， 所以， 根据题意得到集合，， 即，， 因为，所以， 所以或， 若，则，解得， 若，则，解得， 所以或. 故选：D. 2．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】由，得到，分与讨论即可. 【详解】由，得到 分两种情况考虑： ①当，即时，，符合题意； ②当，即时，需， 解得：，综上得：，则实数的取值范围为. 故选：A 3．（23-24高一上·山东青岛·期中）设集合，，全集，且，则实数m的取值范围为 ； 【答案】 【分析】先根据题意得，再根据求解即可得答案. 【详解】由已知的：，则， 因为，且， 如图： 则，即，则实数m的取值范围为. 故答案为： 4．（2023高一·江苏·专题练习）设集合，，若，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】由于处理较繁琐，可先求时实数m的取值范围，再取相反情况即可. 【详解】若时， 则当时，，解得； 当时，，解得， 由可得或，解得或， 又，所以或， 综上可得当时，或， 所以当时，m的取值范围是. 故答案为：. 5．（23-24高一上·浙江·期中）已知全集，集合，. (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由集合的交、并运算即可得解. （2）由得列出不等式组，求解即得. 【详解】（1）因为，所以，， 所以， （2）由得，得解得， 所以，故实数的取值范围为 【变式训练10 根据并集结果求集合元素个数】 1．（23-24高一上·吉林通化·阶段练习）某班有名学生，有围棋爱好者人，足球爱好者人，同时爱好这两项的最多人数为，最少人数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意设立集合，利用图分析集合之间的关系，运算即可得解. 【详解】解：设全班学生构成的集合为全集，围棋爱好者构成的集合为， 足球爱好者构成的集合为，由题意，中有个元素，中有个元素， 全集中有个元素， ∵同时爱好这两项的学生构成的集合就是，    ∴要使中人数最多，即元素个数最多，需满足是的真子集，如上图， ∴.    要使中人数最少，即元素个数最少，需满足，如上图， ∴，解得：. ∴. 故选：D. 2．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）对于集合A，B，我们把叫做集合A与B的差集，当，则两个非空集合A，B的关系表达最准确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用集合的新定义逐个分析判断即可 【详解】解：对于A，因为，所以时，可能成立，所以集合不一定是空集，所以A错误， 对于B，因为，所以时，可能成立，所以集合不一定是空集，所以B错误， 对于C，因为，所以时，可能成立，所以集合不一定是空集，所以C错误， 对于D，因为，所以时，一定成立，所以， 故选：D 3．（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）若集合，，，则集合中的元素个数是 . 【答案】 【分析】求出集合、，可求出集合，即可得解. 【详解】因为集合，，， 则，，所以，， 故集合中的元素个数是. 故答案为：. 4．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）某班有46名学生，有围棋爱好者22人，足球爱好者27人，同时爱好这两项的最多人数为，最少人数为，则 . 【答案】19 【分析】设出集合，根据集合之间的关系，得到，求出答案. 【详解】设集合分别表示围棋爱好者，足球爱好者，全班学生组成全集， 就是两者都爱好的，要使中人数最多，则， 要使中人数最少，则，即，解得， . 故答案为：19 5．（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）若集合 (1)用列举法表示集合. (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）解一元二次方程即可； （2）根据并集的结果得到集合的包含关系即可求解. 【详解】（1）由解得或，所以. （2）因为，所以， 由解得或， 若，则，满足； 若，则，因为，所以， 综上或. 1．（2024高二上·福建·学业考试）集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据交集的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：A 2．（23-24高一下·浙江衢州·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用交集的运算即可求出. 【详解】因为集合， 所以. 故选：A. 3．（2024·天津·三模）设全集，集合，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用补集、并集的定义直接求解即得. 【详解】依题意，全集，则，， 得，所以. 故选：B 4．（23-24高二下·福建福州·期中）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用交集的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：A. 5．（2024·安徽·三模）已知集合，，则图中所示的阴影部分的集合可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】图中所示的阴影部分的集合为，结合集合的运算即可得解. 【详解】由图可知，阴影部分表示的集合为集合中的元素去掉集合的元素构成， 而，，则， 得， 故所求集合为. 故选：C. 6．（2024·上海·三模）已知集合，，则 【答案】 【分析】把集合中的元素代入不等式检验可求得. 【详解】当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 所以. 故答案为：. 7．（2024·上海·三模）已知集合，，若，则 ． 【答案】3 【分析】根据给定条件，利用交集的结果直接列式计算即得. 【详解】集合，，由，得，又， 因此，所以. 故答案为：3 8．（2024·河北沧州·二模）已知集合，若，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】求出集合，根据集合，即可求出. 【详解】由题意知，又且，故，即的取值范围为. 故答案为：. 9．（2024·全国·模拟预测）设集合，．若，则 ． 【答案】2 【分析】先根据题目条件以及集合中元素的互异性证明，再验证满足条件即可. 【详解】由于，而，故. 所以是整数，且，再由集合中元素的互异性知，. 从而是整数，且，，，得. 当时，，，故，满足条件. 故答案为：. 10．（2024·上海崇明·二模）若集合，或，则 ． 【答案】/ 【分析】根据交运算，结合已知集合，直接求解即可. 【详解】根据题意，. 故答案为：. 11．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合，，全集，且， (1)求集合； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据补集的定义和运算即可求解； （2）根据交集的定义和运算即可求解. 【详解】（1）因为， 所以. （2），由（1）知， . 12．（23-24高一上·湖南益阳·期末）已知全集，集合，． (1)求； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据补集的概念直接求补集即可. （2）根据集合之间的关系，可求参数的取值范围. 【详解】（1）因为全集，集合， 所以或． （2）因为，所以，故实数a的取值范围是． 13．（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知集合，. (1)求及； (2)求. 【答案】(1),. (2) 【分析】（1）利用交集并集的定义即可求解. （2）利用补集的定义即可求解. 【详解】（1）因为，， 所以； . （2）因为，， . 14．（23-24高一上·北京·期中）已知集合 ，集合 ． (1)当 时，求 ，， ; (2)若 ，求实数 的取值范围； 【答案】(1)，， 或 (2) 【分析】（1）由交集并集补集的定义求解； （2）由集合的包含关系求参数的取值范围. 【详解】（1）当 时，， 则 ，， 或； （2）由 知 解得 ， 即实数 的取值范围为 ． 15．（23-24高一上·四川乐山·期中）记全集，已知集合，． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)． 【分析】（1）集合的交集和补集的运算计算得出结果；（2）根据已知条件，求解参数范围 【详解】（1）由，得， 方法1： 可得或， 由题，有或， 所以或． 方法2： 则， 所以，或． （2）依题意，或， 因为，所以 解得，故的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $$