第02讲 集合间的基本关系（5大知识点+10大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假新高一数学衔接讲义（人教A版2019必修第一册）

第02讲 集合间的基本关系（5大知识点+10大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 判断集合的子集（真子集）的个数 题型二 求集合的子集（真子集） 题型三 判断两个集合的包含关系 题型四 根据集合的包含关系求参数 题型五 判断两个集合是否相等 题型六 根据两个集合相等求参数 题型七 空集的概念以及判断 题型八 空集的性质及应用 题型九 根据集合相等关系进行计算 题型十 子集的概念 知识点01：图（韦恩图） 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用图，可以使问题简单明了地得到解决。 对图的理解 (1)表示集合的图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线. (2)用图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显. 知识点02：子集 1子集： 一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 （1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”) （2）性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 2集合与集合的关系与元素与集合关系的区别 符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系. 知识点03：集合相等 一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作.也就是说,若,且,则.  （1）的图表示 （2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关 知识点04：真子集的含义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集; （1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”) （2）性质： ①任何一个集合都不是是它本身的真子集. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 知识点05：空集的含义 我们把不含任何元素的集合，叫做空集，记作： 规定：空集是任何集合的子集，即; 性质：①空集只有一个子集，即它的本身， (2)，则 和 和 和 相同点 都表示无 都是集合 都是集合 不同点 表示集合； 是实数 不含任何元素 含有一个元素 不含任何元素 含有一个元素，该元素为： 关系 或者 【典型例题一 判断集合的子集（真子集）的个数】 1．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）若集合，则集合的子集共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）设集合，则集合A的真子集个数为（    ） A．7个 B．8个 C．16个 D．15个 3．（23-24高三上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，则的真子集的个数是 . 4．（2024高三·全国·专题练习）满足的集合的个数是 ． 5．（23-24高一上·云南大理·期末）已知集合. (1)当时，求集合； (2)若集合只有2个子集，求实数的值. 【典型例题二 求集合的子集（真子集）】 1．（23-24高一上·山东日照·阶段练习）已知集合满足，则集合的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）已知集合,，则满足条件的集合的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（23-24高一上·河北沧州·期中）满足的集合的个数为 . 4．（2023高一·江苏·专题练习）已知集合，则集合A的真子集有 个． 5．（23-24高一上·安徽蚌埠·阶段练习）设集合， (1)若，试判断集合与的关系． (2)若，求实数的值组成的集合． 【典型例题三 判断两个集合的包含关系】 1．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）设集合，则下列表述正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏南通·三模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一·全国·课堂例题）已知集合，集合，则集合与的关系是 ． 4．（23-24高一上·新疆·期中）已知集合M满足，则满足条件的集合M的个数是 . 5．（23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知集合. (1)若，求的取值范围. (2)若，求的取值范围. 【典型例题四 根据集合的包含关系求参数】 1．（2024·重庆·三模）已知集合，集合，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．（2024·辽宁抚顺·三模）设集合，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合，，若，则实数的值为 . 4．（2024高一上·全国·专题练习）若集合，则能使成立的a的取值集合为 ． 5．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合，集合. （1）若，求的值； （2）是否存在实数，，使. 【典型例题五 判断两个集合是否相等】 1．（23-24高一上·天津南开·阶段练习）已知集合，则（    ） A．⫋ B．⫌ C． D． 2．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）下面选项中的两个集合相等的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课前预习）集合相等:对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的 ，且集合B也是集合A的 ，那么称集合A与集合B相等，记作A=B. 4．（23-24高一上·上海静安·阶段练习）设集合，，则集合M与N的关系是 . 5．（2023高一·江苏·专题练习）已知集合A有三个元素：，，，集合B也有三个元素：0，1，x. (1)若，求a的值； (2)若，求实数x的值； (3)是否存在实数a，x，使集合A与集合B中元素相同？ 【典型例题六 根据两个集合相等求参数】 1．（2024·云南大理·模拟预测）已知，其中，则（    ） A．0 B．或 C． D． 2．（23-24高一上·湖北孝感·期中）已知集合，其中，则实数（    ） A． B． C． D．2 3．（23-24高一·全国·竞赛）已知，若集合，则 . 4．（23-24高一上·山东临沂·期末）集合，，且，则实数 ． 5．（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）集合． (1)若是，求实数的取值范围 (2)是否存在这样的实数，使得集合有且仅有两个子集，若存在，求出实数及对应的子集，若不存在，说明理由． 【典型例题七 空集的概念以及判断】 1．（23-24高一上·海南海口·期中）有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不正确的是（    ） A．①③ B．②④⑤ C．③④ D．①②⑤ 2．（23-24高一上·重庆·期中）下列关于0与说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·上海黄浦·期中）设集合，只有一个子集，则满足要求的实数 ． 4．（22-23高一上·湖北十堰·阶段练习）有下列四个命题： ①是空集；       ②若 ，则有2个； ③若集合 ，则集合中所有元素之和为-2； ④集合是有限集． 其中正确的命题的个数是 个． 5．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）已知集合， (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【典型例题八 空集的性质及应用】 1．（23-24高二上·云南文山·期末）下列式子表示正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·新疆·期中）下列四个关系式中正确的个数是（    ） （1）；（2）；（3）；（4）． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（22-23高一上·湖南永州·阶段练习）若集合 为空集，则实数的取值范围是 . 4．（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知集合，则实数k的取值范围是 . 5．（23-24高一上·全国·课后作业）已知集合，，若，求的值． 【典型例题九 根据集合相等关系进行计算】 1．（23-24高一·全国·专题练习）已知，，若集合，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 2．（23-24高三上·江西赣州·期中）已知、，若，则的值为（    ） A． B．0 C． D．或 3．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，集合，且，则实数 . 4．（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）设全集，集合，，且，则实数 ． 5．（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）设集合且满足①;②若，则. (1)能否为单元素集合，为什么? (2)求出只含有两个元素的集合； (3)满足题设条件的集合共有几个?能否列出来? 【典型例题十 子集的概念】 1．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知集合，若，是的两个非空子集，记满足“中元素的最小值大于中元素的最大值”为集合对，则所有集合对的个数为（   ） A．16 B．17 C．18 D．19 2．（22-23高一上·浙江台州·阶段练习）集合有1个真子集，则（    ） A． B． C． D．或 3．（23-24高一上·山东德州·阶段练习）若恰有8个子集，则a的取值范围是 ． 4．（23-24高一上·浙江温州·阶段练习）设集合，，若，则实数的取值范围是 . 5．（22-23高一·全国·随堂练习）写出下列集合的所有子集： (1)； (2)． 【变式训练1 判断集合的子集（真子集）的个数】 1．（2024·黑龙江·三模）已知集合，则满足的集合C的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2024·安徽安庆·二模）若集合，当时，集合的非空真子集个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．4 3．（23-24高二下·上海·期中）已知集合，那么的真子集有 个． 4．（23-24高一上·广东中山·阶段练习）集合的子集个数为 ． 5．（22-23高一·全国·课堂例题）判断下列各组集合中，A是否为B的子集. (1)，； (2)，. 【变式训练2 求集合的子集（真子集）】 1．（23-24高一上·四川成都·期中）集合的一个子集是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）满足条件的集合有（    ）种 A．3 B．5 C．7 D．8 3．（23-24高一上·山西临汾·阶段练习）写出集合的一个非空子集 ． 4．（23-24高一上·四川达州·阶段练习）设集合，集合A的子集个数是 个 5．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期中）已知集合，集合，若，求实数a的值. 【变式训练3 判断两个集合的包含关系】 1．（23-24高一上·陕西榆林·期中）已知集合，那么（　　） A． B． C． D． 2．（2024·云南贵州·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·上海闵行·期中）下列写法中，正确的有 ①；②；③；④. 4．（23-24高一上·全国·课后作业）已知集合，，则满足条件的集合C的个数为 ，满足条件B的集合C的个数为 ． 5．（22-23高一上·广东东莞·期中）设集合. (1)当时，求的非空真子集的个数； (2)若，求的取值范围. 【变式训练4 根据集合的包含关系求参数】 1．（2024·陕西西安·三模）设集合，，若，则（    ） A．2 B．3 C．1 D．1或2 2．（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·上海宝山·二模）已知集合，且，则实数的值为 . 4．（23-24高一下·上海·期中）已知集合，，且．则实数的取值范围为 ． 5．（23-24高一上·北京·期中）已知集合，集合 (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【变式训练5 判断两个集合是否相等】 1．（23-24高一上·河北·期中）下列集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24高一上·福建三明·阶段练习）若集合，，，则的关系是（    ） A．  B． C． D． 3．（23-24高一上·浙江温州·开学考试）已知，，则M N （ 填“”或“”或“”或“” ）. 4．（2023高一·江苏·专题练习）集合与 相等集合．（填“是”或“不是”） 5．（23-24高一上·全国·课后作业）判断下列集合、是否表示同一集合，若不是，请说明理由. (1)，； (2)，； (3)，； (4)，. 【变式训练6 根据两个集合相等求参数】 1．（23-24高一上·山西长治·期中）已知集合，，若，则（    ） A．-1 B．1 C．0 D．2 2．（2023高二·湖北·学业考试）设集合，，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合，若，则实数的值是 . 4．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）若m，，且满足集合，则 ． 5．（23-24高一上·辽宁阜新·阶段练习）若，求a的值 【变式训练7 空集的概念以及判断】 1．（2024高一上·全国·专题练习）下列四个集合中是空集的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一·全国·随堂练习）下列四个集合中，(   )是空集 A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江苏·课前预习）如果一个集合不含任何元素，则该集合称为 ；如果一个集合有无限个元素，则该集合可称为 ． 4．（23-24高一·全国·课后作业）集合 ． 5．（23-24高一·全国·课后作业）判断下列叙述正确性： （1）∅＝{0}；         （2）任何一个集合必有两个或两个以上的子集； （3）空集没有子集；      （4）空集是任何一个集合的子集． （5）空集是任何集合的真子集； （6）若∅A，则A≠∅． 【变式训练8 空集的性质及应用】 1．（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）下列说法中正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧ A．2 B．3 C．4 D．5 2．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的个数为（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）关于的不等式组的解集为，则实数的取值范围为 ． 4．（23-24高一上·吉林长春·阶段练习）已知集合，，集合C是A的子集，且.那么这样的子集C有 个. 5．（23-24高一·全国·课后作业）已知集合． (1)若，，求实数的取值范围； (2)若，，求实数的取值范围． 【变式训练9 根据集合相等关系进行计算】 1．（23-24高一上·浙江温州·期中）若，则的值为（    ） A． B．3 C． D．7 2．（23-24高一·全国·专题练习）已知，，若集合，则的（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·福建宁德·期中）设集合，，若，则实数 . 4．（23-24高一·全国·课后作业）集合，则 . 5．（23-24高一·江苏·课后作业）若某含有三个元素的集合可表示为，也可表示为，求实数a和b的值． 【变式训练10 子集的概念】 1．（23-24高一上·北京·期中）已知集合，则下列可以作为A的子集的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·广东东莞·阶段练习）集合，，，则满足条件的实数的值为(    ) A．1或0 B．﹣2，0或2 C．0，1或2 D．﹣2，0，1或2 3．（23-24高三上·上海徐汇·期中）已知一个由五个实数组成的集合，的所有非空子集的元素和的总和等于，则的五个元素之和等于 ． 4．（23-24高一上·湖北荆门·阶段练习）从集合M=中去掉所有3的倍数和5的倍数，则剩下的元素个数为 5．（22-23高一上·山东聊城·期中）求实数a的值. (1)已知,,求实数a的值; (2)已知集合,若集合A有两个子集,求实数a的值. 1．（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）设集合，则集合A的真子集个数为（    ） A．7个 B．8个 C．16个 D．15个 2．（2024·湖南衡阳·三模）已知集合，，若，则实数的值为（    ） A． B．0 C． D．2 3．（2024·全国·模拟预测）已知集合，若，则的值可以为（    ） A．1 B．0 C．0或1 D．1或2 4．（2024·四川成都·三模）已知集合 ，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·四川德阳·三模）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）已知集合，，若，则 . 7．（2024·重庆·三模）已知集合，，则满足B的集合的个数为 . 8．（2024·山东·二模）已知集合，若，则实数的值为 ． 9．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知集合，．若，则实数的取值集合为 ． 10．（2024高三·全国·专题练习）已知集合，，则满足的集合的个数为 . 故答案为：7. 11．（23-24高一上·全国·专题练习）设，写出集合的子集，并指出其中哪些是它的真子集． 12．（23-24高一上·河北沧州·期中）已知集合，，若，求实数m的取值范围. 13．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知，，若，求m的值． 14．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根. (1)若，求出实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 15．（23-24高一上·广东佛山·期末）设集合 (1)若，试判断集合与的关系； (2)若，求的值组成的集合． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 集合间的基本关系（5大知识点+10大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 判断集合的子集（真子集）的个数 题型二 求集合的子集（真子集） 题型三 判断两个集合的包含关系 题型四 根据集合的包含关系求参数 题型五 判断两个集合是否相等 题型六 根据两个集合相等求参数 题型七 空集的概念以及判断 题型八 空集的性质及应用 题型九 根据集合相等关系进行计算 题型十 子集的概念 知识点01：图（韦恩图） 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用图，可以使问题简单明了地得到解决。 对图的理解 (1)表示集合的图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线. (2)用图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显. 知识点02：子集 1子集： 一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 （1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”) （2）性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 2集合与集合的关系与元素与集合关系的区别 符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系. 知识点03：集合相等 一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作.也就是说,若,且,则.  （1）的图表示 （2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关 知识点04：真子集的含义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集; （1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”) （2）性质： ①任何一个集合都不是是它本身的真子集. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 知识点05：空集的含义 我们把不含任何元素的集合，叫做空集，记作： 规定：空集是任何集合的子集，即; 性质：①空集只有一个子集，即它的本身， (2)，则 和 和 和 相同点 都表示无 都是集合 都是集合 不同点 表示集合； 是实数 不含任何元素 含有一个元素 不含任何元素 含有一个元素，该元素为： 关系 或者 【典型例题一 判断集合的子集（真子集）的个数】 1．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）若集合，则集合的子集共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据子集的定义逐一列举求解. 【详解】因为集合，所以集合的子集有：，，，. 所以集合的子集共有4个. 故选：C. 2．（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）设集合，则集合A的真子集个数为（    ） A．7个 B．8个 C．16个 D．15个 【答案】D 【分析】列举出集合A的所有元素，由n元集合的真子集个数为可得. 【详解】由和可得， 所以集合A的真子集个数为个. 故选：D 3．（23-24高三上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，则的真子集的个数是 . 【答案】3 【分析】根据给定条件，利用列举法表示集合，再求出其真子集个数. 【详解】依题意，，所以的真子集的个数是. 故答案为：3 4．（2024高三·全国·专题练习）满足的集合的个数是 ． 【答案】3 【分析】 借助真子集与集合包含关系的性质计算即可得. 【详解】 由题知，则， 故集合的个数为. 故答案为：. 5．（23-24高一上·云南大理·期末）已知集合. (1)当时，求集合； (2)若集合只有2个子集，求实数的值. 【答案】(1) (2)0或 【分析】（1）代入求解出方程的解，则可知； （2）根据进行分类讨论：当时，根据（1）的结果分析即可，当时，考虑的情况，由此可求结果. 【详解】（1）当时，由解得， 所以. （2）因为集合只有个子集，所以集合中只有个元素， 当时，，显然满足； 当时，若中只有个元素，只需满足方程仅有个解， 所以，解得，解方程可得，此时，满足条件； 综上所述，的取值为0或 【典型例题二 求集合的子集（真子集）】 1．（23-24高一上·山东日照·阶段练习）已知集合满足，则集合的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用集合的子集、真子集的概念求解. 【详解】由题可知，集合可以为：共3个， 故选：C. 2．（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）已知集合,，则满足条件的集合的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由题意可知，用列举法写出满足条件的集合即可. 【详解】解：因为,，， 所以集合可以是：，，共4个， 故选：C. 3．（23-24高一上·河北沧州·期中）满足的集合的个数为 . 【答案】3 【分析】根据子集的定义以及包含关系即可列举求解. 【详解】因为，所以可以为，共计3个. 故答案为：3 4．（2023高一·江苏·专题练习）已知集合，则集合A的真子集有 个． 【答案】15 【分析】利用列举法求出集合A，再利用含有个元素的集合的真子集个数公式计算即可. 【详解】集合，所以集合A的真子集个数是. 故答案为：15 5．（23-24高一上·安徽蚌埠·阶段练习）设集合， (1)若，试判断集合与的关系． (2)若，求实数的值组成的集合． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先解集合，根据子集关系进行判断； （2）由集合的包含关系，确定集合的元素得出结果. 【详解】（1）， ， ，当时，， 所以； （2）当时，，满足； 当时，则， 所以或，解得或 所以实数的值组成的集合为 【典型例题三 判断两个集合的包含关系】 1．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）设集合，则下列表述正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合以及集合子集的定义即可结合选项求解. 【详解】, 所以，，，故ABD错误,C正确, 故选：C 2．（2024·江苏南通·三模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通分，根据数字特征即可判断两集合之间关系. 【详解】， ， 因为表示所有的奇数，而表示所有的整数，则， 故选：A. 3．（22-23高一·全国·课堂例题）已知集合，集合，则集合与的关系是 ． 【答案】 【分析】根据集合间的关系，可做出判断. 【详解】解：在数轴上表示出集合A，B，如图所示，易知.    故答案为：. 4．（23-24高一上·新疆·期中）已知集合M满足，则满足条件的集合M的个数是 . 【答案】8 【分析】由包含关系分类讨论，一一列举即可求解. 【详解】由题意可得集合M中至少含0，2这2个元素，至多含0，1，2，3，5这5个元素. 若集合M中含2个元素，则集合M为； 若集合M中含3个元素，则集合M为，，； 若集合M中含4个元素，则集合M为，，； 若集合M中含5个元素，则集合M为. 故满足条件的集合M有8个. 故答案为：8 5．（23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知集合. (1)若，求的取值范围. (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空集的定义即可得解； （2）利用集合的包含关系，分类讨论与两种情况即可得解. 【详解】（1）因为，， 所以中没有元素，即， 所以的取值范围为. （2）因为，， 由（1）知，当时，，此时满足； 当时，则； 所以的取值范围为. 【典型例题四 根据集合的包含关系求参数】 1．（2024·重庆·三模）已知集合，集合，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】利用子集的概念求解. 【详解】集合，集合， 若，又，所以，解得 故选：B 2．（2024·辽宁抚顺·三模）设集合，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据题意，得到或，求得的值，结合集合的包含关系，即可求解. 【详解】由集合， 因为，所以或，解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意． 故选：C． 3．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合，，若，则实数的值为 . 【答案】 【分析】由于方程中项含参数，需要对其分两种情况和讨论即可. 【详解】由题意知，当时，，满足题意； 当时，方程的根是，由得：，即或， 解得或， 综上，的值为. 故答案是：. 4．（2024高一上·全国·专题练习）若集合，则能使成立的a的取值集合为 ． 【答案】或 【分析】根据，进行讨论和，求解参数范围. 【详解】当，则时，； 当，则时，， 要使，须有，解得， 综上可知，能使成立的a的取值集合为或． 故答案为：或 5．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合，集合. （1）若，求的值； （2）是否存在实数，，使. 【答案】（1）；（2）不存在. 【解析】（1）转化条件为或，验证元素的互异性即可得解； （2）按照、讨论，验证即可得解. 【详解】（1）由题意，或，解得或， 当时，，不成立； 当时，，成立； ∴. （2）由题意，， 若，则，，不合题意； 若，则，，不合题意； ∴不存在实数，，使得. 【典型例题五 判断两个集合是否相等】 1．（23-24高一上·天津南开·阶段练习）已知集合，则（    ） A．⫋ B．⫌ C． D． 【答案】C 【分析】根据集合均为偶数集，即可判断. 【详解】集合， 则集合均为偶数集，故集合. 故选：C. 2．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）下面选项中的两个集合相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系，相等集合的定义，即可判断. 【详解】A.两个集合都是点集，两个集合的元素不相同，所以不是相等集合，故A错误； B.集合表示数集，有2个元素，分别是1和0，集合是点集，只有1个元素，为，所以不是相等集合，故B错误； C.，得，即，故C正确； D.集合是空集，但集合是非空集，里面有1个元素，所以不是相等集合，故D错误. 故选：C 3．（24-25高一上·全国·课前预习）集合相等:对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的 ，且集合B也是集合A的 ，那么称集合A与集合B相等，记作A=B. 【答案】 子集 子集 4．（23-24高一上·上海静安·阶段练习）设集合，，则集合M与N的关系是 . 【答案】 【分析】解绝对值不等式得到，配方得到，得到，得到答案. 【详解】，解得，又，故， 因为，又，所以， 故答案为：. 5．（2023高一·江苏·专题练习）已知集合A有三个元素：，，，集合B也有三个元素：0，1，x. (1)若，求a的值； (2)若，求实数x的值； (3)是否存在实数a，x，使集合A与集合B中元素相同？ 【答案】(1)0或－1 (2)－1 (3)不存在 【分析】（1）由元素与集合的关系，解方程求a的值并检验； （2）由元素与集合的关系，解方程求实数x的值并检验； （3）由元素相同，分类讨论列方程求解. 【详解】（1）由且，可知或， 当时，；当时，. 经检验，0与－1都符合要求.∴或. （2）由，得或或，∴或或. 但考虑到集合元素的互异性，且，故. （3）显然，由集合元素的无序性，只可能或. 若，则，A包含的元素为0，5，10，与集合B中元素不相同. 若，则，A包含的元素为0，，，与集合B中元素不相同. 故不存在实数a，x，使集合A与集合B中元素相同. 【典型例题六 根据两个集合相等求参数】 1．（2024·云南大理·模拟预测）已知，其中，则（    ） A．0 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】 分二次项系数是否为0结合韦达定理求解. 【详解】 由题意知：为方程的根， 当时，； 当时，二次方程有两个相同的根，则有，此时. 故选:B. 2．（23-24高一上·湖北孝感·期中）已知集合，其中，则实数（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据集合相等的概念列式求解即可. 【详解】∵集合， 当且时，结合，解得， 经检验，不符合元素的互异性，舍去； 当且时，结合，解得，经检验，符合题意， 故. 故选：C. 3．（23-24高一·全国·竞赛）已知，若集合，则 . 【答案】2 【分析】 根据集合相等的性质可得，从而可得结果 【详解】因为，所以，于是可得或， 由得，而无解，所以， 所以=2. 故答案为：2 4．（23-24高一上·山东临沂·期末）集合，，且，则实数 ． 【答案】 【分析】根据集合关系，可得，从而可求解. 【详解】由题意得， 则，解得. 故答案为：. 5．（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）集合． (1)若是，求实数的取值范围 (2)是否存在这样的实数，使得集合有且仅有两个子集，若存在，求出实数及对应的子集，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)当时，对应的两个子集为和；当时，对应的两个子集为和. 【分析】（1）若，对应的方程没有实数根，可求实数的取值范围； （2）要使集合A有且仅有两个子集，集合A有且只有一个元素，即对应的方程有且只有一个实根，可求实数的值． 【详解】（1）若，方程没有实数根，当时，方程有实数根不合题意；则，二次方程没有实数根，，解得. 所以实数的取值范围为 （2）要使集合A有且仅有两个子集，则集合A有且只有一个元素，即对应的方程有且只有一个实根， 当时，方程化为，解得，此时，对应的两个子集为和； 当，二次方程只有一个实根，，解得，此时，对应的两个子集为和. 【典型例题七 空集的概念以及判断】 1．（23-24高一上·海南海口·期中）有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不正确的是（    ） A．①③ B．②④⑤ C．③④ D．①②⑤ 【答案】C 【分析】根据集合元素的无序性判断①；根据子集的定义判断②；根据集合及空集的定义判断③④⑤；利用元素与集合的关系判断⑥． 【详解】对①：因为集合元素具有无序性，显然①正确； 对②：因为集合，故正确，即②正确； 对③：空集是一个集合，而集合是以空集为元素的一个集合，因此不正确； 对④：是一个集合，仅有一个元素0，但是空集不含任何元素，于是，故④不正确； 对⑤：由④可知，非空，于是有，因此⑤正确； 对⑥：显然成立，因此⑥正确． 综上，本题不正确的有③④，于是本题选项为C． 故选：C． 2．（23-24高一上·重庆·期中）下列关于0与说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的定义与性质结合元素与集合的关系逐项分析判断. 【详解】因为是不含任何元素的集合，故A正确，C不正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项D：因为是任何集合的子集，所以，故D正确； 故选：C. 3．（22-23高一上·上海黄浦·期中）设集合，只有一个子集，则满足要求的实数 ． 【答案】0 【分析】由题意可得 A是空集 即可求解. 【详解】集合，只有一个子集， 则，， 所以方程无解，即． 故答案为：0． 4．（22-23高一上·湖北十堰·阶段练习）有下列四个命题： ①是空集；       ②若 ，则有2个； ③若集合 ，则集合中所有元素之和为-2； ④集合是有限集． 其中正确的命题的个数是 个． 【答案】2 【分析】利用空集的定义判断①；求出集合判断②；化简集合A，B分别判断③，④作答. 【详解】集合含有一个元素0，不是空集，①不正确； 因，则或或或，即符合条件的M有4个，②不正确； 因集合，则，集合 中所有元素之和为-2，③正确； 因集合，则，只有4个元素，是有限集，④正确， 所以正确的命题的个数是2. 故答案为：2 5．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）已知集合， (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知，可得集合是集合的子集，结合两个集合的范围，可得直接求解出实数的取值范围. （2）由已知，可得集合和集合没有交集，结合两个集合的范围，可得直接求解出实数的取值范围. 【详解】（1）已知，，要满足， 即中的任意一个元素都是中的元素，则， 即实数a的取值范围是： （2）当，即与没有公共元素， 因为和都不可能为空集， 所以要使得两个集合没有公共元素，则， 即实数a的取值范围：． 【典型例题八 空集的性质及应用】 1．（23-24高二上·云南文山·期末）下列式子表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由空集的定义，结合集合与集合的关系及元素与集合的关系逐一判断即可得解. 【详解】对于选项A，由空集的定义可得：空集是任意非空集合的真子集，即，正确； 对于选项B，根据集合的关系知，错误； 对于选项C，根据集合的关系知，错误； 对于选项D，根据元素与集合的关系知，错误. 故选：A. 2．（23-24高一上·新疆·期中）下列四个关系式中正确的个数是（    ） （1）；（2）；（3）；（4）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据空集的定义，可得答案. 【详解】解：对于（1），由于空集是任何非空集合的真子集，故（1）正确； 对于（2），表示有一个元素0的单元素集合，所以（2）错误； 对于（3），，所以错误； 对于（4），由于空集是任何集合的子集，故正确． 所以正确的有：（1），（4）共2个． 故选：B． 3．（22-23高一上·湖南永州·阶段练习）若集合 为空集，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【分析】根据不等式的解集为空集，比较左右端点值的大小，列式即可求解. 【详解】因为集合为空集，所以，即或. 故答案为：或 4．（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知集合，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据空集的定义，要使集合，则，解之即可求解. 【详解】∵，∴， 解得，因此实数k的取值范围是. 故答案为：. 5．（23-24高一上·全国·课后作业）已知集合，，若，求的值． 【答案】 【分析】结合，寻找元素的对应关系，显然不成立，故只能，化简集合，解得参数即可求解的值． 【详解】因为，集合中有一元素为0，显然不成立，故只能，此时，，故满足，解得，经检验，故. 【典型例题九 根据集合相等关系进行计算】 1．（23-24高一·全国·专题练习）已知，，若集合，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据集合相等的条件及分式有意义可知，进而求出，代入集合验证可求出的值，进一步计算即可. 【详解】根据集合相等的条件及分式有意义可知， 则， 代入集合得， 则，得 因此 故选： 2．（23-24高三上·江西赣州·期中）已知、，若，则的值为（    ） A． B．0 C． D．或 【答案】C 【分析】根据集合相等则元素相同，再结合互异性，计算即可得解. 【详解】由 且，则， ∴，于是，解得或, 根据集合中元素的互异性可知应舍去， 因此，, 故． 故选：C. 3．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，集合，且，则实数 . 【答案】 【分析】由集合相等可构造方程求得的可能的取值，代回集合验证可得结果. 【详解】，，解得：或； 当时，，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，，满足题意； 综上所述：. 故答案为：. 4．（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）设全集，集合，，且，则实数 ． 【答案】3或-1/-1或3 【分析】根据集合相等得到，解出m即可得到答案. 【详解】由题意，或m=-1. 故答案为：3或-1. 5．（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）设集合且满足①;②若，则. (1)能否为单元素集合，为什么? (2)求出只含有两个元素的集合； (3)满足题设条件的集合共有几个?能否列出来? 【答案】(1)不为单元素集合，理由见解析； (2)或或； (3)共7个，，，，，，，. 【分析】（1）假设为单元素集合，其元素为，则得到方程，求出，不为正整数，得到结论； （2）分析得到，则，故只需满足，从而由12的正整数公约数求出答案； （3）在（2）的基础上进行求解. 【详解】（1）假设为单元素集合，其元素为，则， 故，解得或，均不是正整数，不满足， 故假设不成立，不为单元素集合； （2）由题意得，则， 故只需满足， 其中能整除的正整数有， 令，即时，，此时集合， 令，即时，，此时集合， 令，即时，，此时集合， 令，即时，，此时集合， 令，即时，，此时集合， 令，即时，，此时集合， 综上：或或； （3）由（2）可知，中元素只能从选取，且同时出现，同时出现，同时出现， 故满足条件的集合为，，，，，，，共7个. 【典型例题十 子集的概念】 1．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知集合，若，是的两个非空子集，记满足“中元素的最小值大于中元素的最大值”为集合对，则所有集合对的个数为（   ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】B 【分析】根据题意，分类讨论中元素的最小值为时的情况，即可得到答案. 【详解】当中元素的最小值为时，不符合题意. 当中元素的最小值为时，集合为：， 集合，集合对的个数为4， 当中元素的最小值为时，集合为：， 集合为，集合对的个数为6， 当中元素的最小值为时，集合为：， 集合为，集合对的个数为7， 综上：所有集合对的个数为. 故选：B 2．（22-23高一上·浙江台州·阶段练习）集合有1个真子集，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据真子集的个数推出集合中元素的个数，即方程解的个数，分类讨论求解即可. 【详解】解：集合有1个真子集，则集合有且仅有一个元素， 故方程有且仅有一个根， 当时，，方程有且仅有一个根，满足题意； 当时，需满足，即； 综上可知，或. 故选：D. 3．（23-24高一上·山东德州·阶段练习）若恰有8个子集，则a的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】由子集个数得A中有3个元素，进而化为有2个不为0的不同解，根据一元二次方程判别式、根系关系求参数范围. 【详解】由题设知：集合A中有3个元素，即有3个不同解， 所以有2个不为0的不同解， 则且. 故答案为：且 4．（23-24高一上·浙江温州·阶段练习）设集合，，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由，所以对集合是否可为空集进行分类讨论，结合数轴求出的取值范围. 【详解】，， ∵ 当时， ； 当时， . 综上所述，. 故答案为： 5．（22-23高一·全国·随堂练习）写出下列集合的所有子集： (1)； (2)． 【答案】(1), (2), 【分析】（1）根据子集的定义即可求解， （2）先用列举法求解集合，即可由子集定义求解. 【详解】（1）的所有子集有和， （2）由于， 所以所有的子集有和， 【变式训练1 判断集合的子集（真子集）的个数】 1．（2024·黑龙江·三模）已知集合，则满足的集合C的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用子集求解即可. 【详解】由题知 因为，所以根据子集的定义， 集合必须含有元素2，3，且可能含有元素1，4， 即集合的子集个数为个. 故选：C. 2．（2024·安徽安庆·二模）若集合，当时，集合的非空真子集个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．4 【答案】C 【分析】先确定集合中的元素，再求其非空真子集个数. 【详解】根据题意，当时， 集合， 集合中有3个元素，所以集合的非空真子集个数为. 故选：C 3．（23-24高二下·上海·期中）已知集合，那么的真子集有 个． 【答案】3 【分析】先求解集合，然后可得答案. 【详解】，所以的真子集有个. 故答案为：3 4．（23-24高一上·广东中山·阶段练习）集合的子集个数为 ． 【答案】8 【分析】首先计算出集合A，再根据子集个数的公式得出答案. 【详解】由题意可知，所以集合A的子集的个数为 故答案为：8 5．（22-23高一·全国·课堂例题）判断下列各组集合中，A是否为B的子集. (1)，； (2)，. 【答案】(1)A是B的子集 (2)A不是B的子集 【分析】（1）通过分析0，1分别是否为的子集即可得出结论； （2）通过分析0，1分别是否为的子集即可得出结论. 【详解】（1）由题意， ∵，，即A中的每一个元素都是B的元素， ∴是B的子集. （2）由题意， ∵，但， ∴A不是B的子集. 【变式训练2 求集合的子集（真子集）】 1．（23-24高一上·四川成都·期中）集合的一个子集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简集合，结合选项可得答案. 【详解】因为，所以的子集有，； 故选：D. 2．（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）满足条件的集合有（    ）种 A．3 B．5 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据题意知集合必包含，再根据列举出集合即可. 【详解】因为， 所以集合可以为，，共个. 故选：D. 3．（23-24高一上·山西临汾·阶段练习）写出集合的一个非空子集 ． 【答案】(答案不唯一） 【分析】根据子集定义得出答案. 【详解】根据非空子集定义得集合的一个非空子集为. 故答案为：. 4．（23-24高一上·四川达州·阶段练习）设集合，集合A的子集个数是 个 【答案】4 【分析】根据列举法求解子集，即可求解. 【详解】由得， 所以集合A的子集有，共有4个， 故答案为：4 5．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期中）已知集合，集合，若，求实数a的值. 【答案】2 【分析】考虑和两种情况，计算验证得到答案. 【详解】，故或3， 当时，，此时，，满足； 当时，，此时，，不满足. 综上所述：实数a的值为2. 【变式训练3 判断两个集合的包含关系】 1．（23-24高一上·陕西榆林·期中）已知集合，那么（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系判断即可. 【详解】对于A，“”表示集合与集合间关系，而“0”是元素，故A错； 对于BC，“”表示元素与集合间关系， 而0是集合中的元素，为集合，故B正确，C错误； 对于D，集合中，所以D错. 故选：B. 2．（2024·云南贵州·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定集合A中的元素，再确定两个集合的关系. 【详解】由题意可得，所以. 故选：A 3．（23-24高一上·上海闵行·期中）下列写法中，正确的有 ①；②；③；④. 【答案】① 【分析】根据元素与集合，集合与集合关系可判断. 【详解】空集是任何非空集合的真子集，故①正确，②错误，，故③错误，空集是不含任何元素的集合，故④错误. 故答案为：①. 4．（23-24高一上·全国·课后作业）已知集合，，则满足条件的集合C的个数为 ，满足条件B的集合C的个数为 ． 【答案】 4 3 【分析】分别求出集合A，B，根据集合间的包含关系求出集合C即可. 【详解】解：，解得或，则， 由，可得， 满足条件的集合为或或或，共4个， 满足条件B的集合为或或，共3个， 故答案为：4；3． 5．（22-23高一上·广东东莞·期中）设集合. (1)当时，求的非空真子集的个数； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)254 (2) 【分析】（1）由题得即可解决.（2）根据得，即可解决. 【详解】（1）由题知，， 当时，共8个元素， 的非空真子集的个数为个； （2）由题知， 显然， 因为， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 【变式训练4 根据集合的包含关系求参数】 1．（2024·陕西西安·三模）设集合，，若，则（    ） A．2 B．3 C．1 D．1或2 【答案】C 【分析】依题意可得，则或，求出的值，再检验是否满足集合元素的互异性. 【详解】因为，且， 所以，则或， 解得或， 当时，不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，符合题意. 综上可得. 故选：C 2．（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系列式求解即得. 【详解】集合，，由，得， 所以的取值范围是. 故选：A 3．（2024·上海宝山·二模）已知集合，且，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系，结合集合元素的性质求解即得. 【详解】由集合，且，得或，解得或， 当时，，符合题意， 当时，且，与集合元素的互异性矛盾， 所以实数的值为0. 故答案为： 4．（23-24高一下·上海·期中）已知集合，，且．则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用建立不等关系，求解即可. 【详解】因为，所以，解得. 故答案为： 5．（23-24高一上·北京·期中）已知集合，集合 (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由题意可得，解一元二次不等式求出集合，再根据集合的交集运算即可求出结果; （2）因为，所以，所以，由此即可求出结果. 【详解】（1）解：当时，集合 集合或； 所以或. （2）解：因为，所以， 所以，即. 【变式训练5 判断两个集合是否相等】 1．（23-24高一上·河北·期中）下列集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据同一集合的概念可知，两个集合中的元素应一样. 【详解】A：根据集合元素具有无序性，则，故A正确； B：和是不同元素，故B错误； C：图为中的元素是有序实数对，而中的元素是实数，所以C错误； D：因为中有两个元素，即4，3，而中有一个元素，即，所以D错误. 故选：A 2．（23-24高一上·福建三明·阶段练习）若集合，，，则的关系是（    ） A．  B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的表示含义即可得到答案. 【详解】已知，，， 显然可表示整数，而只能表示偶数；所以． 故选：A． 3．（23-24高一上·浙江温州·开学考试）已知，，则M N （ 填“”或“”或“”或“” ）. 【答案】 【分析】化简集合即可判断得解. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 4．（2023高一·江苏·专题练习）集合与 相等集合．（填“是”或“不是”） 【答案】是 【分析】解方程求出集合可得答案. 【详解】因为，所以或， 又，所以. 故答案为：是. 5．（23-24高一上·全国·课后作业）判断下列集合、是否表示同一集合，若不是，请说明理由. (1)，； (2)，； (3)，； (4)，. 【答案】(1)是； (2)否，理由：和是两个不同元素； (3)是； (4)否，理由：是数集，是点集. 【详解】（1），元素一样，是同一集合； （2）表示不同的点，故，集合不同 （3），表示的范围相同，是同一集合 （4）不是同一集合，是数集，是点集. 【变式训练6 根据两个集合相等求参数】 1．（23-24高一上·山西长治·期中）已知集合，，若，则（    ） A．-1 B．1 C．0 D．2 【答案】A 【分析】根据集合相等的定义，即可求解. 【详解】由可知，. 故选：A 2．（2023高二·湖北·学业考试）设集合，，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据集合相等直接得解. 【详解】因为，，且， 所以. 故选：D 3．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合，若，则实数的值是 . 【答案】 【分析】根据集合相等求解即可. 【详解】由于，所以， 所以. 故答案为： 4．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）若m，，且满足集合，则 ． 【答案】 【分析】分两种情况，得到方程组，舍去不合要求的解，得到答案. 【详解】， 故①或②， 由①解得，不满足，舍去， 由②解得，故. 故答案为： 5．（23-24高一上·辽宁阜新·阶段练习）若，求a的值 【答案】2 【解析】分，，三种情况讨论得解. 【详解】若，则，经检验此时满足题意； 若，则，，与集合元素的互异性矛盾，所以舍去； 若，则，，与集合元素的互异性矛盾，所以舍去. 综上所述，. 【点睛】本题主要考查相等集合和集合的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 【变式训练7 空集的概念以及判断】 1．（2024高一上·全国·专题练习）下列四个集合中是空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空集的定义，结合选项即可求解. 【详解】对于A,集合中有一个元素，故不是空集， 对于B,方程无实数解，∴集合为空集， 对于C，是无限集，所以不是空集， 对于D, ，不是空集. 故选：B． 2．（22-23高一·全国·随堂练习）下列四个集合中，(   )是空集 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空集的定义，对选项逐一判定，即可得到结果. 【详解】解：选项A：集合中有一个元素0，不为空集； 选项B：集合中不存在元素，所以该集合为空集； 选项C：集合中有一个元素1，所以不为空集； 选项D：集合中存在无数个元素，所以不为空集. 故选：B. 3．（23-24高一上·江苏·课前预习）如果一个集合不含任何元素，则该集合称为 ；如果一个集合有无限个元素，则该集合可称为 ． 【答案】 空集 无限集 【解析】略 4．（23-24高一·全国·课后作业）集合 ． 【答案】 【分析】解集合里面的二元一次方程即可﹒ 【详解】因为的＜0，所以方程无实数解，所以A＝﹒ 故答案为： 5．（23-24高一·全国·课后作业）判断下列叙述正确性： （1）∅＝{0}；         （2）任何一个集合必有两个或两个以上的子集； （3）空集没有子集；      （4）空集是任何一个集合的子集． （5）空集是任何集合的真子集； （6）若∅A，则A≠∅． 【答案】（1）错误；         （2）错误； （3）错误；      （4）正确； （5）错误； （6）错误. 【分析】（1）根据空集概念进行判断；         （2）根据空集的子集个数进行判断； （3）根据空集的子集个数进行判断；      （4）根据空集概念进行判断； （5）根据空集概念进行判断； （6）根据子集概念进行判断. 【详解】（1）,所以“∅＝{0}”错误；         （2）空集只有一个子集，所以“任何一个集合必有两个或两个以上的子集”错误； （3）空集有一个子集，所以“空集没有子集”错误；      （4）空集是任何一个集合的子集，正确； （5）空集是任何非空集合的真子集，所以“空集是任何集合的真子集”错误； （6）若∅A，则A可以为，所以A≠∅错误. 【点睛】本题考查空集有关概念、子集概念，考查基本分析判断能力，属基础题. 【变式训练8 空集的性质及应用】 1．（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）下列说法中正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧ A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由集合与集合，元素与集合以及空集的定义对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于①，正确； 对于②，是元素，是没有元素的集合，故②错误； 对于③⑤，正确，即③对，错误，即⑤错； 对于④，表示集合中有一个元素，表示集合中有一个元素，研究对象不同，故④错误； 对于⑥，，故⑥错误； 对于⑦，正确； 对于⑧，表示不同的集合，错误. ①③⑦正确. 故选：B 2．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的个数为（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】利用元素和集合的关系、集合间的关系、集合中元素的特性分析判断即可得解. 【详解】解：对于①，由集合间的关系和集合中元素的无序性知，故①正确； 对于②，由集合中元素的无序性知，故②正确； 对于③，是没有任何元素的集合，而集合中有元素，所以，故③错误； 对于④，是集合的元素，所以，故④正确； 对于⑤，是集合的子集而非元素，故⑤错误； 对于⑥，是集合的子集，即，故⑥正确； 综上知，正确的个数为4个. 故选：B. 3．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）关于的不等式组的解集为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意得，解不等式即可得出答案. 【详解】由题意得：，所以． 故答案为：. 4．（23-24高一上·吉林长春·阶段练习）已知集合，，集合C是A的子集，且.那么这样的子集C有 个. 【答案】480 【分析】由题意求出满足的子集C的个数，再求出集合A的子集个数，即可间接求出满足的子集C个数. 【详解】由题意知，集合A的子集有：个， 若，则满足这样的子集，共个， 所以满足的子集C有：个. 故答案为：480 5．（23-24高一·全国·课后作业）已知集合． (1)若，，求实数的取值范围； (2)若，，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据题意，由，分类讨论当和两种情况，解不等式即可得出实数的取值范围； （2）根据题意，由，得出，解不等式即可求实数的取值范围． 【详解】（1）解：由题可知，，， ①若，则，即； ②若，则，解得：； 综合①②，得实数的取值范围是． （2）解：已知，，， 则，解得：， 所以实数的取值范围是． 【变式训练9 根据集合相等关系进行计算】 1．（23-24高一上·浙江温州·期中）若，则的值为（    ） A． B．3 C． D．7 【答案】C 【分析】由一元二次方程的根与系数的关系，求得P，q的值，由此可得选项. 【详解】因为， 所以，解得， 所以. 故选：C. 2．（23-24高一·全国·专题练习）已知，，若集合，则的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用集合相等，结合元素的互异性求解. 【详解】易知，∵， ∴，即， ∴. ∴，解得或. 当时，集合为，不符合集合中元素的互异性，故舍去； 当时，集合为}. ∴，. ∴. 故选：C 3．（23-24高一上·福建宁德·期中）设集合，，若，则实数 . 【答案】-1 【分析】由集合相等，两个集合中的元素完全一样，分析可得． 【详解】∵， ∴，， 此时，满足题意， ∴． 故答案为：-1． 4．（23-24高一·全国·课后作业）集合，则 . 【答案】1 【分析】根据集合相等的条件，先求得，进而得到，即可求解. 【详解】由题意可知，所以，即，所以，即， 又因为，所以，所以. 故答案为： 5．（23-24高一·江苏·课后作业）若某含有三个元素的集合可表示为，也可表示为，求实数a和b的值． 【答案】a＝－1，b＝0． 【分析】由可得，则，进而可得，即，最后根据集合中元素的互异性分析即可得. 【详解】解：由题意，则有或， 又由可得，则， 所以，， 所以，即， 若，则，与集合中元素互异性相矛盾，不合题意； 若，则，，，符合题意. 综上，a＝－1，b＝0． 【变式训练10 子集的概念】 1．（23-24高一上·北京·期中）已知集合，则下列可以作为A的子集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据子集的知识可选出答案. 【详解】∵1,，根据子集的定义可知，是A的子集． 故选：D． 2．（23-24高一上·广东东莞·阶段练习）集合，，，则满足条件的实数的值为(    ) A．1或0 B．﹣2，0或2 C．0，1或2 D．﹣2，0，1或2 【答案】B 【分析】根据集合间关系和集合的互异性即可求解. 【详解】因为，，， 所以，或， (i)当时，即或， ①当时，不满足集合的互异性，故不成立； ②当时，，都满足集合的互异性，故成立； (ii)当时，即或， ③当时，，都满足集合的互异性，故成立； ④当时，，都满足集合的互异性，故成立. 综上所述，满足条件的实数的值为﹣2，0或2. 故选：B. 3．（23-24高三上·上海徐汇·期中）已知一个由五个实数组成的集合，的所有非空子集的元素和的总和等于，则的五个元素之和等于 ． 【答案】43 【分析】利用集合的非空子集个数先求出含每个元素的集合个数，再进行求和即可. 【详解】解：设，共个子集，非空子集有32-1=31个， 其中含有元素的集合有个； 含有元素的集合有个； 含有元素的集合有个； 含有元素的集合有个； 含有元素的集合有个； 又因为的所有非空子集的元素和的总和等于， 因此所有元素之和为， 所以． 故答案：43 4．（23-24高一上·湖北荆门·阶段练习）从集合M=中去掉所有3的倍数和5的倍数，则剩下的元素个数为 【答案】1078 【分析】剔除集合中是3的倍数，5的倍数的元素，即可得出结果. 【详解】集合M中，3的倍数有个，5的倍数有个，15的倍数有个， 则剩下的元素个数为个. 故答案为：1078. 5．（22-23高一上·山东聊城·期中）求实数a的值. (1)已知,,求实数a的值; (2)已知集合,若集合A有两个子集,求实数a的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】(1)根据分情况讨论,或,分别求出a的值,代入集合中检验即可; (2) 集合A有两个子集,说明集合A中有一个元素,分两种情况讨论即可. 【详解】（1）解:由题知因为,故, 又因为, 则或, ①当时,即, 此时, 集合A中的元素不满足互异性, 故舍; ②当时,即, 解得或（舍）, 此时,, 集合A中的元素满足互异性, 综上所述,; （2）由题因为集合有两个子集, 所以集合A中有一个元素, ①当时,,集合A有两个子集,符合题意; ②当时,, 即, 此时,集合A有两个子集,符合题意; 综上所述,或. 1．（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）设集合，则集合A的真子集个数为（    ） A．7个 B．8个 C．16个 D．15个 【答案】D 【分析】列举出集合A的所有元素，由n元集合的真子集个数为可得. 【详解】由和可得， 所以集合A的真子集个数为个. 故选：D 2．（2024·湖南衡阳·三模）已知集合，，若，则实数的值为（    ） A． B．0 C． D．2 【答案】D 【分析】由，让集合与中的元素完全相同，即可列式求解. 【详解】由题意，，， 故选：D. 3．（2024·全国·模拟预测）已知集合，若，则的值可以为（    ） A．1 B．0 C．0或1 D．1或2 【答案】A 【分析】根据互异性可知且，求出集合A，然后根据包含关系求解即可. 【详解】对于集合，由元素的互异性知且，则． 由得． 若，则，满足； 若，则，矛盾，舍去． 故选：A 4．（2024·四川成都·三模）已知集合 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查集合间的包含关系，根据题意，分析集合之间的关系，进而作出判断即可. 【详解】因为， 所以， 即， 故选项D正确，选项A、B、C错误. 故选：D. 5．（2024·四川德阳·三模）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系求解即得. 【详解】集合，，又，则， 所以实数a的取值范围是. 故选：B 6．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）已知集合，，若，则 . 【答案】 【分析】根据集合相等求得，从而求得正确答案. 【详解】依题意可知，由于， 所以，此时， 所以，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. 7．（2024·重庆·三模）已知集合，，则满足B的集合的个数为 . 【答案】7 【分析】化简集合，结合求集合的子集的结论求结果. 【详解】集合，， 满足B的集合中必有元素2，3， 所以求满足B的集合的个数即求集合的真子集个数， 所以满足B的集合的个数为个. 故答案为：7. 8．（2024·山东·二模）已知集合，若，则实数的值为 ． 【答案】1或2 【分析】由题意可得，由此可求出的值，代入检验即可得出答案. 【详解】因为集合，若， 所以，所以或或或，或或或或， 解得：或或或或或或或， 当时，，不满足； 当时，，满足； 当时，，满足； 当时，，不满足； 当时，，不满足； 当时，，不满足； 当时，，不满足； 当时，，不满足； 综上：实数的值为1或2. 故答案为：1或2. 9．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知集合，．若，则实数的取值集合为 ． 【答案】 【分析】 根据，得到集合的元素都是集合的元素，即可求得的值. 【详解】由题意，所以或，则或， 所以实数的取值集合为. 故答案为：. 10．（2024高三·全国·专题练习）已知集合，，则满足的集合的个数为 . 【答案】7 【分析】化简集合，结合求集合的子集的结论即可求得结果. 【详解】因为， ， 所以满足的集合中必有元素2，3， 所以求满足的集合的个数，即求集合的真子集个数， 所以满足的集合的个数为个. 故答案为：7. 11．（23-24高一上·全国·专题练习）设，写出集合的子集，并指出其中哪些是它的真子集． 【答案】答案见解析 【分析】 解出集合，按元素个数进行分类写出其子集即可. 【详解】 由，得， 解方程得或或，故集合. 由0个元素构成的子集为； 由1个元素构成的子集为； 由2个元素构成的子集为； 由3个元素构成的子集为, 因此集合A的子集为:，，，． 真子集为:，，. 12．（23-24高一上·河北沧州·期中）已知集合，，若，求实数m的取值范围. 【答案】 【分析】由集合的包含关系，讨论、列不等式求参数范围. 【详解】由， 当，则，满足题设； 当，则； 综上，. 13．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知，，若，求m的值． 【答案】或或 【分析】由，分和两种情况分类讨论，根据几何包含关系可求得参数的值. 【详解】，若则，满足， 若则，则或， 解得或， 所以或或. 14．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根. (1)若，求出实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据得到，结合方程的两根得到方程，求出； （2），故，结合方程的两根得到不等式，求出. 【详解】（1）因为，故， 又的两根分别为， 故， 故； （2）因为，故， 又的两根分别为， 故，解得， 故实数的取值范围是. 15．（23-24高一上·广东佛山·期末）设集合 (1)若，试判断集合与的关系； (2)若，求的值组成的集合． 【答案】(1)，是的真子集； (2)． 【分析】（1）当时求出集合A与B，再判断关系； （2）求出集合B，注意对与分类讨论，根据，列方程求解． 【详解】（1） 当时，， 所以B是A的真子集． （2）． 若，则，是真子集成立； 若，则，因为是A真子集， 或，所以或． 所以的值组成的集合． 学科网（北京）股份有限公司 $$