预习课第07讲 全等三角形的判定方法—AAS、HL -2024年新八年级暑假数学专题化复习与重点化预习（人教版）

第07讲 全等三角形的判定方法—AAS、HL 1.掌握全等三角形的判断方法—AAS，HL，并理解它们的证明过程； 2.会利用AAS，HL证明两个三角形全等. 全等三角形的判定 ①两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形确全等(简称“角角边”或“”)； ②斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简称“斜边直角边”或“”). 【题型一】 利用判定两个三角形全等 相关知识点讲解 (1)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形确全等(简称“角角边”或“”)。 在和中，，，，求证 证明： 在中，，， 同理， 又，，， 在和中 . 即两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. 也就是说，三角形两个角的大小和其中一个角的对边的长度确定了，这个三角形的形状、大小也就确定了. (2)全等三角形的判断方法和，说明两个三角形若有两个角和一条边相等，两个三角形就全等了. 【典题1】 如图，已知，，，，若，，则的长为(    ) A．8 B．7 C．6 D．5 【典题2】如图，在中，，，是角平分线，与相交于点，，，垂足分别为M，N． (1)求的度数；(2)求证：． 变式练习 1. 如图，D是上一点，交于点E．．．若．．则的长是(    ) A． B．2 C． D．3 2.如图，在中，，，于点E，于点D，，，则的长为(   ) A．0.85 B．0.8 C．1.25 D．1.0 3.如图，在中，，点在边上，，交于点．若点是边的中点，，，则四边形的面积等于(    )    A．12 B．14 C．24 D．48 4.如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是 ．    5.如图，在中，，将沿射线的方向平移至，连接，设与的交点为． (1)若为的中点，求证：； (2)若平分，求的度数． 6.如图，，的平分线与的平分线相交于E，的延长线交于D． (1)试判断与的位置关系，并说明理由： (2)试判断的数量关系，并说明理由； (3)若，，求四边形的面积． 【题型二】 利用判定两个三角形全等 相关知识点讲解 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简称“斜边直角边”或“”) 证明：已知，，画一个，使得， ，. 画法如下： (1)画， (2)在射线上截取； (3)以点为圆心，为半径画弧，交射线于点； (4)连接. 若把剪下来，放到上，很明显它们会重合，即它们是全等的。 即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 【典题1】 如图，在四边形中，，平分，，，，，则的面积是(    )    A． B．6 C．9 D．12 【典题2】如图，在中， F为延长线上一点，点 E在上，且 ． (1)若 ，求 度数；(2)求证： ；(3)试判断与的位置关系． 变式练习 1. 如图，点是内一点，且点到、的距离相等．则的理由是(   ) A． B． C． D． 2.如图，，，，则的度数为(    ) A． B． C． D． 3.如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是(    　)    A． B． C． D． 4.已知：如图为的高，为上一点，交于且有，． (1)问与的数量和位置关系分别是什么？并说明理由． (2)直接写出的度数． 5.如图所示，在平面直角坐标系中，， (1)点A在x的正半轴运动，点B在y的正半轴上，且， ①求证：： ②求的值； (2)点A在x的正半轴运动，点B在y的负半轴上，且，求的值． 【A组---基础题】 1.如图，点，，，在同一直线上，，，添加一个条件，不能得到的是(    )    A． B． C． D． 2.如图，在和中，点，，在同一条直线上，，，若，，则的长为(    )      A．8 B．6 C．4 D．2 3.如图所示，已知在中，交于点，若，则(　　) A． B． C． D． 4.如图，已知，与交于点，，分别与，交于点，，连接，则下列结论中错误的是(　　) A． B． C． D． 5.如图所示，在平行四边形ABCD中，分别以AB、AD为边作等边△ABE和等边△ADF，分别连接CE，CF和EF，则下列结论，一定成立的个数是(　　) ①△CDF≌△EBC；②△CEF是等边三角形；③∠CDF＝∠EAF；④CE∥DF A．1 B．2 C．3 D．4 6. 如图，点D在上，．若，则 ． 7.如图，轴于点，，，，，则点的坐标是 ． 8.如图所示，工人赵师傅用10块高度都是的相同长方体新型建筑材料，垒了两堵与地面垂直的墙和，其中于点B，于点E，点P在上，已知，．    (1)求证：；(2)求的长． 9.如图，在和中，．连接与交于点与交于点，连接． (1)求证：；(2)求证：；(3)求证：平分． 【B组---提高题】 1.(1)如图，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、证明：． (2)如图，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，求证：是的中点． 2.在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 全等三角形的判定方法—AAS、HL 1.掌握全等三角形的判断方法—AAS，HL，并理解它们的证明过程； 2.会利用AAS，HL证明两个三角形全等. 全等三角形的判定 ①两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形确全等(简称“角角边”或“”)； ②斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简称“斜边直角边”或“”). 【题型一】 利用判定两个三角形全等 相关知识点讲解 (1)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形确全等(简称“角角边”或“”)。 在和中，，，，求证 证明： 在中，， ， 同理， 又，， ， 在和中， . 即两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. 也就是说，三角形两个角的大小和其中一个角的对边的长度确定了，这个三角形的形状、大小也就确定了. (2)全等三角形的判断方法和，说明两个三角形若有两个角和一条边相等，两个三角形就全等了. 【典题1】 如图，已知，，，，若，，则的长为(    ) A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，由直角三角形的性质证出，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 又， ， ， ． 故选：A． 【典题2】如图，在中，，，是角平分线，与相交于点，，，垂足分别为M，N． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1)的度数为； (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义和三角形内角和定理． (1)根据角平分线的定义和三角形内角和定理即可解决问题； (2)连接，证明，即可解决问题． 【详解】(1)解：在中，，， ， 、分别是、的平分线， ，， ， ， ∴的度数为； (2)证明：如图，连接， 是角平分线交点， 也是角平分线， ，， 在中，，， ， ， ， ，， ， ， ． 变式练习 1. 如图，D是上一点，交于点E．．．若．．则的长是(    ) A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，能判定是解此题的关键，解题时注意运用全等三角形的对应边相等，对应角相等． 根据平行线的性质，得出，根据全等三角形的判定，得出，根据全等三角形的性质，得出，根据，即可求线段的长． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 2.如图，在中，，，于点E，于点D，，，则的长为(   ) A．0.85 B．0.8 C．1.25 D．1.0 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．先利用证明，可得出，，求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴，， 又，， ∴． 故选：B． 3.如图，在中，，点在边上，，交于点．若点是边的中点，，，则四边形的面积等于(    )    A．12 B．14 C．24 D．48 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识．由，，，求得，由，得，而，，即可根据“”证明，则，即可推导出，于是得到问题的答案． 【详解】解：，，， ， ∵， ， 点是边的中点， ， 在和中， ， ， ， ∴， 故选：C． 4.如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是 ．    【答案】 【分析】作轴于点, 作轴于点,先证明,然后即可得到, 然后再根据点的坐标为, 点的坐标为, 即可得到点的坐标. 【详解】解：作轴于点, 作轴于点, 如图所示，    则， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ， ∵点的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∴， ∴ ， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、坐标与图形的性质、等腰直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答. 5.如图，在中，，将沿射线的方向平移至，连接，设与的交点为． (1)若为的中点，求证：； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查几何变换，平移的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握和理解这些性质进行推理是解题的关键． (1)根据平移性质得到，，从而得到，再根据为的中点，得到，从而证明全等； (2)根据平分，得到，从而证明． 再根据三角形内角和定理以及，即可求解； 【详解】(1)解：由沿射线的方向平移所得 ，， ， 为的中点， ， ． 在和中 ， ； (2)平分， ， 又， ． ，， ． 6.如图，，的平分线与的平分线相交于E，的延长线交于D． (1)试判断与的位置关系，并说明理由： (2)试判断的数量关系，并说明理由； (3)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】此题主要考查的是全等三角形的判定和性质，同时还涉及了角平分线定义、平行线的性质，正确地构造出全等三角形是解答此题的关键． (1)利用角平分线的定义，结合平行线的性质即可证明； (2)延长，交延长线于点，通过证明，得到、，再证明，得到，即可求解； (3)由(2)可得四边形的面积，就是的面积，求解即可． 【详解】(1)解：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； ∴ ∴； (2)解：，理由如下： 延长，交延长线于点，如下图： 由(1)得， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； (3)解：∵， ∴ ∴四边形的面积等于的面积， 由(1)可得， ∴， ∴． 【题型二】 利用判定两个三角形全等 相关知识点讲解 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简称“斜边直角边”或“”) 证明：已知，，画一个，使得， ，. 画法如下： (1)画， (2)在射线上截取； (3)以点为圆心，为半径画弧，交射线于点； (4)连接. 若把剪下来，放到上，很明显它们会重合，即它们是全等的。 即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 【典题1】 如图，在四边形中，，平分，，，，，则的面积是(    )    A． B．6 C．9 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义和三角形的面积，利用全等三角形的性质求出是解此题的关键．可以过D作，交的延长线于F，证明得出，，再证明，得出，求出，求出的面积即可． 【详解】解：过D作，交的延长线于F，    ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴ ∴的面积为， 故选：A． 【典题2】如图，在中， F为延长线上一点，点 E在上，且 ． (1)若 ，求 度数； (2)求证： ； (3)试判断与的位置关系． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，解题的关键是明确题意，找出所要证明结论需要的条件． (1)根据在中，，F为延长线上一点，点E在上，且，可以得到和全等，根据全等三角形的性质，进行求解即可； (2)根据，可以得到，然后即可转化为的关系，从而可以证明所要证明的结论； (3)根据，，，结合，即可作答． 【详解】(1)解：∵， ∴， 在和中， ， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． (2)证明：∵， ∴， ∵， ∴． (3)解：，过程如下： 延长交于一点H，如图 ∵， ∴， 由(1)知， ∴， ∴. 变式练习 1. 如图，点是内一点，且点到、的距离相等．则的理由是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据，，即可利用证明，据此可得答案． 【详解】解：∵点到、的距离相等， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 2.如图，，，，则的度数为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两个锐角互余，先根据证明得，进而可求出的度数． 【详解】解：在和中 ， ∴， ∴， ∴． 故选C． 3.如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是(    　)    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查直角三角形的全等判定与性质，首先证明，又由，，得出，，进而得出答案． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴ 又∵，， ∴，， ∴． 故选B 4.已知：如图为的高，为上一点，交于且有，． (1)问与的数量和位置关系分别是什么？并说明理由． (2)直接写出的度数． 【答案】(1)，，见解析 (2) 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明是解题的关键． (1)由已知得，由，，，根据“”证明，得，所以，则； (2)由全等三角形的性质得，而，所以． 【详解】(1)，， 理由：由已知得， 为的高， 于点， ， 在和中， ， ， ， ， ． (2)的度数是， 理由：由(1)得， ， ， ． 5.如图所示，在平面直角坐标系中，， (1)点A在x的正半轴运动，点B在y的正半轴上，且， ①求证：： ②求的值； (2)点A在x的正半轴运动，点B在y的负半轴上，且，求的值． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． (1)①过点P作轴于E，作轴于F，根据点P的坐标可得，然后利用“HL”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再根据垂直的定义证明； ②根据全等三角形对应边相等可得，再表示出、，然后列出方程整理即可得解； (2)根据全等三角形对应边相等可得，再表示出、，然后列出方程整理即可得解． 【详解】(1)①证明：如图，过点P作轴于E，作轴于F， ∴， ∵， ∴， 在和， ， ∴， ∴， ∴， ∴； ②解：∵， ∴， ∵， ∴； (2)解：如图，过点P作轴于E，作轴于F， 同理得， ∴， ∵， ∴， ∴． 【A组---基础题】 1.如图，点，，，在同一直线上，，，添加一个条件，不能得到的是(    )    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定方法逐个进行分析判断． 【详解】解：∵， ∴ A.由，，，利用AAS定理可判定，故此选项不符合题意； B.∵， ∴，即， 由，，，利用SAS定理可判定，故此选项不符合题意； C.由，，，利用ASA定理可判定，故此选项不符合题意；     D.由，，，SSA定理不能判定，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键． 2.如图，在和中，点，，在同一条直线上，，，若，，则的长为(    )      A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，根据三角形内角和定理，证明，由即可求出结果． 【详解】解：，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 故选：C． 3.如图所示，已知在中，交于点，若，则(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，证明，得到，由三角形外角的性质得到，则． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4.如图，已知，与交于点，，分别与，交于点，，连接，则下列结论中错误的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明，推出，则，可判断选项A、C；再证明，推出，则，利用证明，即可判断选项D，没有理由证明． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，则，故选项A、C正确； ∵， ∴， ∴，则， ∴， ∴，故选项D正确； ∴与不一定相等，故选项B不正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活利用全等三角形的判定是解题的关键． 5.如图所示，在平行四边形ABCD中，分别以AB、AD为边作等边△ABE和等边△ADF，分别连接CE，CF和EF，则下列结论，一定成立的个数是(　　) ①△CDF≌△EBC；②△CEF是等边三角形；③∠CDF＝∠EAF；④CE∥DF A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用“边角边”证明△CDF和△EBC全等，判定①正确；同理求出△CDF和△EAF全等，根据全等三角形对应边相等可得，判定△ECF是等边三角形，判定②正确；利用“8字型”判定③正确；若，则C、F、A三点共线，故④错误；即可得出答案． 【详解】在中，，，， ∵都是等边三角形， ∴，，， ∴，， ∴， ， ∴， 在和中，， ∴，故①正确； 在中，设AE交CD于O，AE交DF于K，如图： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③正确； 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形，故②正确； 则， 若时， 则， ∵， ∴， 则C、F、A三点共线 已知中没有给出C、F、A三点共线，故④错误； 综上所述，正确的结论有①②③． 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质，解题的关键是能通过题目所给的条件以及选用合适的判定三角形全等的方法证明． 6. 如图，点D在上，．若，则 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．证明，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 又∵， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 7.如图，轴于点，，，，，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】由轴于点，得，因为，所以，而，即可根据全等三角形的判定定理“”证明 ，则，，，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：轴于点， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查图形与坐标、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，证明≌是解题的关键． 8.如图所示，工人赵师傅用10块高度都是的相同长方体新型建筑材料，垒了两堵与地面垂直的墙和，其中于点B，于点E，点P在上，已知，．    (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． (1)根据垂直及各角之间的等量代换得出，再由全等三角形的判定即可证明； (2)由题意得：，，再由全等三角形的性质结合图形求解即可． 【详解】(1)证明：由题意得：， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴ 在和中 ， ∴； (2)解：由题意得：，， 由(1)得， ∴，． ∴． 答：的长为． 9.如图，在和中，．连接与交于点与交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：平分． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】(1)先根据角的和的关系得出，再利用SAS得到，进而得出． (2)根据全等三角形的性质可得：，再根据三角内角和定理证得，进而得出，即可证． (3)作，垂足分别为，由得出，再利用AAS得出，进而得出，再由HL得出，进而得出，即平分． 【详解】(1)证明：∵， ∴， 即， 在与中， ∴， ∴． (2)∵， ∴， ∵ ∴， ∵ ∴ (3)作，垂足分别为 ∵ ∴ 在与中，， ∴， ∴， 在Rt与中，， ， ∴， ∴平分． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，直角三角形的全等判定以及性质，三角形内角和定理，以及角平分线的定理以及证明．合理的作出辅助线可以更好的解题． 【B组---提高题】 1.(1)如图，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、证明：． (2)如图，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，求证：是的中点． 【答案】(1)见解析；(2)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，正方形中线段的和差关系，全等三角形的性质与判定． (1)由，，直线，直线，得，，得 ，得，，即可得． (2)由正方形和正方形，是边上的高，同理得 ，得，同理得，得，同理 ，得，即是的中点． 【详解】(1)证明：如图，由，，直线，直线， 得，， 得 ， 得，， 得． (2)证明：如图，由正方形和正方形，是边上的高， 同理得 ，， 得，， ∵， ∴， 得，即是的中点． 2.在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 【答案】(1) (2)的大小不变， (3) 【分析】此题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识． (1)由，得，而，所以，于是得到问题的答案； (2)作交于点F，则，而，即可证明，得，则，所以的大小不改变，； (3)作交于点G，作于点H，可证明，得，由，得，则，由，得，则，所以，即可推导出． 【详解】(1)∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． (2)的大小不改变， 如图①，作交于点F，则，    ∴， 由(1)得， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴的大小不改变，． (3)E， 理由：如图②，作交于点G，作于点H，则    ∴， ∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由(2)得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$