预习课第06讲 全等三角形的判定方法--SAS，ASA-2024年新八年级暑假数学专题化复习与重点化预习（人教版）

第06讲 全等三角形的判定方法--SAS，ASA 1.掌握全等三角形的判断方法—SAS，ASA，并理解它们的证明过程； 2.会利用SAS，ASA证明两个三角形全等. 1全等三角形的判定方法 ① 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“”)； ② 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“”). 【题型一】 利用判定两个三角形全等 相关知识点讲解 (1)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“”)。 证明：已知，画一个，使得，, . 画法如下： (1)画， (2)在射线上截取，在射线上截取； (3)连接. 若把剪下来，放到上，很明显它们会重合，即它们是全等的。 即两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. 也就是说，三角形两条边的长度和它们的夹角的大小确定了，这个三角形的形状、大小也就确定了. (2)运用证明确定，要注意相等的角一定要是两条线段边的夹角. 【典题1】 如图，在和中，，，，，则的长为(    ) A．2 B．3 C．4 D．5 【典题2】如图，已知 连接． (1)求证： ；(2)若 求的度数． 变式练习 1. 如图:，欲证，则可增加的条件是(    )． A． B． C． D． 2.如图，，表示两根长度相同的木条，若是，的中点，经测量，则容器的内径为(    ) A． B． C． D． 3.如图，，，，，，则 ． 4.如图，在长方形中，，点在边上，且．动点在边上，从点出发以的速度向点运动，同时，点在边上，以的速度由点向点运动，若在运动过程中存在与全等的时刻，则的值为 ． 5.如图，点分别在上，． (1)求证：；(2)若，求的度数． 【题型二】 利用判定两个三角形全等 相关知识点讲解 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“”) 证明：已知，画一个，使得， ，. 画法如下： (1)画， (2)在的同侧画，，与相交于点； (3)连接. 若把剪下来，放到上，很明显它们会重合，即它们是全等的。 即两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. 也就是说，三角形两个角的大小和它们的夹边的长度确定了，这个三角形的形状、大小也就确定了. 【典题1】 一块三角形玻璃被摔成如图所示的四块，小江想去买一块形状、大小与原来一样的玻璃，但是他只想带去其中的两块，则这两块玻璃的编号可以是(    ) A．①② B．②④ C．③④ D．①④ 【典题2】如图，是的平分线，于D，连接，若的面积为，则的面积为(   ) A． B． C． D．不能确定 【典题3】如图， 在中， 点在的延长线上，且 过点 作 与的垂线交于点． (1)求证： (2)若 求的长． 变式练习 1. 如图所示，小明试卷上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与试卷原图完全一样的三角形，那么两个三角形完全一样的依据是(　　) A． B． C． D． 2.如图，，点C在上，，，与交于点O，则的度数为(    ) A．71° B．73° C．75° D．77° 3.如图，点是平分线上的一点，，，，则的长不可能是(    ) A． B． C． D． 4.如图，在中，，，的平分线交于点D，，交的延长线于点E，若，则长为(   ) A．2 B．3 C．4 D．5 5.如图，直线a经过的顶点A，分别过B、C两点作于点D，于点E，，，，，则的长为 . 6.如图，已知在中，D是上一点，点F、G都在上，，，连接，分别延长，，且它们相交于点E． (1)求证：； (2)若，点F，G是上的三等分点，，，求的周长． 【A组---基础题】 1.如图，将两根钢条的中点O连在一起，使可以绕着点O自由旋转，则的长等于内槽宽，那么判定的理由是(　　) A． B． C． D． 2.已知是的边上一点，交于点，，，若，，则的长为(　　) A．1 B．3 C．5 D．7 3.如图，AB∥FC，E是DF的中点，若AB＝10，CF＝6，则BD等于(　　) A．6 B．4 C．3 D．2 4.如图，，，，点在线段上以的速度由点A向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．当与全等时，的值是(    ) A．2 B．1或1.5 C．2或3 D．1或2 5.如图，中，，平分，平分，若，则的长为(    ) A． B． C． D． 6.小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块(即图中标有1、2、3、4的四块)，你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第 块． 7.如图，要测量池塘两岸M、N两点间的距离，可以在直线上取A，B两点，再在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，过点再画出的垂线，使点与A，C在一条直线上，若此时测得，，，则池塘两岸M，N两点间的距离为 m． 8.如图，平分，，的延长线交于点，如果，则的度数为 ． 9.如图，点C、E、B、F在一条直线上，，．    (1)求证：． (2)若，求：的长． 10.如图， 中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点H． 求证：(1)；(2)． 【B组---提高题】 1.如图，的面积为，平分，于P，连接，则的面积为(　　) A． B． C． D． 2.如图，动点与线段构成，其边长满足，，．点在的平分线上，且，则的取值范围是 ，的面积的最大值为 ．    3.探究问题： (1)方法探索： 如图①，在正方形中，点E，F分别为边上的点，且满足，连接，求证． 根据所给的辅助线并完成证明． (2)方法拓展： 如图②，在四边形中，，E，F分别为上的点、满足，试猜想当与满足什么关系时，可使得，并证明你的猜想． (3)知识应用： 如图③，在四边形中，E是边上一点，且，则的长度是求AE的长度． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 全等三角形的判定方法--SAS，ASA 1.掌握全等三角形的判断方法—SAS，ASA，并理解它们的证明过程； 2.会利用SAS，ASA证明两个三角形全等. 1全等三角形的判定方法 ① 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“”)； ② 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“”). 【题型一】 利用判定两个三角形全等 相关知识点讲解 (1)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“”)。 证明：已知，画一个，使得，, . 画法如下： (1)画， (2)在射线上截取，在射线上截取； (3)连接. 若把剪下来，放到上，很明显它们会重合，即它们是全等的。 即两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. 也就是说，三角形两条边的长度和它们的夹角的大小确定了，这个三角形的形状、大小也就确定了. (2)运用证明确定，要注意相等的角一定要是两条线段边的夹角. 【典题1】 如图，在和中，，，，，则的长为(    ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键； 根据三角形的外角性质以及题意可得，再利用证明 ，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：，， ， ，， 又， ， 在和中， ， ， ， 故选：C． 【典题2】如图，已知 连接． (1)求证： ； (2)若 求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质； (1)根据题意由，可得，即可求证； (2)由，可得，再由内角和为即可求解． 【详解】(1)证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2)∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 变式练习 1. 如图:，欲证，则可增加的条件是(    )． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 由结合全等三角形的判定定理，即可找出需添加条件，结合图形利用角的计算即可得出添加可证出． 【详解】解：添加， ∵， ∴． 又∵， ∴． 故选：D． 2.如图，，表示两根长度相同的木条，若是，的中点，经测量，则容器的内径为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，利用求得，进而可求解，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解： 是，的中点， ，， 在和中， ， ， ， ， 故选B． 3.如图，，，，，，则 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及外角的性质，根据通过角的计算即可得出，结合，，即可证出，进而即可得出．再根据外角的性质即可得出的度数． 【详解】解：∵，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ． 故答案为：． 4.如图，在长方形中，，点在边上，且．动点在边上，从点出发以的速度向点运动，同时，点在边上，以的速度由点向点运动，若在运动过程中存在与全等的时刻，则的值为 ． 【答案】4或 【分析】本题主要考查三角形全等的判定． 设运动，则，，，由于在长方形中，，因此①当，时，，②当，时，，代入即可求解v的值． 【详解】设运动，则，，， ∵在长方形中，， ∴①当，，即，时，， 解得：， 或当，，即，时，， 解得：，． 综上所述，v的值为4或． 故答案为：4或 5.如图，点分别在上，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、三角形内角和定理，解题的关键是得到． (1)利用即可证明； (2)根据三角形内角和定理求出，然后利用，得，进而利用角的和差即可解决问题． 【详解】(1)证明：在和中， ， ； (2)解：， ， ， ， ， ， 由(1)知：， ， ， ， ． 【题型二】 利用判定两个三角形全等 相关知识点讲解 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“”) 证明：已知，画一个，使得， ，. 画法如下： (1)画， (2)在的同侧画，，与相交于点； (3)连接. 若把剪下来，放到上，很明显它们会重合，即它们是全等的。 即两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. 也就是说，三角形两个角的大小和它们的夹边的长度确定了，这个三角形的形状、大小也就确定了. 【典题1】 一块三角形玻璃被摔成如图所示的四块，小江想去买一块形状、大小与原来一样的玻璃，但是他只想带去其中的两块，则这两块玻璃的编号可以是(    ) A．①② B．②④ C．③④ D．①④ 【答案】A 【分析】 本题考查了全等三角形的应用，学会把实际问题转化为数学问题是解答的关键． ①②两块玻璃是已知两角及其一夹边，可用证明全等来说理． 【详解】解：A、①②两块玻璃是已知两角及其一夹边，可用证明全等，故本选项符合题意； B、②④两块玻璃是已知两角，无法证明全等，故本选项不符合题意； C、③④两块玻璃是已知一角，无法证明全等，故本选项不符合题意； D、①④两块玻璃是已知两角，无法证明全等，故本选项不符合题意． 故选：A． 【典题2】如图，是的平分线，于D，连接，若的面积为，则的面积为(   ) A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】题考查了全等三角形的性质和判定，三角形中线的性质，熟知等底等高的三角形的面积相等是解题的关键．如图所示，延长交于E，根据已知条件证得，根据全等三角形的性质得到，得出，推出，代入求出答案即可． 【详解】解：如图所示，延长交于E， ∵是的平分线，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选A． 【典题3】如图， 在中， 点在的延长线上，且 过点 作 与的垂线交于点． (1)求证： (2)若 求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质， (1)根据等角的余角相等，证明，再根据即可证明； (2)根据全等三角形的性质即可得出，即可求解． 【详解】(1)证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ； (2)解：， 理由：由()证得，， ，， ， ． ， ． 变式练习 1. 如图所示，小明试卷上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与试卷原图完全一样的三角形，那么两个三角形完全一样的依据是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．结合题意，利用“角边角”定理可作出完全一样的三角形，即可确定答案． 【详解】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形． 故选：A． 2.如图，，点C在上，，，与交于点O，则的度数为(    ) A．71° B．73° C．75° D．77° 【答案】B 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的性质求出是解题的关键．根据三角形内角和定理推出根据等量代换及角的和差求出利用证明，根据全等三角形的性质得出再根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 在和中， ， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， 故选：B． 3.如图，点是平分线上的一点，，，，则的长不可能是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作交于点，使得，得，再根据的三边的关系即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作交于点，使得， ∵是的平分线， ∴，是公共边，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴在中，，即， ∴的长不可能是， 故选：． 【点睛】本题主要考查三角形的三边关系，构造全等三角形是解题的关键． 4.如图，在中，，，的平分线交于点D，，交的延长线于点E，若，则长为(   ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，作辅助线构造全等三角形是解题关键．延长、交于点，先证明，得到，再证明，得到，即可求出长． 【详解】解：如图，延长、交于点， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 故选：C． 5.如图，直线a经过的顶点A，分别过B、C两点作于点D，于点E，，，，，则的长为 . 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，平行线的判定和性质． 延长交直线a于F，根据已知条件得到，根据平行线的性质得到，推出，证明，根据全等三角形的性质得到，根据即可得到结论． 【详解】解：延长交直线a于F， 于点D，于点E， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ． 故答案为：． 6.如图，已知在中，D是上一点，点F、G都在上，，，连接，分别延长，，且它们相交于点E． (1)求证：； (2)若，点F，G是上的三等分点，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握相关知识点并灵活运用所学知识是解题的关键． (1)利用平行线性质可得，即可根据证明； (2)根据全等三角形的性质可得，再利用平行线性质及等腰三角形的性质可推出，则可求得，由点，是上的三等分点得，即可求得结论． 【详解】(1)证明：∵， ∴ 在和中， ∴． (2)解：∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵点，是上的三等分点，， ∴， ∴的周长 【A组---基础题】 1.如图，将两根钢条的中点O连在一起，使可以绕着点O自由旋转，则的长等于内槽宽，那么判定的理由是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知O是的中点，再加上对顶角相等即可证明，利用证明全等．本题考查了三角形全等的判定方法，认真观察图形，选择合适的方法是解此题的关键． 【详解】解：∵将两根钢条的中点O连在一起， ∴， 在和中， ， ∴ ， 故选：B． 2.已知是的边上一点，交于点，，，若，，则的长为(　　) A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【分析】利用ASA证明和全等，进而得出，即可求出的长． 【详解】解：， ． ，， (ASA)． ． 又， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质；利用全等三角形来得出简单的线段相等是解此类题的常用方法． 3.如图，AB∥FC，E是DF的中点，若AB＝10，CF＝6，则BD等于(　　) A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据平行的性质求得内错角相等，已知对顶角相等，又知E是DF的中点，所以根据ASA得出△ADE≌△CFE，从而得出AD＝CF，已知AB，CF的长，那么BD的长就不难求出． 【详解】∵AB∥FC， ∴∠ADE＝∠F， ∵E是DF的中点， ∴DE＝EF， 在△ADE和△CFE中，， ∴△ADE≌△CFE(ASA)， ∴AD＝CF＝6， ∴BD＝AB﹣AD＝10﹣6＝4， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，判定两个三角形全等是解题的关键． 4.如图，，，，点在线段上以的速度由点A向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．当与全等时，的值是(    ) A．2 B．1或1.5 C．2或3 D．1或2 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 根据题意得，，则，由于，根据全等三角形的判定方法，当，时可判断，即，；当，时可判断，即，，然后分别求出对应的的值即可． 【详解】解：根据题意得，，，则， ， 当，时，， 即，， 解得：，； 当，时，， 即，， 解得：，， 综上所述，当与全等时，的值是2或3． 故选：C． 5.如图，中，，平分，平分，若，则的长为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查三角形的内角和定理及全等三角形的判定及性质，设，交于点，作平分，可求得，继而可得，结合角平分线可证明，，再利用全等三角形的性质即可求解，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 【详解】解：设，交于点，作平分， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， 则， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴，同理， ∴，， ∴， 故选：C． 6.小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块(即图中标有1、2、3、4的四块)，你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第 块． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质：先根据标有1、2、3、4的四块玻璃与原三角形的玻璃的联系，结合这五种判定方法，即可作答． 【详解】解：标有1的玻璃与原三角形的玻璃没有任何角相等，也没有任何边相等，故不带标有1的玻璃去； 标有2的玻璃与原三角形的玻璃有两个角相等，也有夹边相等，即，故带标有2的玻璃去； 标有3的玻璃与原三角形的玻璃没有任何角相等，也没有任何边相等，故不带标有3的玻璃去； 标有4的玻璃与原三角形的玻璃有一个角相等，但没有任何边相等，故不带标有4的玻璃去； 故答案为：2 7.如图，要测量池塘两岸M、N两点间的距离，可以在直线上取A，B两点，再在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，过点再画出的垂线，使点与A，C在一条直线上，若此时测得，，，则池塘两岸M，N两点间的距离为 m． 【答案】14 【分析】本题考查了全等三角形的应用，利用全等三角形的判定定理证出是解题的关键．由垂线的定义可得出，结合，，即可证出，利用全等三角形的性质可得出． 【详解】解：， ． 在和中， ∴， ， ， ， 故答案为：14． 8.如图，平分，，的延长线交于点，如果，则的度数为 ． 【答案】/84度 【分析】本题考查了全等三角形的性质及判定，角平分线的性质，灵活运用全等三角形的性质及判定是解题的关键． 利用全等三角形的判定方法证出，再通过角的等量代换求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9.如图，点C、E、B、F在一条直线上，，．    (1)求证：． (2)若，求：的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质． (1)根据，得到，由，利用即可证明，根据即可得出结论； (2)由(1)知，根据即可得出结果． 【详解】(1)证明： ， ， 在与中，， ， ， ， ； (2)解：由(1)知， ， ． 10.如图， 中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点H． 求证：(1)；(2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是证明线段相等的重要手段． ①首先计算出，进而得到，然后再计算出，然后证明可得； ②首先证明，然后证明，进而得到，再利用等量代换可得结论． 【详解】(1)证明：， ， 又、分别平分、， ， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ． (2)证明：， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ． 【B组---提高题】 1.如图，的面积为，平分，于P，连接，则的面积为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，三角形中线的性质，根据已知条件证明，根据全等三角形的性质可得，得出，，推出，代入求值即可． 【详解】解：延长交于点E， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故选：D． 2.如图，动点与线段构成，其边长满足，，．点在的平分线上，且，则的取值范围是 ，的面积的最大值为 ．    【答案】 【分析】在中，由三角形三边关系“在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”可知，代入数值即可确定的取值范围；延长交于点，首先利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，进而可求得，结合三角形中线的性质易知，确定面积的最大值，即可获得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， 解得； 如下图，延长交于点，      ∵为的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时，的面积取最大值， 即， ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了三角形三边关系、解一元一次不等式、角平分线、全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键． 3.探究问题： (1)方法探索： 如图①，在正方形中，点E，F分别为边上的点，且满足，连接，求证． 根据所给的辅助线并完成证明． (2)方法拓展： 如图②，在四边形中，，E，F分别为上的点、满足，试猜想当与满足什么关系时，可使得，并证明你的猜想． (3)知识应用： 如图③，在四边形中，E是边上一点，且，则的长度是求AE的长度． 【答案】(1)见解析； (2)当时，结论成立； (3)的长度为． 【分析】(1)延长CB到点G使BG=DE连接AG，即可证明△ADEΔABG，可得AE=AG，再证明 ，可得EF=FG，即可解题； (2)延长CB到点G使BG=DE连接AG，即可证明△ABGΔADE，可得AE=AG，再证明 ，可得EF=FG，即可解题； (3)过点C作交AD的延长线于点G，利用勾股定理求得． 【详解】(1)证明：如图①中，延长CB到点G，使BG=DE，连接AG， 四边形ABCD是正方形， AD=AB，， 在△ADE和△ABG中， ， ∴△ADEΔABG(SAS)， AE=AG，， ， ， 在△AEF和GAF中， ， ∴△AEF△AGF(SAS)， ∴EF=FG， FG=BG+BF=DE+BF， ∴EF=DE+BF． (2)当时，结论 EF=DE+BF成立． 理由：如下图，延长CB到点G使BG=DE连接AG， ，， ， 在△ADE和△ABG中， ， △ADE △ABG(SAS)， ， ， ， 在中， ， ∴△AEFΔAGF(SAS)， ， ， ． (3)如下图中，过点C作，交AD的延长线于点G， 由(1)知：DE=DG+BE， 设BE=x，则AE=5-x，DE=x+1， 在Rt△ADE中，由勾股定理得： ， ， 解得， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定结合求解的综合题，考查学生综合运用数学知识的能力，解决问题的关键是在直角三角形中运用勾股定理列方程求解． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$