预习课第05讲 全等三角形的性质及sss证全等 -2024年新八年级暑假数学专题化复习与重点化预习（人教版）

第05讲 全等三角形的性质及sss证全等 1.理解全等三角形的概念； 2.掌握全等三角形的性质； 3.掌握全等三角形的判断方法1---SSS. 1 全等三角形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形；能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形; 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等. 2 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 3 全等三角形的判定 三边对应相等的两个三角形确全等(简称“边边边”或“”). 【题型一】 全等形和全等三角形的概念 相关知识点讲解 (1)概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形；能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形; 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等; (2)把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角. 如下图，三角形和全等，记作，读作全等于，点和点，点B和点，点和点是对应顶点；和，和，和是对应边；和，和，和是对应角. 【典题1】 下列几组图形中是全等形的是(    ) A． B． C． D． 【典题2】下列说法中正确的是(    ) A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形的面积相等 C．全等三角形是指面积相等的两个三角形 D．等边三角形都全等 变式练习 1. 下列各选项中的两个图形属于全等图形的是(    ) A． B． C． D． 2.下列说法中正确的是(    )． A．形状相同的两个图形一定全等 B．两个长方形是全等图形 C．两个正方形一定是全等图形 D．两个全等图形面积一定相等 3.说法中正确的是(    ) A．全等三角形是指形状相同的两个三角形B．全等三角形是指面积相等的两个三角形 C．两个等边三角形是全等三角形 D．周长相等的两个三角形不一定全等 【题型二】 全等三角形的性质 相关知识点讲解 全等三角形的对应边相等，对应角相等. (1)若，则两个三角形的对应边相等，对应角相等. (2) 在利用全等三角形的性质时，要确定好对应边和对应角，不能想当然. 若与是对应边，则，显然由此可得它们的对角与是对应角，则. 【典题1】如图，已知，与交于点C，与交于点D，则下列说法错误的是(　　) A． B． C． D． 变式练习 1.如图，，如果，，那么度数是(    ) A． B． C． D． 2.如图，，点在上，与相交于点．则的周长为(    ) A．15 B．16 C．17 D．12 3.如图，已知点在上，点在上，，且，若，则(　　)    A． B． C． D． 4.如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到的位置，，，平移距离为6，则阴影部分面积为 ． 【题型三】 全等三角形的判定方法1——SSS 相关知识点讲解 (1)三边对应相等的两个三角形全等(简称“边边边”或“”). 证明：已知，画一个，使得，, . 画法如下： (1)画， (2)分别以点为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点； (3)连接线段，. 若把剪下来，放到上，很明显它们会重合，即它们是全等的。 即三边对应相等的两个三角形全等. (2)我们曾经做过这样的实验：将三根木条订成一个三角形木架，这个三角形的木架的形状、大小就不变了. 也就是说，三角形三条边确定了，这个三角形的形状、大小也就确定了. 【典题1】 已知：。 【典题2】如图所示，，，，是上两点，且． (1)试说明； (2)请你判断与的位置关系，并说明理由． 变式练习 1.某中学数学兴趣小组的同学在学习了三角形相关知识后，尝试了制作雨伞的实践活动．康康所在的小组设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得，E，F分别是，的中点，且，那么的依据是(    ) A． B． C． D． 2.工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图所示，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线即是的平分线．这种作法的道理是(　　) A． B． C． D． 3.如图，，，，，，则(    )    A． B． C． D． 4.如图，AD＝BC，AE＝CF．E、F是BD上两点，BE＝DF，∠AEB＝100°，∠ADB＝30°，则∠BCF的度数为(    ) A．30° B．60° C．70° D．80° 5.如图，点D在线段BC，若，且BC=DE，AC=DC，AB=EC，则下列角中，大小为的角是(　　) A．∠FDC B．∠ABC C．∠EFC D．∠DFC 6.如图，点A，E，F，C在同一条直线上，AB=CD，BF=DE，AE=CF．求证：．    7.如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，，．    (1)求证：． (2)若，求的度数． 【A组---基础题】 1.下列说法中，正确的是(    ) A．面积相等的两个图形是全等图形 B．形状相等的两个图形是全等图形 C．周长相等的两个图形是全等图形 D．能够完全重合的两个图形是全等图形 2.如图，，B、C、D在同一直线上，且，，则BD长(    ) A．12 B．14 C．16 D．18 3.如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是(    ) A． B． C． D． 4.如图，在 和 中 ，，， 在不添加任何辅助线的条件下， 可判断，  判断这两个三角形全等的依据是(    ) A． B． C． D． 5.如图，在四边形ABDE中，，，点C是边BD上一点，，，．下列结论：①；②；③四边形的面积是；④；其中正确的结论个数是(     )    A．4 B．3 C．2 D．1 6.如图，．如果，，那么中边的长是    7.如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AB = CD，AE = DF，CE= BF．若∠A=55°，∠E=84°，则∠DBF的大小为 8.如图， ，，交于点F，则的度数是 °． 9.如图，已知△，、、在同一直线上，试探究当时，与的位置关系，并证明． 10.如图，点A、B、C、D在同一直线上，AM=CN，BM=DN，AC=BD．求证：BM//DN. 【B组---提高题】 1.如图，AD＝CB，E，F是AC上两动点，且有DE＝BF (1)若E，F运动如图①所示的位置，且有AF＝CE，求证：△ADE≌△CBF； (2)若E，F运动如图②所示的位置，仍有AF＝CE，那么△ADE≌△CBF还成立吗？为什么？ (3)若E，F不重合，AD和CB平行吗？说明理由． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 全等三角形的性质及sss证全等 1.理解全等三角形的概念； 2.掌握全等三角形的性质； 3.掌握全等三角形的判断方法1---SSS. 1 全等三角形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形；能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形; 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等. 2 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 3 全等三角形的判定 三边对应相等的两个三角形确全等(简称“边边边”或“”). 【题型一】 全等形和全等三角形的概念 相关知识点讲解 (1)概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形；能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形; 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等; (2)把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角. 如下图，三角形和全等，记作，读作全等于，点和点，点B和点，点和点是对应顶点；和，和，和是对应边；和，和，和是对应角. 【典题1】 下列几组图形中是全等形的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等形，根据全等形的定义即可求解，熟练掌握“能够完全重合的图形叫作全等图形”是解题的关键． 【详解】解：根据全等形的定义得：C选项是全等形， 故选C． 【典题2】下列说法中正确的是(    ) A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形的面积相等 C．全等三角形是指面积相等的两个三角形 D．等边三角形都全等 【答案】B 【分析】 本题考查的是全等三角形的定义和性质，掌握全等形的概念、全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的定义和性质判断即可． 【详解】解：A、全等三角形是指形状和大小相同的两个三角形，该选项错误； B、全等三角形的面积相等，该选项正确； C、面积相等的两个三角形不一定都是全等三角形，该选项错误； D、等边三角形不一定都是全等三角形，该选项错误． 故选：B． 变式练习 1. 下列各选项中的两个图形属于全等图形的是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等图形的识别，能够完全重合的平面图形，即形状、大小相同的图形是全等图形，据此即可求解． 【详解】解：由全等图形的定义可知，B为全等图形， 故选：B ． 2.下列说法中正确的是(    )． A．形状相同的两个图形一定全等 B．两个长方形是全等图形 C．两个正方形一定是全等图形 D．两个全等图形面积一定相等 【答案】D 【分析】此题主要考查了全等图形和全等图形的性质．直接利用全等图形以及全等图形的性质判断得出答案． 【详解】解：A、形状相同、大小相等的两个图形一定全等，故本选项不符合题意； B、两个长方形不一定是全等图形，故本选项不符合题意； C、两个正方形不一定是全等图形，故本选项不符合题意； D、两个全等图形面积一定相等，故本选项符合题意； 故选：D． 3.说法中正确的是(    ) A．全等三角形是指形状相同的两个三角形B．全等三角形是指面积相等的两个三角形 C．两个等边三角形是全等三角形 D．周长相等的两个三角形不一定全等 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的概念，根据能够完全重合的两个三角形是全等三角形，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：形状相同的两个三角形若其大小不相等就不是全等三角形，故选项A错误； 面积相等的两个三角形形状不一定相同，不一定是全等三角形，故选项B错误； 两个等边三角形，形状相同，边长不一定相等，不一定能完全重合，不一定是全等三角形，故选项C错误． 长相等的两个三角形不一定全等，故选项D正确； 故选D． 【题型二】 全等三角形的性质 相关知识点讲解 全等三角形的对应边相等，对应角相等. (1)若，则两个三角形的对应边相等，对应角相等. (2) 在利用全等三角形的性质时，要确定好对应边和对应角，不能想当然. 若与是对应边，则，显然由此可得它们的对角与是对应角，则. 【典题1】如图，已知，与交于点C，与交于点D，则下列说法错误的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理．根据全等三角形的性质，可得，，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，，故A、C选项正确，不符合题意；B选项错误，符合题意； ∵， ∴，故D选项正确，不符合题意； 故选：B 变式练习 1.如图，，如果，，那么度数是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，由全等三角形的性质可得出，，由角的和差关系即可得出，即可求出答案． 【详解】解：∵ ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2.如图，，点在上，与相交于点．则的周长为(    ) A．15 B．16 C．17 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据得到，根据周长为，选择即可． 【详解】∵，， ∴， ∴， 故选A． 3.如图，已知点在上，点在上，，且，若，则(　　)    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质和三角形的内角和定理，根据全等三角形的性质，，，又，，得到，在中根据内角和定理求解，熟练掌握全等三角形的性质及三角形内角和定理，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解： ， ，， ， ， ， ， 在中，由三角形内角和定理可得， ，，， ， 故选：C． 4.如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到的位置，，，平移距离为6，则阴影部分面积为 ． 【答案】51 【分析】本题考查的是全等三角形的性质、平移的性质，掌握全等形的面积相等是解题的关键．根据平移的性质分别求出、，根据题意求出，根据全等三角形的性质、梯形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：由平移的性质知，，， ， ， ， ， 故答案为：51． 【题型三】 全等三角形的判定方法1——SSS 相关知识点讲解 (1)三边对应相等的两个三角形全等(简称“边边边”或“”). 证明：已知，画一个，使得，, . 画法如下： (1)画， (2)分别以点为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点； (3)连接线段，. 若把剪下来，放到上，很明显它们会重合，即它们是全等的。 即三边对应相等的两个三角形全等. (2)我们曾经做过这样的实验：将三根木条订成一个三角形木架，这个三角形的木架的形状、大小就不变了. 也就是说，三角形三条边确定了，这个三角形的形状、大小也就确定了. 【典题1】 已知：。 作法 (1)如下图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别角、于点，； (2) 【典题2】如图所示，，，，是上两点，且． (1)试说明； (2)请你判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． (1)先证明，然后结合已知条件即可证明； (2)根据，得出，根据内错角相等，两直线平行即可得证． 【详解】(1)证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴； (2)证明：，理由如下， ∵， ∴， ∴． 变式练习 1. 某中学数学兴趣小组的同学在学习了三角形相关知识后，尝试了制作雨伞的实践活动．康康所在的小组设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得，E，F分别是，的中点，且，那么的依据是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．由E，F分别是，的中点，得出；根据三边对应相等，证明三角形全等即可． 【详解】解：∵E，F分别是的中点，， ∴， 在与中， ， ∴． 故选：D． 2.工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图所示，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线即是的平分线．这种作法的道理是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题考查了全等三角形的判定及性质．要熟练掌握确定三角形的判定方法，利用数学知识解决实际问题是一种重要的能力，要注意培养．由三边相等得，即由判定三角全等．做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证． 【详解】 解：由图可知，， 在和中， ， ， ， 即即是的平分线． 故选：B 3.如图，，，，，，则(    )    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键，先证明得到，然后求得即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ． 故选：B． 4.如图，AD＝BC，AE＝CF．E、F是BD上两点，BE＝DF，∠AEB＝100°，∠ADB＝30°，则∠BCF的度数为(    ) A．30° B．60° C．70° D．80° 【答案】C 【分析】由SSS证明△AED≌△CFB，得到∠BCF＝∠DAE，利用三角形的外角的性质得∠DAE＝∠AEB −∠ADB＝70°． 【详解】解：∵BE＝DF， ∴BE+EF＝DF+EF， ∴BF=DE 又∵AD＝BC，AE＝CF． ∴△AED≌△CFB(SSS)， ∴∠BCF＝∠DAE， ∵∠DAE＝∠AEB −∠ADB＝100°-30°=70° ∴∠BCF＝70°． 故选C． 【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和等知识． 5.如图，点D在线段BC，若，且BC=DE，AC=DC，AB=EC，则下列角中，大小为的角是(　　) A．∠FDC B．∠ABC C．∠EFC D．∠DFC 【答案】A 【分析】证明(SSS)，推出∠B=∠E，∠ACB=∠EDC，因为推出，再利用三角形外角的性质，即可解决问题． 【详解】解：在△ABC和△CED中， (SSS)， ∴∠B=∠E，∠ACB=∠EDC ∴ ∵∠EFC=∠FDC+∠FCD=2∠FDC， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 6.如图，点A，E，F，C在同一条直线上，AB=CD，BF=DE，AE=CF．    求证：． 【答案】见解析 【分析】要证明，把两角置于三角形中，证两三角形全等，由已知观察由AE=CF可得 AF=CE，利用三边对应相等的判定即可． 【详解】证明： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查三角形全等的证明问题，关键是会从条件AE=CF中，证出AF=CE，掌握全等的证明方法，会按要求书写证明过程． 7.如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，，．    (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2)125° 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． (1)由“SSS”可证； (2)由全等三角形的性质可得，即可求解． 【详解】(1)证明：∵， ∴， ∴； 在和中， ， ∴； (2)解：由(1)可知：， ∴， ∵， ∴． 【A组---基础题】 1.下列说法中，正确的是(    ) A．面积相等的两个图形是全等图形 B．形状相等的两个图形是全等图形 C．周长相等的两个图形是全等图形 D．能够完全重合的两个图形是全等图形 【答案】D 【分析】本题考查了全等形的概念，做题时一定要严格紧扣概念对选项逐个验证，这是一种很重要的方法，注意应用． 根据全等图形指的是完全重合的图形，包括边长、角度、面积、周长等，但面积、周长相等的图形不一定全等求解即可． 【详解】解：A、面积相等，但图形不一定能完全重合，说法错误； B、形状相等的两个图形也不一定是全等形，说法错误； C、周长相等的两个图形不一定能完全重合，说法错误； D、符合全等形的概念，正确． 故选：D． 2.如图，，B、C、D在同一直线上，且，，则BD长(    ) A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应边相等得到，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 3.如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、作图—基本作图，连接，，由作图得出，，，利用证明，即可得出，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，， ， 由作图可得：，，， ， ， 能得出的依据是， 故选：B． 4.如图，在 和 中 ，，， 在不添加任何辅助线的条件下， 可判断，  判断这两个三角形全等的依据是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了三角形全等的判定方法，根据已知条件结合公共边，即可根据证明两三角形全等． 【详解】解：在和中， ， ∴． 故选：C． 5.如图，在四边形ABDE中，，，点C是边BD上一点，，，．下列结论：①；②；③四边形的面积是；④；其中正确的结论个数是(    )    A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】证明，由全等三角形的性质可得出．由图形的面积可得出③④正确． 【详解】解：∵，， ∴． ∵，，， ∴，故①正确； ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， 故②正确； ∵，， ∴四边形的面积是； 故③错误； ∵， ∴ ∴． 故④正确． 综上所述，正确的是①②④； 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，垂直的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 6.如图，．如果，，那么中边的长是    【答案】6 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 根据全等三角形的性质得到，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：∵， ， 故答案为：6． 7.如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AB = CD，AE = DF，CE= BF．若∠A=55°，∠E=84°，则∠DBF的大小为 【答案】41° 【分析】根据题意，用SSS证明三角形全等，再根据全等三角形对应角相等的性质和三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵AB = CD， ∴AB+BC=CD+BC，即：AC=BD， 在△ACE和△DBF中， ， ∴在△ACE≌△DBF(SSS)， ∴∠A=∠D=55°，∠E=∠F=84°， ∴∠DBF=180°-55°-84°=41°， 故答案为：41°． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，以及三角形的内角和定理，熟练掌握相关内容是解题的关键． 8.如图， ，，交于点F，则的度数是 °． 【答案】50 【分析】 本题考查全等三角形的性质，由全等三角形的性质推出，，求出，得到，求出，得到，求出，由邻补角的性质得到． 【详解】 解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：50． 9.如图，已知△，、、在同一直线上，试探究当时，与的位置关系，并证明． 【答案】，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质；根据全等三角形的性质可得根据平行线的性质可得，则，进而根据平角的定义，即可得出，即可得证． 【详解】解：．证明如下： ， ． ， ， ． ， ， ． 10.如图，点A、B、C、D在同一直线上，AM=CN，BM=DN，AC=BD．求证：BM//DN. 【答案】见解析． 【分析】根据AC＝BD，可得到AB＝CD，结合AM＝CN，BM＝DN，证明出△ABM≌△CDN，得到∠MBA＝∠D，进而证明出BM∥DN． 【详解】证明：∵AC＝BD， ∴AC＋BC＝BD＋BC， 即AB＝CD， ∵在△ABM和△CDN中， ∴△ABM≌△CDN(SSS)， ∴∠MBA＝∠D， ∴BM∥DN． 【B组---提高题】 1.如图，AD＝CB，E，F是AC上两动点，且有DE＝BF (1)若E，F运动如图①所示的位置，且有AF＝CE，求证：△ADE≌△CBF； (2)若E，F运动如图②所示的位置，仍有AF＝CE，那么△ADE≌△CBF还成立吗？为什么？ (3)若E，F不重合，AD和CB平行吗？说明理由． 【答案】(1)详见解析；(2)成立，证明详见解析；(3)AD与CB不一定平行，理由详见解析. 【分析】(1)根据AF=CE可得AF+EF=CE+EF，即AE=CF，利用SSS即可证明△ADE≌△CBF；(2)根据AF=CE可得AF-EF=CE-EF，即AE=CF，利用SSS即可证明△ADE≌△CBF；(3)根据已知两个条件，不能判定△ADE≌△CBF，不能确定∠A=∠C，即可得AD和CB不一定平行. 【详解】(1)∵AF=CE， ∴AF+EF=CE+EF，即AE=CF， 在△ADE和△CBF中， ∴△ADE≌△CBF. (2)成立.理由如下： ∵AF=CE， ∴AF-EF=CE-EF，即AE=CF， 在△ADE和△CBF中， ∴△ADE≌△CBF. (3)AD与CB不一定平行，理由如下： ∵只给了两组对应相等的边， ∴不能判定△ADE≌△CBF， ∴不能判定∠A与∠C的大小关系， ∴AD与CB不一定平行， 10 学科网（北京）股份有限公司 $$